異步響應數據對結構模態識別影響的研究

金大帥 （合肥市軌道交通集團有限公司，安徽 合肥 230000）

0 引言

結構健康監測可以有效的對結構的健康狀態進行實時監測，出現損傷時能及時預警，將事故傷害降到最低。模態參數是工程結構固有的振動特性，每一階模態都具有特定的固有頻率、阻尼比和模態振型。模態參數識別是結構動力設計及狀態評估過程中不可或缺的一環[1-3]。作為一種環境激勵下的模態參數識別方法，隨機子空間法因具有直接作用于時域數據（data driven）而不必將時域數據轉換為相關函數或譜、識別精度高等特點，因此被廣泛應用[4-6]。隨機子空間法進行結構參數識別時直接作用于實測響應數據，而在模態識別過程中，實測數據的時間不同步可能直接導致識別結果出現偏差。時間不同步直接影響數據之間的相位信息，而相位信息是結構性能和損傷評估的重要指標。為了探究結構異步實測數據對結構模態識別的影響，文章利用ANSYS 有限元仿真軟件建立了四層框架結構模型，提取結構不同位置處的異步響應信號，利用隨機子空間法識別結構模態參數。

1 隨機子空間基本理論

1.1 狀態空間方程

式中：xk=x(kΔt)為n維離散的狀態向量，n為自由度；yk為N維輸出向量，N為響應點數；A 為n×n階系統矩陣，表示系統的動力特性；B 為離散輸入矩陣；C 為N×n階輸出矩陣，描述結構內部狀態如何轉化為外界的測量值；wk為建模誤差或處理過程引起的噪聲；vk為傳感器誤差引起的噪聲。

式（1）整理得到隨機子空間識別的基本方程：

1.2 模態參數分析

矩陣A的特征值分解如下：

式中：Λ = dia g(λi)，λi為離散時間系統的特征值；?為系統的特征向量矩陣。

由矩陣Λ 得到離散的特征值λi，可用式（4）求得系統特征值ui：

第i階模態的振型表示為φi= C?i。

1.3 隨機子空間算法

為計算系統矩陣A 和輸出矩陣C，筆者將結構所有測點的響應數據組成2li×j的Hankel矩陣：

式中：hi為第i時刻所有測點的響應數據；Hpast為li×j階“過去”輸出矩陣；Hfuture為li×j階“將來”輸出矩陣。

對Hankel矩陣QR進行分解[9-11]，可將數據從2li×j縮減至li×j，極大地減少數據量，加快程序的運行。QR分解可表示為：

將Hankel 矩陣中的“將來”輸出矩陣向“過去”輸出矩陣的行空間進行正交投影，得到投影矩陣Oi。投影矩陣可表示為：

對投影矩陣SVD進行分解：

另外，還有個重要定理：

式中：Γi為可觀測矩陣；為卡爾曼濾波狀態向量矩陣。

則由式（7）、式（8）可得：

采用最小二乘法可得：

其中：·?表示矩陣·的廣義逆矩陣。

SVD 分解后，矩陣S1的秩可以確定系統的階次。至此，即可識別出系統矩陣和輸出矩陣。

2 結構仿真模型與模態識別

用ANSYS 軟件進行建模，在框架結構右側設置4 個間距相同的信號采集點，對框架左側施加激勵。框架結構具體參數為寬度a=6 m、四層框結構每層高h=2.9 m、柱子采用beam188 單元、橫梁采用shell63 單元。材料屬性參數為，柱子為矩形截面、彈性模量E=25 GPa、泊松比為0.2。橫梁為矩形截面，彈性模量E=30 GPa。在框架右側等距離設置四個信號采集點，如圖1所示。

圖1 框架結構測點布置圖

采用ANSYS 軟件建模完成后，對框架進行模態分析，計算得到前三階自振頻率和振型如圖2所示。

圖2 框架前三階模態振型圖

框架模態分析結束后，對框架結構施加零均值的噪聲作為結構的激勵。利用ANSYS 有限元分析軟件中的瞬態分析，提取各測點加速度響應數據，最后設置相應工況對結構響應信號進行異步采樣。對框架結構指定位置施加噪聲激勵后，結構不同測點的響應數據采集進行如下處理。首先1 號測點開始采樣，同時其他測點未開始采集數據；2 號測點在1 號測點采樣1 s 后開始采樣；3 號測點在1 號測點采樣2 s 后開始采樣；4 號測點在1 號測點采樣3 s 后開始采樣，采樣頻率均為400 Hz，加速度響應采集結束后，利用隨機子空間方法對異步采樣數據進行模態參數識別。

首先設置穩定圖滿足的計算參數，取值分別為自振頻率的穩定標準取值0.5%，阻尼比的穩定標準取值2%，模態振型的穩定標準取值0.5%。利用穩定圖程序對采集的異步響應數據進行計算，得到的穩定圖如圖3所示。

圖3 框架結構穩定圖

通過選取圖3 中前三階穩定軸的穩定點可以確定結構的模型階次，確定模型階次后識別得到結構頻率和結構振型。簡支梁的異步響應數據模態頻率計算結果如表1所示。

為了更好反映計算振型與識別振型的相關性，引入振型相似因子的概念，定義振型相似因子DMAC如下[12]：

DMAC=1-MAC

一般情況下DMAC 值偏向0 時，認為兩個振型是同一振型；反之，偏向1 時認為是不同振型。根據研究所得，當DMAC＜0.05 時，可認為兩振型為同一振型[13-14]。

在得到前三階頻率識別結果后，將識別的前三階結構振型和ANSYS有限元計算振型進行歸一化對比，得到振型圖和相應的振型相似因子如圖4所示。

圖4 框架模擬異步振型識別

通過識別結果可知，一階頻率識別差值為0.008 Hz、二階頻率識別差值為0.125 Hz、三階頻率識別差值為0.706 Hz，前三階自振頻率的振型相似因子均滿足DMAC＞0.05。通過識別結果可知，隨機子空間法對異步實測數據的振型識別效果較差，前三階振型相似因子DMAC均不滿足同一振型的判定條件。

3 結論

使用隨機子空間法識別橋梁模態參數時，通常直接對測點的實測響應數據進行處理。理想情況下信號采樣點之間進行同步采樣，利用模態識別方法，可以通過同步采樣信號，較好的識別出結構的模態參數。當結構測點的采樣時間不同步時，會對結構的模態參數（特別是模態振型）產生顯著的影響。在異步采樣的影響下，由于模態振型的識別結果不能滿足與理論振型是同一個振型的定義，因此在實際工程應用中，應當細致考慮結構的異步響應數據對結構模態振型識別的影響。