專注素養差異化,提升高考創新性

江蘇省海門中學 王 娟

《中國高考評價體系》中的“一核四層四翼”是高考命題的指導思想與基本命題要求,近兩年的高考數學試卷也是圍繞這個指導思想,同時基于數學學科素養進行一些具有學科特色的創新與改變,圍繞數學學科素養呈現出創新與差異;數學文化的滲透更加合理自然,數學應用的構建更加貼近生活,而且加大了數學探索與理性思維的考查題量與試題難度.

1 數學文化適當滲透

將數學史中的經典問題或中國傳統文化作為試題背景,可以讓學生感受數學家探究問題、解決問題的過程,潛移默化地對學生進行理想信念教育,培養學生數學學習興趣與愛國主義情懷.因而,數學文化成為近幾年高考的一個關注點, 2022年高考試題也有相應的體現.數學文化滲透的“影子”出現在各類試題中,如中國古建筑的屋頂結構(新高考I卷第3題),“會圓術”(全國甲卷理科第8題《夢溪筆談》的記載),以及下面的問題.

分析：借助數學文化的情境創設,由秦九韶公式,代入對應的參數值,直接計算可得所求的面積.

點評：該試題以秦九韶發現的“三斜求積”法為問題背景,主要考查閱讀理解與數學運算能力等.“三斜求積”與海倫公式等價,從中可以看到我國古代已具有很高的數學水平,這在一定程度上合理引導中學數學教學應關注我國古代的一些優秀科學技術成果,同時進行必要的愛國、愛民族的教育等.

2 數學應用貼近實際

數學應用往往以貼近生活實際的實例為背景,結合數學基礎知識來合理創新設置.近兩年的高考數學試卷中,數學應用問題的設置主要體現在以下幾個方面:(1)從考題數量來看,新高考Ⅰ卷只有1個解答題,全國甲卷理科有2個題,其中1個選填題1個解答題,其余4套全國卷均為3個題,其中2個選填題和1個解答題等;(2)從考查場景來看,主要針對考生比較熟悉的生活生產場景,如排隊、比賽、植樹造林以及這兩年比較熱門的流行病調查等相關問題;(3)從試題考查難度來看,大多題目是中等或簡單題,以保證大多數考生能比較輕松解決.

例2(2022年高考數學全國乙卷理科·10)某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤,各盤比賽結果相互獨立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.記該棋手連勝兩盤的概率為p,則( ).

A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關

B.該棋手在第二盤與甲比賽,p最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽,p最大

D.該棋手在第二盤與丙比賽,p最大

分析：根據生活實際中的應用問題,結合棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率不相等,可以判斷概率p受比賽次序影響,由此判斷選項A錯誤;再計算第二盤分別與甲、乙、丙比賽連贏兩盤的概率,比較大小即可得以判斷.

解析：由題設知,棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率各不相等,所以判定p受比賽次序影響,故選項A錯誤.

設棋手在第二盤與甲、乙、丙比賽連贏兩盤的概率分別為P甲,P乙,P丙,那么

P甲=p1[p2(1-p3)+p3(1-p2)]=p1p2+p1p3-2p1p2p3;

P乙=p2[p1(1-p3)+p3(1-p1)]=p1p2+p2p3-2p1p2p3;

P丙=p3[p1(1-p2)+p2(1-p1)]=p1p3+p2p3-2p1p2p3.

所以P丙-P甲=p2(p3-p1)>0,P丙-P乙=p1(p3-p2)>0,故P丙最大.

故選擇答案:D.

點評：該試題以創新情境的設置,考查概率的求法,以及數值的大小比較等.解題時要認真審題,注意實際問題的分析與理解,以及相互獨立事件概率乘法公式的靈活運用.學以致用是高考數學試卷的基本命題方向與思路,要引起高度重視,要合理交匯與融合數學基礎知識與實際應用的聯系.

3 數學探索體現差異

數學探究類的學科素養考查,可以有效區分考生的能力水平與知識差異,方便不同高校有針對性地選拔人才,因此,數學探究類試題也是高考命題者比較關注與青睞的一類問題,近年其高考中的考查力度有所提升.數學探究類的學科素養考查在高考試卷中的表現層面與展示形式主要有以下幾個方面:(1)開放性命題,(2)結論不良問題,(3)探索解題思路等形式.

分析：根據題設條件,求出雙曲線的漸近線方程,利用已知直線與雙曲線無公共點的條件,構建對應的不等式,進而確定離心率的取值范圍,結合開放性命題確定一個值即可.

4 理性思維貫穿始終

理性思維是數學學科素養中最本質、最核心的基本內容之一,也是數學學科中嚴謹邏輯思維能力最重要的一種體現方式,是歷年高考的重點與熱點.主要表現在以下幾個方面:(1)增加考題題量,(2)加強論證性問題,(3)數形相互印證等.

例5(2022年高考數學北京卷·9)已知正三棱錐P-ABC的六條棱長均為6,S是△ABC及其內部的點構成的集合.設集合T={Q∈S|PQ≤5},則T表示的區域的面積為( ).

分析：根據題設條件,設點P在底面ABC內的投影為點O,根據正三角形的性質求得OA的長,并由勾股定理求得OP的長,結合幾何直觀可知動點Q表示的區域是以O為圓心,1為半徑的圓及其內部,從而得以分析與求解.

解析：如圖1,設點P在平面ABC內的射影為點O,連接PO,AO.

圖1

故選擇答案:B.

點評：該試題通過集合語言與立體幾何知識相交匯與融合,通過數量間的關系得到圖形的幾何特征,又利用圖形的幾何特征得到數量間的關系,相互轉化,是理性思維中考查的一個重點.高考數學試題中特別強調“畫好圖”對尋求解題思路的作用,但“畫好圖”需要數量關系的強力支撐.

近兩年的高考數學試題整體上圍繞數學基礎知識與基本思想方法,以基本題型為主,合理滲透相應的數學文化場景,巧妙設置相應的數學應用問題,以及數學探索的深入開展與理性思維的創新應用等,對于引導高中數學教學,合理根除“題海戰術”,規避“題型套路”和“機械刷題”等頑瘴痼疾,做到了有效“反刷題、反套路”,擊中了當前高中數學教學的“痛點”.