一類二次非線性遞推數列的通項公式和上下界估計

廣東省深圳中學 阮 禾

1 問題起源

上述引例是復習數列時,學生問筆者的一道題．這是一類比較特殊的數列.事實上,題目中的常數項-2是解題的難點,因此本題的突破點在于如何把-2消解掉．

我們考慮如下代換:

通過驗證可知上述an是滿足題目的一個解,又根據原數列的遞推公式可知該數列有且僅有一個解,因此上述解即為滿足題目的全部解．

2 主要結果

在前述引例的基礎上,筆者進行了推廣,得到如下定理:

①

下面對p進行分類討論.

情形三,p<0．

由此迭代,得到

=……

mn+1=2nlns-tn+1.

于是

yn+1=emn+1=s2ne-tn+1．

②

3 應用

證明：這是情形三中p=-1,y1=1的情況,利用情形三中的公式,可得

利用mathematica符號計算軟件計算數值s約為s=1.502 836 801 049 756 499 75……

4 解題心得