巧借特殊值法,妙解高考真題

張家港高級中學 黃 軼

特殊值法破解數學客觀題,有其特殊的優勢與美妙的體驗,它是數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗等“四基”落實并上升到一定高度的特殊“產物”,是特殊與一般思維的升華．特別在解決一些函數或方程、數列、三角函數或不等式等的選擇題時,利用特殊值法,解題過程簡潔明了,很好地提升解題速度與解題效益．下面結合2022年高考數學真題中一些客觀題特殊值法的合理選用與巧妙應用加以剖析．

1 巧判函數圖象

分析：解決此類題的常用思維就是先根據函數的解析式判定函數的奇偶性,再借助特殊值的選取合理排除錯誤的選項．而此題兩次利用函數特殊值的選取,即可將不滿足函數值取值情況的圖象完美地排除,實現巧妙判定函數圖象的目的．

解析：選取特殊值x=1,可得f(1)=(31-3-1)·cos 1>0,由此排除選項C,D;

再選取特殊值x=-1,得f(-1)=(3-1-31)·cos(-1)<0,由此排除選項B.

故選擇答案:A．

點評：巧妙選取特殊值來判斷函數或方程所對應的函數圖象問題,將特殊值所對應的函數值情況與點的位置特征加以聯系與對比,排除不合理的圖象選項．對于單選題,在利用特殊值法巧判函數或方程所對應的函數圖象問題時,經常要多次利用特殊值的巧妙選取來合理排除,直到剩下最后一個正確答案為止．

2 判定函數關系式

A．f(-x)+f(x)=0 B．f(-x)-f(x)=0

分析：解決此類題的常用思維就是利用題設給出的函數關系式,結合選項中對應函數關系式代入,通過指數運算與變形來轉化與驗證,進而得以正確判定．而此題選取特殊值加以驗證即可正確判定,從而減少數學運算量,這也是一種不錯的技巧方法．

故選擇答案:C．

點評：在判定一些復雜函數關系式的成立問題時,為避免復雜的邏輯推理與繁雜的數學運算,經常借助一些特殊值的選取,代入函數關系式加以化簡與求值,可以很好地優化解題過程,同時對于函數關系式的判定更加直接、有效．

3 求解相應函數值

A．tan(α+β)=1 B．tan(α+β)=-1

C．tan(α-β)=1 D．tan(α-β)=-1

分析：解決此類題的常用思維就是利用三角恒等變換公式對題設的三角函數方程加以變形與轉化,進而結合化簡的結果來分析與求解對應的三角函數值問題．而此題結合兩次特殊值的選取,即可合理排除不滿足條件的選取,簡化公式變形與推理過程,優化數學運算．

①

選取特殊值β=0,代入①式,得sinα+cosα=0,即tanα=-1;再將β=0分別代入四個選項,由此可以排除選項A,C.

選取特殊值α=0,代入①式,可得sinβ-cosβ=0,即tanβ=1;再將α=0分別代入四個選項進行驗證,由此可以排除選項B.

故選擇答案:D．

點評：這里很好地通過三角函數關系式中角的變化以及對應選項中的三角函數值不變的特征,利用兩次特殊值的選取,結合選項中的三角函數值進行排除．借助特殊值法處理相關數學問題時,有時一次特殊值的選取不能直接達到目的,可以進行第二次特殊值的選取,直至剩下最后一個選項為止．

4 確定參數取值范圍

例4(2022年高考數學浙江卷·9)已知a,b∈R,若對任意x∈R,a|x-b|+|x-4|-|2x-5|≥0,則( ).

A．a≤1,b≥3 B．a≤1,b≤3

C．a≥1,b≥3 D．a≥1,b≤3

分析：解決此類題的常用思維就是絕對值不等式的函數圖象化處理思維、參數的分類討論思維等,過程復雜,討論繁多．而此題利用特殊值的選取,代入題設的絕對值不等式加以化簡,利用含參不等式恒成立的條件確定參數的取值情況,結合各選項中的參數取值范圍即可驗證與確定．

解析：選取特殊值x=4,由a|x-b|+|x-4|-|2x-5|≥0,可得a|4-b|-3≥0.

顯然a≠0且b≠4,觀察各選項可知,只有a≥1,b≤3符合這個結論.

故選擇答案:D．

點評：借助含參絕對值不等式中特殊值的選取,簡化不等式,減少變量,借助不等式恒成立等相關知識確定相關參數的取值情況,再結合選項合理驗證．在具體借助特殊值法確定參數取值范圍的問題時,經常不能直接得到對應參數的取值范圍,而是借助選項中參數不同取值范圍加以驗證與判斷,合理排除,巧妙確定．

5 判斷不等式成立

例5(2022年高考數學新高考Ⅱ卷·12)(多選題)對任意x,y,x2+y2-xy=1,則( ).

A．x+y≤1 B．x+y≥-2

C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1

分析：解決此類題的常用思維就是不等式思維、配方思維或換元思維等,利用條件中的二元方程,結合基本不等式、完全平方公式或三角換元等方法來處理,解題過程較為繁瑣．而此題利用特殊值法,根據滿足二元方程條件下的特殊值的兩次合理選取,即可正確排除對應的選項來達到正確判斷的目的,簡單快捷．

解析：選取特殊值x=y=1,其滿足方程x2+y2-xy=1,則有x+y=2≤1不成立,故選項A錯誤;

根據多選題“至少有兩個選項是正確”的特征,故選擇答案:BC．

點評：利用特殊值法破解一些數學的綜合與創新問題時,有一定的“秒殺”效果,但要注意一般“可遇而不可求”,不具有可推廣性與普及性.如果一定要花大量時間去配湊特殊值,往往得不償失．這里借助二元方程的結構特征,可以快速選取相應的特殊值來驗證,綜合多選題的特征,當確定其中兩個選項為錯誤時,則另外兩個選項肯定是正確答案．

巧借特殊值法,可以在很大程度上簡化繁雜的邏輯推理過程與復雜的數學運算過程,但也不能盲目任意選取特殊值,要吻合數學問題中特殊與一般思維之間的聯系與轉化,才能達到正確使用特殊值法的目的．巧妙借助特殊值法,能很好降低知識復雜層次,弱化基礎知識難度,強化數學思想方法,優化數學解題過程,提升數學解題效益,節省寶貴考試時間,真正達到“小題小做”“小題巧做”“小題快做”等良好解題效益．