“立體幾何”教學應關注“基本套路”

安徽省樅陽中學 董留蕾

在生活中,一提到“套路”,人們總會和“圈套”“騙術”等不好的事情聯系起來,往往避之而不及.在數學教學中,“套路”也比比皆是,例如,概念教學套路、公式證明套路、數學解題套路、數學建模套路等,而掌握這些“套路”卻成為了數學教學的一種訴求.人教A版主編章建躍也認為“注重‘基本套路’才是好的數學教學”.那么,究竟什么是“基本套路”?高中數學有哪些“基本套路”需要掌握?

1 對“套路”的認知

“套路”本身是中性詞,按照百度百科的解釋,它是指“精心策劃的應對某種情況的方式方法,使用該方式方法的人,往往已經對該方式方法熟練掌握,并且形成條件反射,邏輯上傾向于慣性使用這種應對方法應對復雜的情況,心理上往往已經產生對此方法的依賴性,對人有較深影響,使用某種特定不變的處理事件的方式,對一些情況下的處理方式形成路數”.拋開對“套路”的成見,不難發現,“套路”實際指向的就是人們對客觀世界的認知模式,是提出問題、分析問題、解決問題慣用的方式與方法.這顯然與數學核心素養的目標指向一致.從某種程度上講,學習的最終目的就是為了獲得與掌握更多的套路,這是因為知識容易遺忘,而“套路”卻能根植于頭腦深處,左右人的思維習慣與行為習慣.做事情要講究“套路”,學習數學當然也需要“套路”.因此,數學教學不僅僅要關注知識與技能,更應該凸顯學習的“套路”,正所謂“授之以魚不如授之以漁”,掌握“套路”就意味著擁有了打開數學世界大門的鑰匙.

2 立體幾何學習中的三大“基本套路”

2.1 幾何對象的“認知套路”:整體—局部

學習數學不僅是掌握知識,更要學會認識數學對象的“套路”,因為,知識往往是在變化的,而“認知套路”一般是相對固定的.基于這一認識,現行高中數學教材都是以研究一個數學對象的“基本套路”為主線來組織教學內容,通常是按照“概念—性質—內部邏輯關系—運算應用”的認知邏輯加以展開,以便讓學生獲得完整的數學認知.當然,立體幾何除了一般的認知套路,還有其特有的認知套路,那就是從“整體—局部”的認知過程.學生先認識柱體、錐體、臺體、球體,然后在具體幾何模型的基礎上再開展對空間位置關系的研究;在研究空間位置關系時,也是先對平行與垂直有一個總體的認知,然后再系統地研究“線線、線面、面面”之間的平行、垂直關系.“整體—局部”的認知套路貫穿于立體幾何學習的全過程.

2.2 公理定理的“獲得套路”:生活現象—數學原理

立體幾何與生活息息相關.新教材稱立體幾何的“三大公理”為“三大基本事實”,它們所反映的就是生活中刻畫平面的“平”與“無限延伸”的三個事實依據.基本事實1 “過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面”,它所反映的生活經驗就是“三角形結構的穩定性”;基本事實2“如果一條直線上的兩點在一個平面內,那么這條直線在這個平面內”是對“木工用直尺檢驗桌面是否平整,如果直尺與桌面有縫隙,說明桌面不平,否則就平”經驗的真實寫照;而基本事實3“如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線”所對應的生活原型就是“榫卯結構”,在拼接兩塊木板時,通常在其中一塊上開一個“凹槽”,在另一塊上造出一個“凸起”,然后兩塊木板就可以榫合在一起了.立體幾何中的平行與垂直關系的判定定理、性質定理更是對生活經驗的直接總結,“在轉動門中發現直線與平面平行的判定定理與兩個平面互相垂直的判定定理”“在翻書中發現直線與平面平行的性質定理”“在折紙中發現直線與平面垂直的判定定理”等.由此可見,立體幾何中的公理與空間位置關系的判定定理、性質定理基本上都是對生活經驗的數學化表征,其暗含“怎么學”的套路,即從“生活現象中獲得數學原理”.

2.3 空間位置關系的“刻畫套路”:借力新幾何對象

數學知識之間是緊密關聯的,是一個有機的整體.這就決定了不同的數學對象之間可以相互表征,可以利用一個數學對象來刻畫另一個數學對象,比如,用圖象交點的橫坐標來表示方程的根、用向量運算來判定幾何關系、用不等式組來表示平面區域等.立體幾何中對空間位置關系的刻畫更是如此.比如,“三大基本事實”實際上就是借助“點、線、面”三個幾何對象從三個視角來刻畫平面的“平”與“無限延伸”.又比如,在判斷“線面平行”時,借助“平面內的一條線”,通過驗證“線線平行”來證明“線面平行”;研究“線面平行”性質時,通過“構造過直線的平面”,“讓新的平面與已知平面相交”,最后獲得“線線平行”的結論.

3 指向“基本套路”的立體幾何教學

上述三大“基本套路”分別從宏觀、中觀、微觀三個層面系統地揭示了立體幾何學習的方向與路徑.那么,如何教會學生這些“基本套路”呢?“基本套路”的學習一般需要經過“經歷、內化、概括、遷移”的過程,可以分兩個階段進行教學.

3.1 第一個階段:通過問題鏈,“牽著”學生走

例如,在“直線與平面平行的判定”教學中,這是學生第一次“經歷從生活現象中抽象出判定空間位置關系方法”的過程,因此,在沒有學習經驗的支撐下,學生需要在教師的幫助下“牽著”走 ,教師則圍繞著“生活現象—數學原理”這一“基本套路”,精心設計問題鏈來實現對學生“牽引”.

如圖1,在矩形紙片ABCD中,E,F分別是BC,AD上的點,現沿直線EF翻折,觀察直線CD與平面ABEF的位置關系.

圖1

問題1在翻轉過程中,直線CD與平面ABCD平行嗎?為什么?

問題2你覺得怎樣改變折痕EF,才能使直線CD∥平面ABEF?

問題3這時,直線CD和AB共面嗎?它們有交點嗎?

問題4每一條折痕與直線CD都有交點嗎?

問題5在平面ABEF內任給一點P,你能畫出與折痕EF平行的直線嗎?

問題6直線CD與平面ABEF有交點嗎?為什么?

問題7根據以上分析,你覺得使直線平行平面的關鍵要素有哪些?你能進行具體描述嗎?

指向“基本套路”的層層遞進的問題鏈“牽著”學生完整地經歷獲得空間位置關系判定定理的過程,同時,教師也要明確指出“這就是研究空間位置關系的基本套路”,然后再經過后續“直線與平面平行的性質”“兩個平面平行的判定”等內容的學習,使得這一“基本套路”逐步得到內化.

3.2 第二個階段:設置任務,“放手”讓學生自己走

例如,在“直線與平面垂直的性質”教學時,學生已經具備了從“生活現象—數學原理”的探索與“借力新的幾何對象”刻畫空間位置關系的經驗,教師完全可以“放手”讓學生自己去探究.首先,對“直線與平面平行性質定理”與“兩個平面平行性質定理”獲得的過程及定理本身的構成進行概括,提煉共性特征,再通過類比遷移,以任務表(表1、表2)的形式驅動學生自主探究“若直線a⊥平面α,你能獲得哪些性質?”

表1

表2

經過探究,學生除了可以得到“垂直于同一平面的兩條直線平行”,還可以得到“a⊥α,b?α?a⊥b”“a⊥α,b⊥a,b?α?b∥α”“a⊥α,α//β?α⊥β”等8大性質.至于教材為何以“垂直于同一平面的兩條直線平行”作為直線與平面垂直的性質定理,可能是基于兩個方面的考慮:一是性質定理要足夠簡潔,容易記憶;二是能夠和平行關系建立橫向聯系,進一步完善立體幾何的網狀知識體系.當然,對于這個問題可以組織學生進行深入的討論.因此,在“基本套路”得以明確的前提下,教師的“放手”更能夠發展學生的邏輯推理與直觀想象核心素養.

有學者說:“教育是所有學過的東西都忘了后,仍然留下來的.”以往,我們都認為留下的就是“能力”,但現在看來,這種認識還是不夠全面.所有學過的東西都忘了后,留下的應該是經過長期積淀而形成的發現、分析、解決問題的一連串的思維模式與操作經驗,即本文論述的數學學習的“基本套路”.