數學教學“結構思想”的意蘊與內化

陳算榮 王瑩

摘? ? ? 要 以知識結構為核心，以方法結構和教學結構為導引的三位一體的數學教學“結構思想”是大單元教學之靈魂。為了摒棄散點式的單個知識點教學，積極推行結構化教學，實現學生的深度學習和核心素養發展，中學數學教師需要把握“結構思想”的內涵，深刻認識到數學知識結構內化對學生思維和能力發展的意義，主動成為數學知識結構內化的先行者，掌握促進學生數學知識結構內化的兩種基本教學策略。在教學實踐中，教師應有機地交互運用這兩種策略，不斷提升學生的數學思維品格，切實發展學生的核心素養。

關 鍵 詞 數學教學? 素養導向? 結構思想? 單元結構化教學? 序列式結構教學? 整體式結構教學

引用格式 陳算榮，王瑩.數學教學“結構思想”的意蘊與內化[J].教學與管理，2023（22）：37-40.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出數學教師要注重對內容的整體把握，“幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支持意義的結構化的數學知識體系”[1]。這意味著教師需要從關注單個知識點的教學轉向更為高階的知識結構的把握。數學知識結構的重要性在數學和教育研究領域早已備受關注。進入20世紀后，數學從研究具體的數量關系越來越轉向研究數學結構[2]。美國著名教育家布魯納認為“一門學科的課程應該決定于對能達到的、對那門學科以結構的根本原理的最基本的理解”[3]。我國葉瀾教授在《“新基礎教育”論》一文中也指出：如果學生掌握了結構，就擁有了解決不熟悉領域中新問題的工具；在教育活動中體現結構性，將有助于學生的思維方式發生深刻變化[4]。由此可見，在數學教學中，關注學生數學知識的掌握固然很重要，但關注數學教學中的結構性才是實現深度學習和落實數學素養發展的重要之道[5]。

一、數學教學中的結構思想

依據新課程標準，促進數學知識結構內化并形成結構化意識應是數學課堂教學改革探索中的一個著力點，也是數學教育工作者在實踐中積極思考和努力踐行的一個方向。它更是當下落實數學核心素養的一種有效策略，因為核心素養的落實最終要看學生是否能夠實現知識的內化和遷移[6]，而把握結構是實現知識內化和遷移的基礎。當前，一些專家和一線數學教育工作者正在探索和研究大單元和大概念教學，其核心思想是關注學生對學科知識內在結構的把握，引領學生進行超越具體知識技能的學習，更加關注思維層面的發展，領會從具體的數學方法到一般性思維策略的教學謀略[7]。在數學教學中，教師應關注三種結構的存在：知識結構、方法結構、教學結構（學習過程結構），應構建以知識結構為核心，以方法結構和教學結構為導引的三位一體的數學教學“結構思想”，這其實就是大單元、大概念教學的靈魂所在。

當前，不少教師對單元教學存在兩大認識誤區：一是把單元整體教學理解為“集中教學”，求大求全，忽視內容的教學價值；二是把單元教學理解為“全章介紹+課時教學”，沒有體現內容的邏輯一致性，甚至將沒有邏輯性的知識并為一個學習主題[8]。存在這些誤區的根本原因就是教師對數學教學結構思想沒有充分的認識，可見領會“結構思想”是教師在教學中滲透“結構思想”的重要前提。下面以初中階段研究的“中位線”內容為例，具體闡明數學教學中的“結構思想”。當把三角形看成梯形的上底等于零時的特殊情況，那么，三角形中位線性質和梯形中位線性質是一個特殊和一般的關系，其實質一樣，這是知識的結構性；證明三角形中位線性質和梯形中位線性質定理都是應用“圖形轉化”的思想，這是方法的結構性；學習三角形中位線的過程“從概念、圖形，到性質的猜想、驗證、歸納，再到應用”可以類比遷移到梯形中位線的學習過程，這是教學的結構性。方法結構和教學結構最終依托于數學對象的知識結構，這三者合在一起可稱為數學教學的“結構思想”。挖掘知識團內在結構，以及其中所隱藏的方法結構和教學結構，就是關注比單個知識點更上位的數學“核心知識”，即學科視角、思想和方法，進而在“一般觀念”的統領下設計和實施教學，實現真正意義上的單元整體式教學[9]。

二、數學結構思想內化的意義

1.有助于學生思維和能力的發展

我國著名數學家張奠宙先生指出，結構思想亦是數學思維品質的一個重要方面[10]。布魯納指出，如果只教授專門的內容或技能，卻沒有把它們在知識領域更廣博的基本結構中的脈絡弄清楚，那么這樣的教學顯然是不經濟的。這是因為：其一，學生要從已學得的知識推廣到將碰到的問題，實現有效遷移就變得非常困難；其二，學生不能達到一般原理的學習，這樣對激發學生智慧來說將不大有效果；其三，所獲得的知識如果沒有完滿的結構把它們關聯在一起，那是一種多半會被遺忘的知識[11]。在教學中，如果教師忽視知識之間的結構性，那么這些知識呈現給學生就是零散的、點狀的。不僅不利于學生形成知識的框架結構，也不利于學生對知識的整合運用，而且還會大大降低數學教學原本的育人價值。如果教師能夠對這些知識之間的縱向與橫向的關系加以研究，并在教學中采用一種有效的途徑，讓學生形成結構、運用結構，將會使數學教學的價值得到充分的體現。

例如，在初中階段的解方程和方程組的教學中，實質上最為基本最為核心的知識是解一元一次方程，這是方程求解的基本單位元，而解一元一次方程的基本思想就是化簡，把它化簡整理為最簡一元一次方程“x=a”的形式。以后學習的一元二次方程、二元一次或二次方程組、分式方程和無理方程就是在“化簡”這一基本思想的指導下，運用化歸的思想方法，以及降次和消元等具體的方法最終轉化為一元一次方程來求解。盡管整個方程體系的教學散見于不同的年級，但若教師能夠在教學過程中讓學生牢牢抓住“化簡”思想這個“一般觀念”，不斷地讓學生感悟和體會“高次方程低次化，分式方程整式化，無理方程有理化，多元方程一元化”的化歸思想和知識結構鏈，那么學生在整個學習過程中就會主動形成類比學習的意識[12]。學生在后續的學習和生活中遇到這樣的方程求解，因為掌握了解方程的思想武器，自然能夠主動地類比遷移。

因此，掌握良好的知識結構的重要性決不亞于獲得牢固的基礎知識和扎實的基本功。若要讓學生掌握學習的主動權，那么最有效的方法是讓學生掌握和運用知識結構。結構較之知識點具有更強的組織和遷移能力，教師期望達到的教學目標不應只是對知識點的牢固掌握和熟練運用，更為重要的是要讓學生掌握發現和形成結構的方法以及具有靈活使用結構的能力[13]。

2.有助于教師教學思想的變革

以落實和發展學科核心素養為導向的教學目標要求倒逼教學設計的變革，教學設計應有大單元意識，關注學生數學思想體系、方法體系和知識體系的形成[14]。因此，“熟練掌握承擔教學的學科的知識體系與結構，學科發展的歷史與趨勢”是新型教師所必須具備的專業素養之一[15]，教師應成為數學結構思想內化的先行者。《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出要對數學教師進行“基于主題的整體單元教學設計”專題培訓，要求教師能把握課程標準的課程設計框架和內容體系[16]，這也充分說明教師成為數學結構思想內化先行者的必要性。

在新課程標準明確提出素養導向的要求下，不少教師在課堂教學時卻依然停留在把教學的重點放在對單個知識點的傳授上，僅重視對單一知識的重難點突破，習慣性開展一個知識點對應一個例題的孤立式教學，忽略把重難點的突破放在知識結構這一背景下，忽略知識的內在結構關系，這樣的教學不利于學生數學“核心素養”的綜合發展。正如喻平教授所強調的那樣，“數學核心素養的成分難以在單個的知識點上表現出來，它往往隱藏在知識體系、知識結構之中”，要發展學生的數學核心素養，數學教師應當著眼于知識結構的教學[17]。教師要成為結構思想內化的先行者，首先必須對數學教材體系進行先行解讀和系統研究，不僅要了解知識的來龍去脈，更要分析知識體系中那些對學生的數學思維產生深刻影響的高階性知識。其次需要不斷地在實踐和反思的過程中提升自己對數學“結構思想”的深入認識，加強與學科教研組團隊成員的合作，在對學期內容的知識體系進行深入分析的基礎上，對單元教學進行科學合理的單元規劃和課時計劃，并積極實踐以“主題、項目、大問題”等形式開展的教學，使學生在習得基本知識和技能的過程中感知和感悟藏于學科課程內部的高階知識[18]。

三、促進數學結構思想內化的教學實踐策略

怎樣把教師所內化的數學結構思想有機地滲透于日常教學中，通過教師的精心設計和組織，實現學生對數學結構思想的感悟和形成呢？為了解決這一問題，筆者作為數學學科帶頭人帶領教研團隊在葉瀾教授主持的“新基礎教育實驗”改革探索性階段進行了大量的課堂教學實踐探索。在“新基礎教育”實踐研究中十分強調對學科內容的整體性加工和重組的探索，強調以結構為大單元策劃教學內容的組織[19]。多年的實踐研究表明，在進行結構化教學設計時，最為根本的思想是用好教材，因為教材本身也是按照數學知識的內在體系對數學知識加以編排的。教師既可以依據教材內容呈現的邏輯結構組織教學，關注知識結構的逐步完善，也可以根據學生思維發展的需要在實踐中對教材所呈現的結構加以創造、重組，并體現于課堂教學中[20]。下面介紹在結構化教學實踐探索中形成的兩種基本的促進結構思想內化的教學策略：序列式結構教學和整體式結構教學。

1.序列式結構教學策略

序列式結構教學主要是遵照現行教材所呈現的知識結構特征，按照教材的編排順序，在“同一結構鏈”知識的不斷學習過程中，引導學生不斷完善和構建該知識結構鏈的一種教學策略。在該策略中，教師可以按照教材呈現的知識內容順序，把結構關聯的知識點，通過用心設計，使教學始終扣住結構這一靈魂。

教材呈現知識的特點往往是采用小步子走、一個一個知識點成序列呈現的方式，等一個知識結構相關的所有內容學完以后，學生才能在整理前面系列知識的基礎上形成完整的知識框架。它是把結構相關的內容分解成條列狀的一系列內容，然后一步一步地加以學習和解決。這樣做有益于分解難點，及時鞏固，當堂掌握知識，但也容易造成教師在教學過程中只關注一個一個知識點的落實，忽視知識點之間的結構關聯性。“序列式結構教學”就是為了優化這一傳統的做法，力求在一個一個知識點的學習過程中，讓學生能夠不斷感悟、完善和形成整體的知識結構。

例如，上海所用教材對“中位線”學習內容的編寫順序是先進行三角形中位線的學習，安排兩個課時，第一個課時“探索和形成三角形的中位線性質定理”，第二個課時“探索三角形中位線性質定理及應用”。在三角形的中位線學習時著重于“教結構”，包括兩個方面：研究方法的結構和知識內容的結構。既讓學生體驗“從概念、圖形到性質的猜想、驗證、歸納，再到應用”的學習過程，又提供充分的時間和空間讓學生在探索三角形中位線性質的多種方法中感悟“圖形轉化”的思想。而在關于梯形中位線的學習過程中，教師著重引導學生“用結構”，先讓學生主動類比，形成研究梯形中位線的學習方案，然后讓學生依據方案，對梯形中位線進行類比猜想和論證，并主動運用“圖形轉化”的思想尋找梯形中位線定理的證明方法和思路。在梯形中位線性質定理形成后，教師再引導學生研究三角形中位線和梯形中位線定理的關系，使學生對“中位線”內容的學習形成完整的認識。這種“序列式結構教學”方式，可以較好地培養學生的“系列性思維”，將一個一個內容掌握扎實。在這樣的教學策略中，不是“只見樹木不見森林”，而是“在研究樹木的過程中，讓整個森林若隱若現。

2.整體式結構教學策略

序列式結構教學偏重于對學生進行“系列性思維”培養，即“總是把重點放在一系列子問題上，他們也把子問題聯系在一起，同時十分重視其邏輯順序。他們對一個問題的思考過程行將結束時，才對所學內容得到較為完整的看法”[21]。然而，一味地采用這種教學方式無益于學生“整體性思維”的形成，即“對問題提出有效的整體上的推斷，提出所論對象的完整的概貌及各要素之間的關系，從而不益于學生創造性地解決問題”[22]。因此，在優化傳統做法的同時，教師還需要創新。

整體式結構教學是教師根據當前所教內容的書本知識和相關數學知識，通過研究該部分內容以及結構關聯的知識整體的內在結構，對教材內容進行重組和創造，實現學生對所學內容“先整體感知，然后再分化研究”的教學策略。“先整體后分化”是把數學教科書中以橫向的“點”為單位的符號系統按其內在的類特征組成一個整體，使學生先整體感悟認識，再局部把握知識[23]。在該策略中，往往需要重組教學內容，把同一結構關聯的概念或定理的構建放在一節課中，對這些概念的鞏固和應用放置于后面的課時中，也就是讓學生先形成整體感知，獲得構建概念或定理的方法結構和知識結構，讓學生在學習過程中體會前人發現的智慧，這無疑可以彌補以往教學中對學生的整體性思維和發現性思維培養的缺失。

例如，三角形“全等和相似”這一結構內容可以作如下的分析思考：全等三角形是相似三角形中相似比為1的特殊情況，所以縱向地看，從全等到相似就是一個從特殊到一般的學習過程。如果學生掌握了研究全等定理的方法，理解了全等定理的內部知識結構，那么學生在進行相似三角形的學習時，既可以類比全等定理的研究框架和方法去研究相似三角形的判定定理，也可以先通過直接類比全等的四條判定定理的結構猜想相似三角形可能的判定定理，再通過整理、歸納、證明而形成相似三角形的判定定理。所以對“相似”而言，“全等”就是教結構，這是教學中的“大結構”意識。從橫向看，我們知道全等三角形的判定定理至少需要三個條件，而三個條件的組合一共有六類，采用組合的方法可以培養學生的整體意識和分類意識。這些定理之間本身有內部的結構和聯系，可以讓學生在整體感知的過程中進行比較，更深刻地理解四個定理的結構，這是教學中的“小結構”意識。

上海所用教材的編排是三角形的全等安排在七年級下冊，并在八年級繼續深入學習，而相似三角形的學習要到九年級。其時，全等三角形判定定理是分散在四個課時中一個一個出現的。在教學實踐探索中，為了很好地滲透一大一小兩個結構，在三角形全等判定的第一課時采用“整體式結構教學”方式，使得四個定理在一節課內得以整體呈現。這里的整體呈現不是簡單地在一節課中將三角形全等判定的“邊邊邊”“邊角邊”“角邊角”“角角邊”通過畫圖操作加以驗證或進行嚴格的邏輯推理證明，將一章的知識在一節課內全部講完，這是不現實、不可取的[24]。而是重新安排這一章的教學內容結構，讓學生先感知判定三角形全等至少需要幾個條件，有序地思考這些可能的充分條件存在哪些組合，觀察這些組合的特點，并感知可以從哪個組合入手加以操作驗證獲得其中一個重要的基本事實，并將其他組合條件的操作驗證或演繹推理證明作為作業留給學生課后思考和探究，然后在第二課時中進行交流、匯報和總結歸納。第三課時將重點置于在不同的幾何問題情境中引導學生思考如何選擇合適的判定定理證明兩個三角形全等。第四課時則是在復雜的幾何情境問題中引導學生探討四條判定定理的綜合運用。教學實踐表明：七年級階段學生完全有了整體感知的需求，學生顯現出了良好的組合能力、分類整理能力，以及整體感知事物的能力。到了九年級相似三角形一章的學習，學生顯示出較強的結構意識。學生既能夠縱向地聯結三角形全等判定的學習方法和知識結構，也能夠橫向地把握好相似判定定理的內在結構，實現靈活的掌握和駕馭。

為了滿足學生在數學領域的成長需要，彌補學生整體性思維培養的缺失，充分挖掘數學學科教學的育人價值，教師需要去探索和嘗試怎樣有效實施整體式結構教學。序列式和整體式兩種結構教學策略都能夠很好地促進學生形成數學的結構思想，達到使之掌握結構和運用結構的良好效果。前者不需要教師將單元內容進行大的調整和重組，但需要一以貫之地滲透結構化意識；而后者對教師的單元主題提取能力、內容重組能力、單元課時重新規劃能力等極具挑戰性，也是教師的畏難之處。在實踐中，教師可以依據教學內容的特點選擇合適的結構化教學策略，在兩種策略的交互運用中實現傳承與創新相結合，完善學生的知識結構，提升學生的思維品格，促進其數學結構思想的真實而有效的內化，從而實現素養導向的教學目標。

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【責任編輯? 郭振玲】