二項式定理應用問題綜析

吉林師范大學數學與計算機學院 張語航

二項式定理:

1 二項式定理在展開式中的應用

1.1 求展開式中的特定項

求展開式中的特定項時,通常直接運用通項公式.具體步驟為:先根據題中已知條件確定指數并找到等量關系,列出方程;然后對方程求解,求出r的值;最后將r的值代入通項公式中,進一步求出特定項.

解：二項式展開式的通項為

故展開式的第3項為240x2,常數項為160.

1.2 求展開式中特定項的系數

例2求(x2+1)(x-2)7的展開式中x3的系數.

解：在展開式中,x3的來源有兩個.

所以,x3的系數是448+560=1 008.

1.3 求展開式中各項系數的和或差

求二項式展開式各項系數的和或差時,通常采用賦值法[2],即根據具體情況對二項式中的a,b元素賦予確定的值,尤其是特殊的值,如-1,0,1等.

例3若(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+……+a7x7,求(1)a1+a2+……+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6.

解：(1)賦值法.

令x=1,代入二項展開式,得

(1-2)7=a0+a1+a2+……+a7=-1.

①

令x=0,代入二項展開式,得

(1-0)7=a0=1.

所以1+a1+a2+……+a7=-1.

故a1+a2+……+a7=-2.

(2)令x=-1,代入二項展開式,得

(1+2)7=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37=2 187.

②

由①-②,可得

(3)由①+②,可得

1.4 求展開式中系數的最值

解：設展開式中第r+1項的系數最大,則

2 解決整除性問題

在使用二項式定理解決整除問題時,關鍵是要在二項式的構造上有所創新.通常將相關式(數)的底數寫成除數與某個數字的和或差的形式,再根據二項式定理展開解決問題即可.

例5證明:34n+2+52n+1能被14整除.

證明：對原式變形,得

上式為14的倍數,能被14整除,所以結論得證.

3 求余數問題

用二項式定理解決余數問題要考慮到余數的范圍,若a=c·r+b,用r來表示除數,則b為余數,余數一般要小于除數,即b的范圍為b∈[0,r).

例6求9192除以100的余數.

由于展開式的前92項均能被100整除,因此只需求最后一項除以100的余數.

4 求近似值問題

例7求1.037精確到小數點后2位的值.

解：1.037=(1+0.03)7

=1+0.21+0.018 9+……

≈1.23.

所以1.037精確到小數點后2位的值為1.23.

5 證明組合數恒等式問題

證明：在二項式展開式中,令a=3,b=1,得

6 證明不等式問題

在應用二項式定理證明不等式有關問題時,通常與放縮法一起使用[3],放縮的實質是對其展開式進行取舍,將相等關系轉化為不等關系.

例9當n∈N*且n≥2時,求證:3n>2n-1(n+2).

證明：由二項式定理,可得

故3n>2n-1(n+2).

由上可知,二項式定理在解題中有著廣泛的應用.在高中數學中,二項式定理比較常見的題型就是利用二項展開式的通項公式解決特定項、展開式中各項系數的和或差等問題,除此之外,運用二項式定理來解決二項式系數或各項系數最值等問題也偶爾出現.只有多積累、多運用,才會完成從量變到質變的蛻變.