HPM視角下談對(duì)數(shù)的起源

廣東省中山市龍山中學(xué) 陳 玉 彭 硯

HPM 全稱為“History and Pedagogy of Mathematics”,意思是在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史,用數(shù)學(xué)史的教育功能,全面發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).了解知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程,對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)能起到很重要的作用.

但HPM在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一直處于”高評(píng)價(jià),低應(yīng)用”的尷尬位置,知網(wǎng)上有很多數(shù)學(xué)史在實(shí)踐中的應(yīng)用這類型的論文,但在課堂中的應(yīng)用情況還有待考察.

筆者從各種途徑收集了關(guān)于對(duì)數(shù)起源的歷史材料,并根據(jù)自己的理解進(jìn)行梳理,然后用HPM方法中的順應(yīng)式對(duì)對(duì)數(shù)概念的教學(xué)進(jìn)行深入淺出的教學(xué)設(shè)計(jì),從學(xué)生容易理解的角度對(duì)歷史材料進(jìn)行改編.

1 歷史材料

關(guān)于對(duì)數(shù)的起源歷史材料有很多,最著名的就是以下兩個(gè)問(wèn)題.材料1——布拉赫的困擾是對(duì)數(shù)起源的最根本原因:用來(lái)解決計(jì)算量大的問(wèn)題.材料2——納皮爾的對(duì)數(shù)是公認(rèn)的對(duì)數(shù)起源的過(guò)程:納皮爾對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn),實(shí)際上是參數(shù)方程的化簡(jiǎn)過(guò)程.

1.1 布拉赫的困擾

第谷·布拉赫是16世紀(jì)下半葉丹麥的一位天文學(xué)家,他的主要研究工作是進(jìn)行大量精密的天文觀測(cè),以便為航海的人們確定船只的位置.在觀測(cè)后會(huì)得到很多數(shù)據(jù),這些數(shù)據(jù)通常是雜亂無(wú)章的,處理數(shù)據(jù)就成了他最頭疼的一件事情.比如,下面是他要處理的幾個(gè)運(yùn)算:

(1)32×1 024; (2)8 192÷32;

前面三個(gè)很容易,是我們熟悉的四則運(yùn)算,第四個(gè)就不那個(gè)好算.按我們現(xiàn)在的知識(shí),用筆算開(kāi)平方其實(shí)也能算,但在以前是沒(méi)有這樣的知識(shí)的.

事實(shí)上,即使是常規(guī)的加減乘除與乘方運(yùn)算,但如果要計(jì)算的數(shù)值很大,花費(fèi)的時(shí)間就要增加,運(yùn)算也會(huì)變得枯燥無(wú)味.距今三百多年前,十六七世紀(jì)的數(shù)學(xué)家經(jīng)常要進(jìn)行大量的關(guān)于天文和航海數(shù)據(jù)的計(jì)算,如299 792.468×31 536 000,其中,299 792.468是光在真空中的速度 (單位:km/s),31 536 000是一年的總秒數(shù),顯然這個(gè)計(jì)算更加麻煩.

1.2 納皮爾的對(duì)數(shù)

假設(shè)在一次運(yùn)動(dòng)中,有兩個(gè)沿兩條線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn).

如圖1,假設(shè)AB的長(zhǎng)度為107單位,CD無(wú)限長(zhǎng),點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P的初速度為107,設(shè)PB=x(t),在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,點(diǎn)P的速度與x(t)成正比,設(shè)比例系數(shù)為1,點(diǎn)P的速度為x(t).點(diǎn)Q做勻速直線運(yùn)動(dòng),速度為107.設(shè)CQ=y.這是納皮爾構(gòu)造的一個(gè)幾何模型.

圖1

解得x(t)=C·e-t.當(dāng)t=0時(shí),x(0)=107,代入得C=107.因此有x(t)=107e-t.

而點(diǎn)Q在射線CD上做勻速直線運(yùn)動(dòng),則y(t)=107t.將y定義為x的對(duì)數(shù),有y=Nap logx.

之后,納皮爾就用這個(gè)定義編制出了對(duì)數(shù)表,雖然花了大量的時(shí)間,但是在數(shù)學(xué)運(yùn)算上取得了很大的進(jìn)步.不過(guò),剛開(kāi)始時(shí)納皮爾選用的底數(shù)是一個(gè)相對(duì)較為復(fù)雜的數(shù),并不好用.后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家布里格斯專程拜訪了納皮爾,并建議將底數(shù)改為10,因?yàn)檫@更加符合人們使用十進(jìn)制的習(xí)慣.所以納皮爾又花了很多時(shí)間編制以10為底的對(duì)數(shù)表格,終于在1617年完成.人們一直都用這樣的對(duì)數(shù)表格進(jìn)行各種各樣的復(fù)雜計(jì)算.

2 “對(duì)數(shù)概念的引入”教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

2.1 教學(xué)分析

(1)教學(xué)背景.對(duì)數(shù)的引入是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn),大部分學(xué)生對(duì)于對(duì)數(shù)的理解有很大的困難.HPM的提出和發(fā)展給了高中教師一個(gè)新的突破口,一種新的教學(xué)方法.課本中都是從指數(shù)的問(wèn)題去引出對(duì)數(shù),但從歷史上來(lái)看,對(duì)數(shù)的發(fā)明比指數(shù)要早.從上文可以看出,只要設(shè)計(jì)合理,讓學(xué)生了解知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程,對(duì)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展有非常大的幫助.

(2)學(xué)情分析.“對(duì)數(shù)的概念”是 2022年人教版必修第一冊(cè)第四章第三小節(jié)第一課時(shí)的內(nèi)容, 在此之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了指數(shù)和指數(shù)函數(shù),對(duì)指數(shù)的運(yùn)算方法也有所了解.本節(jié)課的內(nèi)容既有利于學(xué)生對(duì)指數(shù)有關(guān)知識(shí)的復(fù)習(xí),也有利于對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí).學(xué)生在追根溯源的過(guò)程中體會(huì)數(shù)學(xué)史的魅力,體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要性.

(3)教學(xué)目標(biāo).知識(shí)目標(biāo):理解對(duì)數(shù)的概念,懂得指數(shù)和對(duì)數(shù)的互化.能力目標(biāo):培養(yǎng)邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.情感、態(tài)度和價(jià)值觀:從歷史發(fā)展過(guò)程中去了解對(duì)數(shù)產(chǎn)生的意義,引發(fā)學(xué)習(xí)的渴望,自然而然地引出對(duì)數(shù)的概念.

(4)教學(xué)重難點(diǎn).重點(diǎn)是對(duì)數(shù)的起源和對(duì)數(shù)的概念.難點(diǎn)是對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化.

2.2 教學(xué)過(guò)程

教師:今天我們學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的概念.對(duì)數(shù)的產(chǎn)生最早是為了解決計(jì)算的問(wèn)題.大家看一個(gè)例子.

學(xué)生:計(jì)算器也很難算出來(lái)!

教師:為了解決這個(gè)問(wèn)題,數(shù)學(xué)家們引進(jìn)了一個(gè)符號(hào):“l(fā)g”,讀作:以10為底的對(duì)數(shù).運(yùn)用它的一些運(yùn)算法則,除法運(yùn)算可以變?yōu)闇p法運(yùn)算,指數(shù)可以“下來(lái)”變系數(shù).

(板書(shū).給出參考數(shù)據(jù):lg 3=0.477,1g 10=1.)

設(shè)計(jì)意圖：采用順應(yīng)式改編了歷史材料1——布拉赫的困擾,讓學(xué)生初步了解對(duì)數(shù)對(duì)于計(jì)算的重要意義,認(rèn)識(shí)到對(duì)數(shù)在“簡(jiǎn)化運(yùn)算”中的作用;引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的強(qiáng)烈愿望,為第二課時(shí)“對(duì)數(shù)的運(yùn)算”做好鋪墊.

例2納皮爾精確的對(duì)數(shù)定義來(lái)源于一個(gè)運(yùn)動(dòng)的幾何模型.為了便于同學(xué)們更好理解,我們簡(jiǎn)化了他的模型.假設(shè)有兩個(gè)沿兩條直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn).點(diǎn)P從起點(diǎn)A開(kāi)始在線段AB上運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從起點(diǎn)C開(kāi)始沿射線CD運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P與終點(diǎn)B的距離PB=x(t),點(diǎn)Q與起點(diǎn)C的距離CQ=y(t).測(cè)量后知道:x(t)=2t,y(t)=3t.

(1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了一段時(shí)間,PB=2時(shí),點(diǎn)Q的位置?

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了一段時(shí)間,PB=3時(shí),點(diǎn)Q的位置?

學(xué)生:(1)當(dāng)x=2時(shí),t=1,則y=3.

教師:會(huì)解嗎?

學(xué)生搖頭.

教師:為了解決這個(gè)問(wèn)題,我們引進(jìn)對(duì)數(shù)的概念.把t稱為是以2為底3的對(duì)數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：采用順應(yīng)式改編了歷史材料2——納皮爾的對(duì)數(shù),避免了繁雜的分析,問(wèn)題通俗易懂,直接引出對(duì)數(shù)的概念的重要性,順理成章地進(jìn)行對(duì)數(shù)概念的講解,也為以后學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念埋下伏筆.

教師:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么把指數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù),記作x=logaN,a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).(強(qiáng)調(diào)了x是指數(shù).)

當(dāng)a>0,且a≠1時(shí),ax=N?x=logaN.

教師:對(duì)于例3的第(2)問(wèn),大家試試,現(xiàn)在能解決嗎?

學(xué)生:t=log23,則y=3log23.

教師:總結(jié)一下,對(duì)數(shù)是什么?

學(xué)生:①logaN是一個(gè)數(shù);②這個(gè)數(shù)記為x,則x=logaN滿足ax=N(x在指數(shù)位置).

設(shè)計(jì)意圖：課堂小結(jié)非常重要,它是學(xué)生學(xué)了一節(jié)課后對(duì)知識(shí)的梳理.根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)可以知道,學(xué)生第一次接觸對(duì)數(shù)是很難理解的.總結(jié)對(duì)數(shù)的本質(zhì)是非常有必要的.

上文只是對(duì)數(shù)概念引入的教學(xué)設(shè)計(jì),接下來(lái)的教學(xué)內(nèi)容就是用課本的題目鞏固和練習(xí),在此就不詳細(xì)說(shuō)明.

HPM的引入使學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)概念的理解更加深刻,對(duì)對(duì)數(shù)意義的領(lǐng)悟更加透徹.一開(kāi)始問(wèn)題的提出,造成學(xué)生心理的疑問(wèn),在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候及時(shí)解決,學(xué)生有一種茅塞頓開(kāi)的感覺(jué).