從“一題多解”中培養發散性思維

西華師范大學數學與信息學院 李佳潔 賴周萍

羅增儒教授認為“數學教育中真正發生數學的地方都無一例外地有數學解題活動”.在數學教學中,“一題多解”是一種最常用、最有效的教學手段.通過“一題多解”從不同角度對問題結構展開分析,將已有的數學知識輸出,經歷觀察、猜測、證明的過程,培養學生的發散性思維[1].本文中將從一道例題的多種解法出發,逐步培養學生的發散性思維.

例題若a,b均大于1,且滿足ab=a+b+3,求ab的最小值.

1 利用均值不等式

方法一：因為ab=a+b+3,所以a+b=ab-3.

所以ab≥9.

故ab≥9.

2 利用根與系數的關系

方法三：構造對偶式.

因為ab=a+b+3,所以構造ab+(a+b)=t.

基于一元二次方程根與系數的關系,可以將a,b看作一元二次方程Ax2+Bx+C=0兩根,則

此時,原一元二次方程可以寫為

2x2-(t-3)x+3+t=0.

因為該一元二次方程有兩實根,所以△≥0,即(t-3)2-8(3+t)≥0.

化簡,得(t-15)(t+1)≥0.

由于a,b是大于1的正數,因此t>1.

故t≥15,即ab≥9.

方法四：直接設值.

由于ab=a+b+3,不妨設ab=t,則a+b=t-3.

根據一元二次方程根與系數的關系,可以將a,b看作一元二次方程Ax2+Bx+C=0的兩根,則

此時,原一元二次方程可以寫為

x2-(t-3)x+t=0.

因為方程有兩實根,所以Δ≥0,即(t-3)2-4t≥0.

化簡為(t-9)(t-1)≥0.

由于a,b是大于1的正數,因此t>1.

故t≥9,即ab≥9.

點評：以上兩種方法在于細致的觀察,等式中出現的變量有ab和a+b,基于這兩種形式的特殊性,聯想到一元二次方程中根與系數的關系,再運用判別式求ab的范圍.方法三在解題過程上會略顯復雜,運用對偶法解決出現ab和a+b兩種形式的題較為常見.

3 利用數形結合思想

方法五：幾何法——等面積法.

如圖1,長方形ABCD中,AB=a,BC=b.

圖1

在AB上取一點E,令BE=1,過點E作AB的垂線交DC于點F;在BC上取一點N,令BN=1,過點N作BC的垂線交AD于點M.

令GF=x,MG=y,則有a=y+1,b=x+1.

即y=a-1,x=b-1.

由圖可知S矩形ABCD=ab,且有

S矩形ABCD=S矩形AEGM+S矩形BEGN+S矩形GNCF+S矩形MGFD

=y+1+x+xy

=a+b+(a-1)(b-1)-1.

又ab=a+b+3,所以(a-1)(b-1)=4.

即SMGFD=xy=4.

當xy的值確定,要求x+y的最小值,即求長方形MGFD的周長的最小值,而矩形面積一定時,正方形周長最小.

故當且僅當x=y=2時,x+y最小.此時,a=b=3,ab的最小值為9.

點評：該解法嘗試將代數問題轉化為幾何問題,使問題更加形象、具體.通過構建長方形,借助面積法表示出ab,(a-1)(b-1),并基于圖形的幾何意義找到二者的代數關系.為了求最小值,將面積問題轉化為周長問題進行解決.數形結合法拓展了學生思考問題的維度,促使學生進入更高階的思維層次.

4 利用數列知識

方法六：等差數列法.

因為ab=a+b+3,所以ab-3=a+b.

(ab-9)(ab-1)≥0.

由于a,b是大于1的正數,因此ab≥9.

方法七：等比數列法.

由ab=a+b+3,得(a-1)(b-1)=4.

由a,b是大于1的正數,可知q>0.

點評：方法六和方法七均先對等式進行變形,將視角聚焦到變式后的結構形式上.通過將該等式割裂成三項,建立了等式與特殊的函數——數列之間的聯系,將等式分割為三項,從數列的等差、等比中項的性質出發,建立關系,從而求出ab的范圍.該方法對學生基礎知識和思維能力的要求較高.

本文中對一道例題進行“一題多解”,從多角度思考數學問題.除了常用的解題方法,還嘗試從新的視點分析問題,建立初高中所學習知識體系的聯系.例如,將代數問題轉化為幾何問題,借助圖象用面積法解決問題;將代數與特殊的函數——數列建立關系,利用數列的性質解決問題;等等.這樣的轉化,可將“摸不透”的問題“明晰化”,使學生對所學知識做到融會貫通,實現思維層次的高階化[2].