傅里葉正、余弦變換的加權卷積及其應用

向儀，馮強

（延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000）

0 引言

傅里葉變換（Fourier transform，FT）作為一種重要的信號處理工具，在應用數學、光學、圖像加密、信號處理等領域具有重要應用［1-4］。在FT 基礎上定義的傅里葉正弦變換（Fourier sine transform，FST）與傅里葉余弦變換（Fourier cosine transform，FCT），是求解積分方程常用的工具［5-6］。用FST 與FCT 處理奇函數和偶函數的計算復雜度是FT 的1/2，因此，用FST、FCT 處理奇和偶函數比用FT更有效［7］。

卷積是一種積分變換，常被用于各種應用問題建模。由于新型卷積對積分方程和算子理論有影響，且在展示新特性和應用方面具有較大潛力［8-9］，吸引了不少研究者的興趣。近年來，有許多有關傅里葉卷積及其相關理論研究的報道。如文獻［10］研究了FST 與Kontorovich-Lebedev 變換相關的廣義卷積，并將卷積定理應用于求解積分微分方程。文獻［11］給出了Wiener 空間上的卷積運算，建立了Fourier-Feynman 變換及其卷積定理，拓展了傅里葉分析理論體系。文獻［12］提出了基于矩陣的FST、FCT 以及Hartley 變換，并將這些理論應用于圖像加密。文獻［13］研究了Hartley 變換、FST、FCT 的多重卷積，并將這些卷積應用于求解積分方程，得到了這類方程的顯式解。文獻［14-17］進一步研究了傅里葉加權卷積運算及其卷積定理，利用所得卷積理論研究了幾類卷積積分方程的解。

近年來，作為FST 與FCT 的廣義形式，分數階正弦變換與分數階余弦變換引得關注，產生了一些具有代表性的理論成果［18-20］。但尚未見關于FST與FCT 的混合加權卷積成果的報道。混合加權卷積理論不僅是對原有廣義卷積理論的拓展，而且可對復雜場景下的實際問題進行建模。因此，研究傅里葉正、余弦變換的混合加權卷積及其相關應用非常必要。

本文在已有文獻基礎上，研究傅里葉正、余弦變換混合加權卷積及其應用。首先，利用經典卷積以及傅里葉正、余弦變換的性質，給出了傅里葉正、余弦變換的混合加權卷積運算，并推導了相應的卷積定理。其次，研究混合加權卷積運算與已有卷積運算之間的關系，運用混合加權卷積性質得到了Young 類不等式。最后，利用混合加權卷積運算，計算了一類卷積類積分方程的解。

1 預備知識

廣義卷積定理［21］：

其中，函數f，g，γ∈L1(R+)；K，K1，K2為不同的積分變換。當K，K1，K2為傅里葉變換時，上述廣義卷積定理退化為經典的卷積定理：

其中，(f * g)(x)為經典傅里葉卷積運算，滿足

(Ff)(y)為f 的傅里葉變換，滿足

傅里葉余弦變換(Fcf)(y)與傅里葉正弦變換(Fsf)(y)［22］分別為：

傅里葉余弦與傅里葉正弦的卷積定理分別為：

傅里葉余弦正弦卷積［24］：

且滿足卷積定理：

2 加權卷積及其卷積定理

給出兩類新的傅里葉余、正弦加權卷積的定義，并研究這兩類卷積的相關性質，推導相應的傅里葉余、正弦加權卷積定理。

定義1設f (t)∈L1(R)，g(t)∈L1(R+)，則傅里葉余弦加權卷積與傅里葉正弦加權卷積分別為：

其中，γ（y）=e-ycos y 為權函數，且有

定理1設f (t)∈L1(R)，g(t)∈L1(R+)，則有，且滿足：

證明由式（13），可得

下證式（15）。由式（4）和式（5），可得

由式（17），可得

由式（17）和式（18），可得

由式（5）和式（13），可知式（15）成立。

式（16）的證明方法與式（15）的類似。

定理1 證畢。

下面給出傅里葉正、余弦加權卷積與已有卷積的關系。

定理2設f (t)∈L1(R)，g(t)，h(t)∈L1(R+)，則有

證明先證（iv）。由式（16），可得

故式（iv）成立。

（i）～（iii）的證明過程與（iv）的證明類似。

定理2 證畢。

定理 3設g(x)∈Lq(R+)，ω(x)∈Lr(R+)，其中，p，q，r ＞1，且滿足，則有傅里葉余弦加權卷積不等式

證明設p1，q1，r1＞1，滿足。令

由式（21）～式（23），可得

由式（21），可得

由Fubini 定理，可得

由復數的性質及式（20），可得

同理可得

因此，由式（24）～式（27），可得

再由式（20），可得

同理可得

因此，由式（22）、式（23）、式（29）、式（30），可得

由H?lder's 不等式，可得

定理3 證畢。

3 卷積方程在積分方程中的應用

卷積方程在許多領域均有非常重要的應用，如輻射能量傳播、軸震動等，特別在工程力學和數字信號處理中［25］，經常會遇到形如式（33）和式（39）的積分方程，求解這些方程是目前研究的熱點之一。

λ1，λ2為復數，φ，k，φ，h∈L1(R+)為已知函數，f，g 為未知函數，I1，I2，I3，I4見定義1。

定理4設，則式（33）在L1(R+)上有解，即

其中，x ＞0，θ∈L1(R+)，且滿足

證明式（33）可改寫為

運用卷積定理，得

由Wiener-Levi's 定理［26］，知存在函數θ∈L1(R+)，使得

因此，由式（38），得

由FCT，有

同理可得

定理4 證畢。

卷積方程在許多場合有重要應用，不同的卷積方程可解決不同的問題。如積分方程：

其中，

λ1，λ2為復數，δ，μ，τ，ω1，ω2∈L1(R+)為已知函數，f，g 為未知函數。

定理5假設1+H≠0，其中，

則式（39）具有顯式解：

其中，ρ∈L1(R+)，且滿足

證明與定理4 的證明類似，此證略。

4 結論

在現有加權傅里葉正、余弦變換卷積的基礎上，提出了傅里葉正、余弦變換的混合加權卷積運算，得到了相應的加權卷積定理；研究了混合加權卷積的性質以及Young 類不等式；最后利用提出的混合加權卷積，討論了兩類卷積類積分方程的解，得到了相應的顯式解。