抓住軌跡意識,優化解題應用

江蘇省常熟市海虞高級中學 劉 瑩

軌跡意識是平面解析幾何中的一種重要行為意識,也是平面解析幾何中的重要思想方法.除在解析幾何中熟練應用外,在解三角形、平面向量以及立體幾何等其他場合,也經常借助軌跡意識來解決相應的數學問題,直觀形象.

1 解析幾何中的軌跡意識

解析幾何中的軌跡問題,其實質就是由曲線上的動點變化規律,按照一個條件的變化引起其他相關新動點的變化情況,利用對圖形結構的理解、探索與聯想,構建“形”與“數”之間的聯系,進而探究新動點的軌跡.

分析：根據條件設出重心的坐標,通過相關點法構建重心的軌跡方程,同時引入直線的斜率參數構建對應的直線方程;通過聯立方程組,轉化為相應的方程有根的情況,利用判別式法來構建不等式,確定斜率的最值問題.

代入橢圓方程,可得點G的軌跡方程為

2 解三角形中的軌跡意識

解三角形中的軌跡問題,其實質就是將三角形問題轉化為對應的代數問題,合理構建數學模型,利用代數問題所對應的軌跡,反過來數形結合,直觀應用,往往可以出奇制勝,簡捷有效.

例2(創新題)在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,記△ABC的面積為S.

分析：(1)以條件中對應邊與角的關系確定三角形的外接圓半徑,根據動點A的軌跡,結合平面幾何圖形的直觀來確定△ABC的面積最大時動點A的位置,進而求解相應的面積.

(2)結合三角形中一邊為定值,另兩邊涉及倍數關系,根據平面直角坐標系的構建,將解三角形問題轉化為平面解析幾何中的動點軌跡問題,數形結合確定動點A的位置,進而求解面積的最大值.

圖1

數形結合,易知當頂點A位于優弧BC的中點D處時,△ABC的面積S最大.

此時,△ABC是正三角形,所以

(2)如圖2所示,以BC邊所在的直線為x軸,以BC邊的中垂線為y軸,建立平面直角坐標系xOy,則B(-1,0),C(1,0).

圖2

(x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2].

整理并化簡,可得(x-3)2+y2=8(y≠0),此即為頂點A的軌跡方程.

點評：借助解三角形中對應三角形的邊或角的某種定量關系,從平面幾何視角或平面解析幾何視角來確定動點的軌跡,合理構建平面幾何或平面解析幾何模型,借助“形”的直觀去分析與處理一些相關的最值或綜合應用問題,更加直觀形象,簡捷有效.

3 平面向量中的軌跡意識

平面向量中的軌跡問題,其實質就是抽象出平面向量中相關關系式的幾何意義,或將線性運算轉化為坐標運算等,有效確定動點的軌跡,進而利用動點的變化規律與運動軌跡,依題解答.

分析：根據題意,構建平面幾何圖形加以數形結合,利用條件中t∈R確定點A1的軌跡,結合不等式恒成立的條件確定AB⊥OA;通過勾股定理的轉化,結合關系式的特征進行三角換元處理,將所求平面向量模的和式轉化為三角函數的最值問題.

圖3

根據題意,對任意t∈R,恒有|b-ta|≥|b-a|,可得|A1B|≥|AB|.

由t∈R,可知點A1的軌跡是直線OA,數形結合可知AB⊥OA.

所以|a-b|+|a|的最大值是6.故填答案:6.

點評：借助平面幾何圖形的直觀分析,綜合平面向量的幾何意義與相關運算,直觀形象來確定對應動點的軌跡以及相應的變化規律,數形結合,從而破解起來更加直觀,處理起來更加快捷.

4 立體幾何中的軌跡問題

立體幾何中的軌跡問題,其實質就是合理進行“降維”處理,將將立體幾何問題轉化為平面幾何問題,結合動點的軌跡,綜合利用平面幾何或解析幾何等相關知識來分析與求解.

例4(2022年高考數學北京卷·9)已知正三棱錐P-ABC的六條棱長均為6,S是△ABC及其內部的點構成的集合.設集合T={Q∈S|PQ≤5},則T表示的區域的面積為( ).

分析：根據題設條件,結合立體幾何性質,合理構建點P在底面△ABC內的射影點O;結合集合的創新設置進行合理轉化,將空間中的距離問題轉化為平面內的距離問題,進而利用圓的定義與正三棱錐的性質來確定動點Q的軌跡,進而得以分析與求解.

解析：設點P在底面三角形ABC內的射影為點O.由PA=PB=PC,可知O為△ABC的外心.

由PA=PB=PC=6,得

所以,動點Q的軌跡是△ABC內以O為圓心,1為半徑的圓及其內部,則其對應的面積為π.

故選擇答案:B.

以上通過四類典型問題與實例,從不同視角加以剖析,合理引導學生在解題過程中抓住軌跡意識,對圖形變化要有動態認識,學會作圖、構圖、識圖;結合對圖形結構的理解,創新構建起良好的“數”與“形”之間的聯系,并借助問題破解中的軌跡意識,循序漸進地領悟數形結合核心素養.