裸眼測試井壁失穩概率及參數敏感性分析

黃亮 余意 任冠龍 孟文波 鄭文培

1. 中海石油(中國)有限公司湛江分公司；2. 中國石油大學(北京)安全與海洋工程學院；3. 應急管理部油氣生產安全與應急技術重點實驗室

南海鶯瓊盆地天然氣儲量豐富，但該區域儲層地層構造復雜，局部井底溫度達到194 ℃，地層壓力梯度2.4 MPa/100 m，井底壓力達142 MPa，存在溫度高、壓力高、壓力臺階高的問題，易發生井壁坍塌［1］。井壁穩定性問題首次提出是在1940 年，Westergaard［2］通過建立井筒周圍巖石的應力平衡方程，得到了井筒零內壓情況下，井壁圍巖應力的理論公式。現有井壁失穩研究多采用摩爾-庫倫準則，未同時考慮中間主應力、溫度效應和滲流作用對井壁的影響。

蒙特卡羅方法是可靠性分析的常用方法之一。1995 年，Dumans［3］對比分析了蒙特卡羅方法和模糊集方法評估井筒不穩定性，認為以蒙特卡羅為基礎的概率評價方法更適合定義鉆井液密度的安全范圍。2014 年Udegbunam 等［4］利用蒙特卡羅方法研究井壁穩定的不確定性，分析了輸入參數假設的概率分布類型對輸出的影響。2018 年勝亞楠等［5］對不同應力分布條件下，影響井壁穩定可靠度的因素進行了敏感性分析。現有的裸眼測試井壁失穩參數敏感性分析僅采用局部敏感性，未考慮各參數同時變化對井壁穩定性的影響。

筆者針對鶯歌海盆地儲層巖性、儲層高溫特性和裸眼井壁特性，考慮溫度效應，引入多孔滲流理論，建立高溫高壓裸眼測試臨界測試壓差(以下簡稱臨界測試壓差)計算模型；結合蒙特卡羅方法和臨界測試壓差計算模型，分析測試層段不同測試壓差下井壁發生失穩的概率，比較地層巖石力學參數在不同數學分布下，井壁坍塌概率的變化和巖石力學參數對井壁失穩的敏感性。

1 裸眼測試臨界測試壓差計算

1.1 井壁圍巖應力

研究井壁穩定性的常規思路是從力學角度出發，結合巖石的基本性質，計算保證井壁附近巖石穩定的井底參數［6-8］。首先建立井底裸眼井壁部分的力學模型，將井眼及周圍儲層巖石簡化為在無限大空間內有一半徑為a的圓孔，在兩個相互垂直的水平方向上受最大水平地應力和最小水平地應力作用，垂直方向上受上覆海水及巖層壓力，圓孔內受均勻的內壓，井壁附近巖石受力情況見圖1。

圖1 井眼附近巖石力學模型Fig. 1 Near-wellbore rock mechanic model

井底巖石所受的力首先是自身地應力，這里以最大水平主應力σH、最小水平主應力σh和垂直地應力σv為代表，此外還包括地層孔隙壓力pf0和測試期間的井底流壓pw。為了計算井壁圍巖的受力，將井壁圍巖上的一點單獨提出進行受力分析(見圖2)。

圖2 井壁圍巖微元受力圖Fig. 2 Infinitesimal stress diagram of the borehole surrounding rock

裸眼井壁應力分布可表示為［9］

式中，σH為最大水平主應力，MPa；σh為最小水平主應力，MPa；σv為垂直主應力，MPa；σr為井眼徑向應力，MPa；σθ為井眼切向應力，MPa；σz為井眼軸向應力，MPa；a為井眼半徑，m；b為巖石某處距井眼中心距離，m；pw為井底流壓，MPa；pf0為地層孔隙壓力，MPa；θ為研究點矢徑和σH的夾角；μ為泊松比。

由于裸眼井壁上充滿孔隙結構，不能僅僅把其當作光滑無滲透的表面，必須要考慮多孔介質的影響。此外，地層測試過程中，高溫地層流體經過井底進入管柱，與井底巖石發生熱交換，井底巖石的溫度也將改變，地層的應力分布和井壁圍巖應力都會在一定程度上受到溫度變化的影響，從而影響井壁的穩定性。為更好地預測井壁圍巖應力狀態，需要在應力模型中考慮多孔滲流和溫度變化引起的應力。

采用多孔滲流理論經典的有效應力原理，對井壁受力進行分析。基于Terzaghi 的基本理論，假設：(1)增加材料外部靜水壓力與降低相同壓力值的孔隙壓力對材料的體積變化影響相同；(2)材料剪切強度與且只與法向應力和孔隙壓力之間的差值有關［10-11］。

假設地層巖石溫度變化為ΔT，則井壁圍巖因溫度變化引起的應力表達式為

測試期間，井底溫度一般低于地層溫度，井底氣體與井壁巖石進行熱交換，井壁圍巖由于溫度效應產生的附加應力可表示為［12-13］

在井壁表面，r=R，井壁附近巖石附加熱應力場化簡為

式中，E為地層彈性模量，MPa；αt為線性膨脹系數，1/℃；、、分別為地層溫度變化引起的徑向應力、周向應力和垂向應力，MPa；T(r)為井壁圍巖附近溫度分布函數；T0為井壁原始溫度， ℃；TW為測試時井壁溫度， ℃；ΔT為巖石溫度變化， ℃。

對于單重孔隙介質，有效應力張量計算形式為

井壁為可滲透材料，δij取值為1。將多孔滲流和溫度效應引起的附加應力整合到式(1)井壁圍巖受力模型中，得到裸眼井滲流-溫度耦合應力模型。

1.2 臨界測試壓差計算

從力學角度來看，井壁失穩原因就是井眼內壓力過低，井壁圍巖所受的應力超過巖石所能承受的最大強度，使巖石發生破壞。在研究井壁失穩的問題上，基于力學原理，需要使用各種強度準則來計算井壁失穩壓力，進而計算測試壓差。基于對巖石破壞機制的不同認識，眾多學者已經提出各種不同的破壞準則，方法多達上百種，常用的判斷在特定應力狀態下巖石是否發生破壞的強度準則有Mohr-Coulomb 準則、Drucker-Prager 準則、Hoek-Brown經驗準則和能量破壞準則。

Mohr-Coulomb 準則認為當材料在某個平面上的剪切應力超過其剪切極限τmax時，材料將發生剪切破壞［14-15］，但其只考慮最大、最小主應力對剪切破壞的影響，計算公式為

Drucker-Prager 準則同時考慮包括中間應力在內的3 個主應力作用和巖石屈服過程中靜水壓力的影響，可以反映剪切效應引起的巖石膨脹性質，計算公式為

Hoek-Brown 準則以巖石力學實驗為基礎，廣義的Hoek-Brown 破壞準則考慮了裂縫對巖體參數的降解作用［16］，未考慮中間主應力的約束作用［17］，計算公式為

能量破壞準則從巖石儲能變化的角度分析井壁穩定性，井眼內的壓力低于原本井壁巖石所提供的壓力，井壁圍巖儲能將發生變化，使井壁發生失穩［18-19］，計算公式為

式中，τ為破壞面剪切應力，MPa；C為巖石內聚力，MPa；σ為破壞面法相應力，MPa；μf為巖石的內摩擦系數；J1為應力張量第一不變量；J2為應力偏張量第二不變量；C0和C1為與巖石內摩擦角φ和內聚力C有關的參數；σm為軸向峰值應力，MPa；σw為圍壓，MPa；σc為巖石單軸抗拉強度，MPa；s，mb和a為定義參數；Uc為巖石極限儲能，MJ/m3；ζ，η為與巖石性質相關的常數。

公式(7)～(10)中的等式成立時，代表此時井壁處于臨界狀態，即將發生破壞。以上計算模型中，很多參數都無法直接測量，包括巖石摩擦角φ，巖石內聚力C，泊松比μ，有效應力系數α，巖石彈性模量E。在測試階段，已經獲得了鉆井過程中的測井數據，本研究采用測井數據確定臨界測試壓差計算過程中的巖石力學參數，有關計算方法見文獻［20-21］。通過對南海5-3 井的測井數據分析計算得到相關參數，對井深3 870～4 060 m 的測試層段進行力學分析計算，不同破壞準則下臨界測試壓差與井深關系見圖3。

圖3 不同破壞準則下的臨界測試壓差Fig. 3 Critical testing drawdown pressure under different failure criteria

由圖3 可以看出，Mohr-Coulomb 準則下臨界測試壓差大部分在30～40 MPa 之間，臨界壓差數值變化較平緩；Drucker-Prager 準則計算的臨界測試壓差在40～60 MPa 之間，與Mohr-Coulomb 準則臨界測試壓差的變化規律一致；Hoek-Brown 準則計算的臨界測試壓差最小，在3 870～3 880 m 層段僅為6～8 MPa，數值變化最穩定；能量破壞準則的臨界測試壓差在50～70 MPa 之間，在4 種準則中結果最大，波動也最大。

對計算結果分析發現，Hoek-Brown 強度準則計算的巖石臨界測試壓差最小，在3 870～3 880 m 層段僅為6～8 MPa，而實際測試證明，該井在40 MPa 測試壓差下井壁仍能保證穩定，因此該準則不適用于井壁失穩計算；能量破壞準則計算結果過大且波動明顯，也不適用于裸眼測試臨界測試壓差計算；Mohr-Coulomb 準則和Drucker-Prager 準則相比較而言，由于海水和上覆巖層所產生的垂直地層壓力不能忽略，Drucker-Prager 準則計算中考慮包括中間應力在內的3 個主應力作用，Mohr-Coulomb 準則只考慮兩個水平主應力對巖石剪切破壞的影響，因此最終選用Drucker-Prager 準則作為裸眼測試臨界測試壓差計算的準則。

從圖3 中Drucker-Prager 準則下臨界測試壓差與井深曲線可以看出，3 900 m 附近開始，臨界測試壓差逐漸增大，經分析，此處井眼尺寸發生變化，井徑突變，故井壁穩定性差；井深4 030 m、4 050 m 處臨界壓差發生較大變化，4 030 m 處為粉砂巖與粉砂泥巖交接帶，4 050 m 處地層為細砂巖與泥質粉砂巖交接帶，地層孔隙壓力發生突變，且兩處分別為開始油氣產出和油氣消失處，巖石巖性交接變化層段井壁承受能力低，易發生井壁失穩，可見選用Drucker-Prager 準則作為裸眼測試臨界測試壓差計算準則與實際情況相符。

2 裸眼測試臨界測試壓差概率分析

在臨界測試壓差計算過程中，各種巖石力學參數由測井數據及經驗數據得出，都為確定值。在井壁圍巖受力計算過程中，由于測試數據的不確定性、計算誤差、模型的局部適用性較低以及在建立模型時的簡化假設，很多情況下計算得出的井壁受力值不能反映圍巖的真實應力狀態［22］，根據可靠性理論和隨機過程理論，從概率論的角度計算裸眼測試井壁失穩概率，可減少井壁坍塌臨界壓差預測結果的不確定性，使井壁坍塌預測結果更可靠。

蒙特卡羅方法通常被稱為統計實驗法或隨機模擬法，常被用來計算工程問題數值近似解，是一種基于統計抽樣理論，利用計算機解決隨機變量的數值計算方法［23-24］。其基本思想是：當已知不確定變量的分布特征，可以利用計算機產生符合參數概率分布的若干隨機數，代入危險狀態方程，計算出判別值的隨機過程結果，進而得到失效概率［25］。蒙特卡羅方法確定井壁失穩概率計算步驟如下。

(1)確定井壁失穩失效函數，即為Drucker-Prager 準則。確定井壁失穩計算的關鍵參數，包括最大水平主應力σH、最小水平主應力σh、垂直主應力σv、巖石內摩擦角φ、內聚力C，利用測井資料，計算裸眼井段所有關鍵參數值，統計其概率分布，確定參數分布。

(2)根據精確度要求，確定蒙特卡羅模擬次數N，利用計算機產生符合其數學分布的隨機數，組成因素集，記為Wc。

(3)將所產生的因素集中的每一組參數均代入失效函數，計算生成判別結果集Y。

(4)統計結果集Y中井壁發生失穩的次數Nf，得到失效概率P=Nf/N。

為確定井底某深度的巖石力學參數的數學分布規律，選取該深度以上及以下共計10 m 的測井數據，計算該井段圍巖力學參數判斷其分布規律來確定該地層深度的力學參數分布，依次計算3 920、3 960、4 000、4 040 m 附近的巖石力學參數，利用正態分布和三角分布模擬其分布規律，將其數學分布參數統計匯總，結果見表1。

表1 巖石力學參數正態分布、三角分布數學特征匯總Table 1 Summary of mathematical characteristics of normal distribution and triangular distribution of rock mechanical parameters

根據對地層井壁巖石力學參數的數學分布模擬結果，并生成符合其分布特征的隨機數，依次模擬3 920、3 960、4 000、4 040 m 處巖石的力學參數分布，計算其在0～80 MPa 臨界測試壓差下的井壁失穩概率，統計結果見圖4。

圖4 不同臨界測試壓差下不同井深處的井壁失穩概率Fig. 4 Probability of wellbore instability at different depths under different critical testing drawdown pressures

比對臨界測試壓差預測值與井壁失穩概率發現：(1)測試壓差在某個10 MPa 的區間變化時，井壁失穩概率會急劇增大，故認為一旦井壁失穩概率大于0，便已經達到測試壓差臨界值，應立即調整井底壓力防止井壁坍塌；(2)在小于臨界測試壓差3～5 MPa 時，井壁開始有發生失穩的風險存在；(3)正態分布和三角分布下井壁失穩概率變化趨勢表現一致，考慮到三角分布下臨界測試壓差和井壁失穩概率出現時的測試壓差相差過小，推薦使用正態分布對巖石力學參數進行擬合。

3 臨界測試壓差對巖石參數敏感性分析

不同地層參數對井壁失穩的影響程度不同，利用蒙特卡羅隨機抽樣可分析裸眼井壁失穩模型中各地層巖石力學參數的局部敏感性，包括最大水平主應力σH、最小水平主應力σh、垂直主應力σv、巖石內摩擦角φ、內聚力C，并對其作出比較，分析各力學參數對井壁坍塌臨界測試壓差的影響度。敏感性分析包括局部敏感性分析和全局敏感性分析，局部敏感性分析在計算某一因素對結果的影響時，假定其余因素不會變化，但實際上，巖石力學參數并不會單一的變化，存在兩個或兩個以上參數同時變化的情況，單因素敏感性分析不能反映多因素同時變化時，某一因素對結果的影響情況，本文采用Sobol 方法對臨界測試壓差參數進行全局敏感性分析。

選取南海5-3 井4 000 m 地層，按照巖石力學參數正態分布和三角分布兩種分布形式，分別計算最大水平主應力σH、最小水平主應力σh、垂直主應力σv、巖石內摩擦角φ、內聚力C變化時的臨界測試壓差，進行局部敏感性分析，按正態分布對巖石力學參數進行全局敏感性指數分析，結果見表2。

表2 臨界測試壓差參數敏感性分析結果Table 2 Parameter sensitivity analysis of critical testing drawdown pressure

通過對比可知，在正態分布和三角分布條件下，臨界測試壓差對地層巖石力學參數的敏感度大小排列均為σH＞C＞σh＞σv＞φ。結合井壁圍巖應力對此分析，最大水平主應力σH是影響環向應力和垂向應力的主要應力，所以其敏感度最高。其次是巖石內聚力C，巖石破壞準則本質就是巖石內部應力與巖石強度的比較，內聚力是巖石自身強度的決定性因素，也是Drucker-Prager 準則中改變C0大小的最主要參數。垂直地應力σv只對垂向應力有影響，巖石內摩擦角進行三角函數計算后只在0～1 之間變化，故這兩者對臨界測試壓差的影響很低。

由全局敏感性分析結果可以看出，5 種輸入參數的一階敏感性指數和全局敏感性指數中，最大的2 項均為最大水平主應力和內聚力，敏感性指數最小的均為內摩擦角φ，與局部敏感性分析結果一致。但在全局敏感性分析中，最大水平主應力敏感性指數要遠大于其余參數，甚至大于其余參數的敏感性指數總和，說明在考慮多個巖石力學參數共同變化時，最大水平主應力對裸眼測試臨界測試壓差起到決定性作用。

4 結論

(1)利用所建立的井壁圍巖受力模型，對比4 種不同強度準則下井壁坍塌臨界測試壓差，發現基于Drucker-Prager 巖石破壞準則所計算的臨界測試壓差與實際測試情況最相符，且考慮到海水和上覆巖層所產生的垂直地層壓力不能忽略，而Drucker-Prager 巖石破壞準則對應力考慮更加全面，推薦使用Drucker-Prager 巖石破壞準則作為裸眼測試井壁穩定性研究的準則。

(2)以正態分布和三角分布2 種形式對巖石力學參數進行模擬，通過蒙特卡洛方法計算測試壓差在0～80 MPa 下的井壁失穩概率，發現在實際測試壓差小于臨界測試壓差3～5 MPa 時，已經存在井壁失穩的風險，最大測試壓差的選擇必須小于臨界測試壓差5 MPa 以上方能保證測試期間的井壁穩定。

(3)正態分布和三角分布下臨界測試壓差對地層巖石力學參數的敏感度大小排列均為：最大水平主應力σH＞內聚力C＞最小水平主應力σh＞垂直主應力σv＞巖石內摩擦角φ，結果表明在考慮多個巖石力學參數共同變化時，最大水平主應力σH對裸眼測試臨界測試壓差起到主要作用，是判斷井壁失穩的最重要因素，井壁失穩判斷時應著重關注最大水平主應力，對于最大水平主應力變化較大的地層必須穩定測試壓差謹防發生井壁失穩。