一類一階半正周期邊值問題正解的存在性

楊偉

（西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 蘭州 730070）

一階常微分方程周期邊值問題在經(jīng)濟(jì)、天文、計(jì)算機(jī)及生物等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，例如動(dòng)物紅細(xì)胞再生問題、行星轉(zhuǎn)動(dòng)周期問題和產(chǎn)品銷售模型問題等。關(guān)于一階周期邊值問題解的存在性研究尤為必要。MORETTO［1］研究了一階周期邊值問題

此后相繼得到了關(guān)于該問題解的存在的結(jié)論［2-9］。例如，文獻(xiàn)［2］運(yùn)用上下解方法研究了式（1），得到：

定理1設(shè)m：[0，1]→[0，∞)，n：[0，∞)→ [0，∞)連續(xù)。若α1和β1分別為式（1）的嚴(yán)格上解和嚴(yán)格下解，且在[0，1]內(nèi)滿足α1≥β1，則式（1）存在正解u。

在文獻(xiàn)［2］的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［3］在非線性項(xiàng)具有奇異性的情形下，研究了含參數(shù)的一階周期邊值問題

其中，λ ＞0 為參數(shù)，并運(yùn)用錐上的拉伸與壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理，得到：

定理2設(shè) m：[0，1]→[0，∞) 連續(xù)，若 n：(0，∞)→(0，∞)連續(xù)且滿足，則存在λ0＞0，當(dāng)0 ＜λ ＜λ0時(shí)，式（2）有1 個(gè)正解 u。

文獻(xiàn)［2］在對(duì)應(yīng)問題的權(quán)函數(shù)定號(hào)的情形下考慮了正解的存在性，文獻(xiàn)［3］在對(duì)應(yīng)問題的權(quán)函數(shù)定號(hào)且非線性項(xiàng)具有奇異性的情形下討論了正解的存在性，但是文獻(xiàn)［2-3］均未考慮權(quán)函數(shù)變號(hào)的情形。那么，在引入正參數(shù)λ 和正常數(shù)k 的情況下，當(dāng)權(quán)函數(shù)變號(hào)且非線性項(xiàng)具有奇異性時(shí)，能否利用上下解方法獲得一階周期邊值問題正解的存在性？事實(shí)上，引入正常數(shù)k，既增加了問題的難度，又將問題推廣至半正情形，再加上權(quán)函數(shù)變號(hào)，從而需要新的約束條件保證正解的存在性。基于此，本文將采用上下解方法考慮一階周期邊值問題

正解的存在性，其中，k ＞0 為常數(shù)，λ ＞0 為參數(shù)。下文假定：

記Banach 空間C([0，1])相應(yīng)的范數(shù)為‖u‖=|。Banach 空間C1([0，1])相應(yīng)的范數(shù)為，定義錐K 為

本文的主要結(jié)果為定理3 和定理4。

定理3設(shè)a∈C([0，1])，f：[0，∞)→[0，∞) 連續(xù)且滿足 f (0)=0。若下列條件之一成立：

（i）f 滿足條件（F1），

（ii）f 滿足條件（F2）且 c ＞k，以及‖a-‖充分小，則存在λ0＞0，當(dāng)λ ＞λ0時(shí)，式（3）有1 個(gè)正解uλ。進(jìn)一步，對(duì)任意的t∈[0，1]，當(dāng)λ →∞時(shí)，有uλ→∞。

定理4設(shè)a∈C([0，1])，f：(0，∞)→(0，∞)連續(xù)且滿足條件（F3）。若‖a-‖充分小，則存在λ0＞0，當(dāng)0 ＜λ ≤λ0時(shí)，式（3）有1 個(gè)正解 uλ。進(jìn)一步有。

注1當(dāng)k=0，a(t)恒正時(shí)，式（3）退化為文獻(xiàn)［2-3］中的情形。與文獻(xiàn)［2-3］相比，本文不僅得到了式（3）正解的存在性，還得到了解的漸近形態(tài)。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1若 α∈[0，1] 滿足

則稱 α 為式（3）的下解。

定義2若 β∈[0，1] 滿足

則稱β 為式（3）的上解。

引理1［10］在f 滿足條件（F1）的情形下，設(shè)存在常數(shù)δ(0 ＜δ ＜1)，若定理3 的條件“‖a-‖充分小”也成立，則問題

至少有1 個(gè)解 w∈K。

引理2［10］在f 滿足條件（F2）的情形下，若定理3 的條件“‖a-‖充分小”成立，則存在 b(0 ＜b ≤1)，使得問題

有唯一解 w∈K。

引理3［10］在 f 滿足條件（F3）的情形下，設(shè)存在常數(shù)δ(0 ＜δ ＜1)，若定理4 的條件“‖a-‖充分小”也成立，則問題

至少有1 個(gè)解 w∈K。

引理4設(shè)式（3）有1 個(gè)下解α 和1 個(gè)上解β，對(duì)任意的t∈[0，1]，有α(t)≤β(t)，那么式（3）至少有1 個(gè)解u(t)且對(duì)任意的t∈[0，1]，有α(t)≤u(t)≤β(t)。

證明在[0，1]→R 下，定義函數(shù)γ(t)：

考慮輔助問題

首先，將式（7）轉(zhuǎn)化為

其中，G（t，s）為線性問題

的Green 函數(shù)。由式（3），當(dāng)t∈[0，1]時(shí)，有α(t)≤u(t)≤β(t)，再由Schauder 不動(dòng)點(diǎn)定理，可知式（7）至少存在1 個(gè)解。

接下來考慮，當(dāng)式（7）的解u 滿足 α(t)≤u(t)≤β(t)，t∈[0，1]時(shí)，u 也為式（3）的解。反設(shè)存在t∈[0，1]，使得α(t)＞u(t)，那么一定存在τ∈[0，1]，使得α-u 在τ 處達(dá)最大正值，且α(τ)＞u(τ)以及γ(τ)=α(τ)。由條件α(0)≥α(1)，若τ 在0 點(diǎn)處未取到最大正值，則一定不會(huì)在1 點(diǎn)處取到最大正值，從而可假設(shè)τ∈[0，1)，那么有α'(t)-u'(t)≤0，以及

這與下解的定義相矛盾。因此對(duì)任意的t∈[0，1]，有α(t)≤u(t)。對(duì)于u(t)≤β(t)，t∈[0，1] 的情況，類似可證。

設(shè)a∈C([0，1])，若w∈C1([0，1])為式（5）的唯一解，定義式（5）相應(yīng)的解算子 A：C([0，1])→C1([0，1])為

引理5設(shè)a，g∈C([0，1])，g ≥0 且其在[0，1] 的任意子區(qū)間上不恒為零。若存在δ(0 ＜δ ＜1)，使得式（4）有1 個(gè)解w∈K，則存在η0＞0，當(dāng) η∈(0，η0] 時(shí)，問題

有1 個(gè)解uη∈K。

證明設(shè)，則ηg(t)，結(jié)合邊界條件xφ(0)≤xφ(1)，可知xφ 為式（8）的上解。

另設(shè)ρ：=A(g)，取 0 ＜δ ＜1，w∈K 為式（4）的1 個(gè)解，那么存在 η0＞0，對(duì)任意的0 ＜η ≤η0，有 ηρ ≤δw 以及 0 ＜(1-δ)w ≤w-ηρ，則

結(jié)合邊界條件w(0)-ηρ(0)≤w(1)-ηρ(1)，可知 w-ηρ 為式（8）的下解。

如有必要，取充分大的x，使得xφw-ηρ ＞0，再根據(jù)引理4，可知式（8）至少存在1 個(gè)解uη∈K。

2 主要結(jié)果的證明

定理3 的證明情形1f 滿足條件（F1）。

等價(jià)于

從而式（9）成立。

從而式（9）成立。因此，當(dāng)λ ≥λ0時(shí)，u*為式（3）的下解。

另取 b=1，設(shè) π：=A(1)，取 u*：=y(π+1)，y ＞0，結(jié)合u*(0)≤u*(1)，可知u*為式（3）的上解當(dāng)且僅當(dāng)

由條件（F1），知對(duì)任意的 ε ＞0，存在s*＞0，當(dāng)s ＞s*時(shí)，有。進(jìn)一步，若y(π+1)＞y ＞s*，則，從而式（11）成立。

情形2f 滿足條件（F2）且c ＞k。

和函數(shù)

其中，χJ為J 的特征函數(shù)。因?yàn)?c ＞k，A(m)∈K 連續(xù)，所以

存在1 個(gè)解 w∈K，從而對(duì)任意的t∈[0，1]，存在ξ ＞0，使得 w(t)≥ξ ＞0，結(jié)合條件（F2），可知存在λ0＞0，當(dāng) λ ≥λ0時(shí)，有

對(duì)任意的 λ ＞0，有

結(jié)合邊界條件 λw(0)=λw(1)，可知λw 為式（3）的下解。

設(shè)Φ：=A(|a|)∈K，對(duì)λ0＞0，存在λ ≥λ0，使得 y0≥λC。因?yàn)镃 ＞k，所以對(duì)任意的y1≥y0，有

結(jié)合邊界條件 y1Φ(0)≤y1Φ(1)，可知y1Φ 為式（3）的上解。

綜上，如有必要，取充分大的 y，使得當(dāng)λ ＞λ0時(shí)，y1Φ ≥λw。因此根據(jù)引理4，式（3）至少有1 個(gè)解uλ∈K 且λw ≤uλ≤y1Φ。特別地，對(duì)任意的 t∈[0，1]，當(dāng)λ →∞時(shí)，有。

最后，考慮非線性項(xiàng)奇異的情形。

定理4 的證明定義，從而 1-?p=?。設(shè) υ=：λpw。結(jié)合 υ(0)=υ(1)，可知υ 為式（3）的下解當(dāng)且僅當(dāng)

兩邊同時(shí)乘以 wp，再由1-?p=?，可知

結(jié)合w，a 有界以及條件（F3），取充分小的λ，可得υ為式（3）的下解。

另設(shè)?：=A(|a|)，z ＞0，從而(z(λ?)?)'≥z?λ???-1|a(t)|，結(jié)合 ?(0)≤?(1)，可知z(λ?)?為式（3）的上解當(dāng)且僅當(dāng)

則式（13）的第1 個(gè)不等式成立。由條件（F3），知存在 s1＞0，使得當(dāng)0 ＜s ≤s1時(shí)，f (s)sp＜2。因此，當(dāng)z(λ?)?≤s1，zp+1? ＞2 時(shí)，有

換言之，選取充分大的z，使得

從而，當(dāng)λ ≤λ0時(shí)，式（13）的第1 個(gè)不等式成立。

進(jìn)一步，有

從而，當(dāng)λ ≤λ0時(shí)，式（13）的第2 個(gè)不等式成立。

綜上，由?∈K，使得w ≤z??，再由引理4，可知式（3）有1 個(gè)解uλ且λ?w ≤uλ≤zλ???，λ ≤λ0。進(jìn)一步，當(dāng)λ →0+時(shí)，‖uλ‖→0。

3 結(jié)語

為進(jìn)一步完善一階周期邊值問題的相關(guān)體系，探討了一類一階半正周期邊值問題正解的存在性。相較已有研究，引入了正常數(shù)k，將問題推廣至半正情形，加之權(quán)函數(shù)變號(hào)，正解的存在性研究變得更加復(fù)雜，尤其是在構(gòu)造上下解及保證解的正性方面極其困難。基于此，在非線性項(xiàng)f 滿足不同條件時(shí)，利用縮放性質(zhì)構(gòu)造上下解，不僅避免了權(quán)函數(shù)變號(hào)以及半正情形的影響，而且所得上下解是良定的，再采用上下解方法證明了正解的存在性。

微分方程周期邊值問題研究無止境，本文不涉及高階微分方程以及權(quán)函數(shù)不連續(xù)甚至奇異的情形。此外，僅得到一階半正周期邊值問題的一個(gè)正解，并未考慮其存在多個(gè)正解的問題。