從多個角度尋找證明不等式的思路

西華師范大學 李 倩 馮長煥

1 原題呈現

題目如果a,b,c均為正數, 則

該不等式中有三個變量,因此本題屬于三變量不等式證明題.首先應該仔細觀察該不等式的特點、左右兩邊變量的關系,然后將其進行合理的變形、轉化,進而證明不等式.

2 解法探尋

在不等式求解的過程中,當不等式兩邊出現復雜的關系式時,要盡量向相對簡單的關系式轉化,這樣有助于找到二者之間的關系,從而通過關系式的整合找到解題思路.因此,現探討如下思路.

思路一:觀察左右兩邊,左邊存在b+c,a+b,a+c的組合關系式,為消去左邊分母,對左邊關系式進行轉化.

思路二:對含有分母的項進行調整.

證明：由基本不等式,可得

思路三:利用柯西不等式證明不等式成立.

證明：由柯棲不等式,得

所以有

思路四:利用向量證明不等式.

向量作為高中數學的重要知識點,不僅可以給學生帶來新的認識,還可以為解題提供新的思路.證明不等式時,經常需要通過一些技巧對不等式進行變形處理,否則會很難證明.運用向量知識可以將問題簡單化,容易證明結果.柯西不等式是利用向量證明的,由此為解決該問題提供了新的思路與方法.設向量

于是,有

(a+b+c)2

我們從四種角度出發,得到了四種不同的解題思路.在解題時,從多種角度考慮問題,可以幫助學生培養創造性思維.創造性思維的核心是發散性思維.發散性思維方式是指遇到問題時,能從多角度、多層面、多結構去思考、尋找答案,既不受現有知識的限制,也不受傳統方法的束縛.當然,也可以利用數學中的函數、方程、幾何等知識尋找新的解題思路與方法.在面對問題時,首先弄清問題是什么,抓住關鍵信息、圖或者表;其次是多尋找幾個解題的突破口,擬定一個解題計劃;再次是對問題進行解決、證明;最后是檢驗解題過程與方法,并反思該方法是否可以解決這一類問題.思路一和思路二相對來說是學生比較熟悉的,用得比較多的方法;思路三利用柯西-施瓦茨不等式是能最快解決問題的方法;思路四利用空間向量解決該問題是很靈活的方式,但同時也有一定的局限性.

要解決一道題目,經常會遇到各種各樣的問題,其原因可能有很多,如找不到切入點、知識掌握不牢固、解決方法不恰當、審題不細致等.因此,教師在課堂教學中,要激發學生主動解題的興趣,啟發學生的發散性思維,引導學生從多角度考慮問題.每當學生想出一種解題方法,教師應該給予肯定和鼓勵.通過一題多解可以有效地提高解決數學問題的效率,學生可以根據自己所熟悉的知識選擇適合自己的思路來解決問題.