一道高考參數方程題的解法分析及教學反思

海南省昌江黎族自治縣昌江中學 林瑞記

知過去,才能謀未來.我們的高中生從來都不缺乏練習題、高考題的訓煉,但大多都淺嘗輒止,缺乏上下求索的學習態度,導致各個數學知識點之間的聯系沒有得到很好的構建,知識的外延也沒能得到很好的拓展.實際上,很多高考題具有很強的教學意義和研究價值.筆者曾參與海南省2018年高考閱卷工作,現試著從2018年全國Ⅱ卷第22題關于參數方程問題的研究出發,剖析該參數方程題的不同解法,歸納解該類題目的思想方法.首先介紹考生的常見解題思路,并分析不同考生解法的思維特點,然后進一步研究不同的解法,最后揭示不同數學思維水平的考生該如何在考場中“揚長避短”,以及教師在教學中如何做到“因材施教”,落實新課標提出的高中數學學科六大核心素養[1].

1 試題呈現

(1)求C和l的直角坐標方程;

(2)若曲線C截直線l所得線段中點的坐標為(1,2),求l的斜率.

當cosα≠0時,l:y=tanα·x+2-tanα;當cosα=0時,l:x=1.(2)直線l的斜率為-2.

2 參數方程問題的解題策略分析

該題在高考中屬于選考題,因為其主要考查的內容是三角函數和解析幾何,屬學生較為熟悉的知識點,故而在高考考場上選擇的考生頗多.第(1)問主要考查學生將極坐標方程轉化為直角坐標方程、參數方程轉化為普通方程的能力,盡管該問較為簡單,但是直線l的轉換出錯較多.對于第(2)問,學生的解法主要是將直線l的參數方程代入曲線C的直角坐標方程中去求解,思維的切入點不同,解題的方法往往就大相徑庭[2].

當cosα≠0時,直線l的直角坐標方程為y=tanα·x+2-tanα;當cosα=0時,直線l的直角坐標方程為x=1.

(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0.

①

具體策略分析：解法1在閱卷中屬于司空見慣的,由于其解題思路清晰及步驟操作偏模式化,因此有很多考生青睞這種解法,也體現了這類考生數學運算素養較強.因此,在教學中針對這類學生,教師應當著重加強計算能力和運算技巧的訓練,這樣才能做到有的放矢地教學,這應該也算是數學學科的“因材施教”吧!

解法2：(ⅰ)當cosα=0時,曲線C截直線l所得線段的中點為(1,0),不合題意.

整理得(4+tan2α)x2+2tanα(2-tanα)x+tan2α-4tanα-12=0.

故直線l的斜率為-2.

具體策略分析：解法2較之解法1,在思維上走的彎路較少,聯立后整理得到的方程的解本身就是題目所求,沒必要牽涉到參數t的含義,所以考場上運用解法2的考生也較多.但是,很多學生運用該解法總是拿不到滿分,原因是沒有考慮cosα=0的情況,即直線l的斜率不存在的情況.針對這類學生,課堂上教師應該有意識地培養他們的數學抽象素養.

具體策略分析：解法3是常用于解圓錐曲線問題的點差法,思想就是未知參量設而不求,最后直接整理得斜率的表達式并求解.考場上運用該解法的學生思路清晰,基本都能拿滿分,不過也有部分學生忽略了x1=x2時斜率不存在的情況,導致被扣兩分.從側面來看,用解法3還出錯的學生表現出其邏輯推理及直觀想象素養不夠強,教師在教學中應當見微知著,有目的地補齊這類學生的短板.

(ⅱ)當直線l垂直于x軸,即直線l的斜率不存在時,曲線C截得直線l所得線段的中點坐標為(1,0),不符合題意.

具體策略分析：解法4與解法2有著異曲同工之妙,都是將兩方程聯立并整理,再應用韋達定理和線段的中點坐標求解.這類解法在考場上較為罕見,主要原因是設直線方程再聯立求解,其中的運算量較大,很多考生都望而卻步.因此,在日常教學中,教師要有意識地強化學生的數學運算素養,只有夯實基礎才能更上一層樓.

解法5：如圖1,曲線C是中心在原點、焦點在y軸上、長軸長2a=8、短軸長2b=4的橢圓,上頂點為A(0,4),右頂點為B(2,0),線段AB的中點為(1,2),所以直線AB滿足題目要求.故直線l的斜率為-2.

圖1

具體策略分析：解法5鮮為考生所知,能用該法解決第(2)問的考生體現了其較強的數學抽象和直觀想象素養,在爭分奪秒的高考考場上思維仍能做到簡明扼要、抽絲剝繭,的確令人激賞.

總之,參數方程問題的求解不僅要掌握參數方程中參數的含義,有時還需運用數形結合思想來思考和解答問題.通過這道參數方程題來審視我們的教學效果,確實還有很多需要改進的地方,很多素養需要加強.教師只有終身學習才能站好三尺講臺的崗,對以往高考題解法的回顧,能讓思維得到鍛煉和發散,能厘清知識間千絲萬縷的聯系.作為人民教師的我們,應生命不息教與學不止.