“三新”背景夯基礎,核心素養重創新*
——指向數學高階思維的“概率”單元復習設計

江蘇省灌南縣惠澤高級中學 高 嬌

在新教材(人民教育出版社2019年國家教材委員會專家委員會審核通過)、新課程(《普通高中數學課程標準(2017年版,2020年修訂》)、新高考“三新”背景下,“概率”單元復習教學設計更加側重于數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗“四基”層面,合理構建知識網絡與體系,注意數學概念的基礎性,凸顯數學公式的應用性,展示數學思維的靈活性等,有效進行單元復習教學設計與安排.

1 構建知識網絡,厘清單元系統

涉及“概率”單元知識模塊,關鍵在于構建相應的知識網絡,“串聯”起各個知識點之間的聯系,形成節點,全面厘清單元系統,為進一步理解與深化知識,以及綜合應用等創設條件.

圖1是“概率”單元的知識網絡,從數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗這四個不同視角來展開,關注學生對“四基”的落實情況,以及發現問題、提出問題、分析問題和解決問題能力的培養與提升情況,重視數學核心素養的發展.

圖1

2 重視概念學習,辨析理解差異

“概率”單元中涉及眾多的概念,正確學習并理解對應的概念,以及不同概念之間的差異,為解決問題提供條件.如,隨機事件、必然事件與不可能事件,頻率與概率,互斥事件與對立事件,事件的關系(和事件與積事件)與運算,互斥與獨立,等等,都需要我們正確理解相關概念,并加以合理聯系與區別.

例1從一批產品中取出3件產品,設A={3件產品全不是次品},B={3件產品全是次品},C={3件產品不全是次品},則下列結論正確的有(填序號).①A與B互斥;②B與C互斥;③A與C互斥;④A與B對立;⑤B與C對立.

分析：正確理解并掌握互斥事件與對立事件的概念,辨析二者之間的關系與差異,并對復雜事件加以細化與展開,進而結合互斥事件與對立事件的概念來逐個分析與判斷.

解析：事件A指的是3件產品全是正品,事件B是指3件產品全是次品,事件C包括1件次品2件正品、2件次品、1件正品3件全是正品這3個事件.

所以A與B是互斥事件,但不是對立事件;A與C是包含關系,既不是互斥事件,也不是對立事件;B與C既是互斥事件,也是對立事件,故結論正確的有:①②⑤.

3 強化概率公式,增強數學運算

“概率”單元中涉及眾多的公式與性質,正確理解并掌握這些基本公式,為相應概率的求解與運算奠定基礎.這里涉及的公式與性質主要有:古典概型的概率公式,概率的基本性質,互斥事件的概率公式,對立事件的概率公式,獨立事件的概率公式,等等.

最主要的概率公式與求解就是古典概型的概率問題、相互獨立事件的概率問題等,它們都是這個單元中比較基本的數學運算對象.

例2甲、乙兩校共有6名數學教師報名參加“對口”支教活動,其中甲校的數學教師是2男1女,乙校的數學教師是1男2女.

(1)若從甲、乙兩校中各任選1名,試求選出的2名教師性別相同的概率;

(2)若從甲、乙兩校中任選2名,試求選出的2名教師來自同一學校的概率.

分析：根據題設,分別用不同的字母來表示甲、乙兩校中的不同教師,第(1)(2)問都可以通過羅列法列舉出不同的結果,再利用古典概型的概率公式加以分析與求解.

解析：設甲校兩名男教師分別用a,b表示,女教師用c表示;乙校男教師用x表示,兩名女教師分別用y,z表示.

(1)從甲、乙兩校中各任選1名教師,樣本空間為Ω={ax,ay,az,bx,by,bz,cx,cy,cz}.

其中,記A=“選出的2名教師性別相同”,于是A={ax,bx,cy,cz}.

(2)從甲、乙兩校中任選2名教師,樣本空間Ω={ab,ac,ax,ay,az,bc,bx,by,bz,cx,cy,cz,xy,xz,yz}.

其中,記B=“選出的2名教師來自同一學校”,于是B={ab,ac,bc,xy,xz,yz}.

4 拓展數學思維,關注補集思想

“概率”單元中涉及眾多的數學思維,如補集思想、方程思想等,這些都是解決概率問題比較常用的數學思維.全面拓展并應用數學思維,可以使數學知識的學習更加牢固,數學問題的解決更加簡捷.

例3甲、乙兩名射擊運動員分別對同一目標射擊1次,甲、乙射中的概率分別為0.8, 0.9,設事件A為“甲射中目標”,事件B為“乙射中目標”,事件A與B是相互獨立的.求:

(1)兩人都射中的概率;

(2)兩人中恰有一人射中的概率;

(3)兩人中至少有一人射中的概率.

分析：根據條件,設出對應事件,并確定兩事件之間的關系.第(1)問通過獨立事件的概率公式來分析與求解;第(2)問結合不同情況進行分類討論,再利用獨立事件的概率公式來分析與求解;(3)通過補集思想,借助對立事件與獨立事件的綜合應用來分析與解決.

解析：由題意知P(A)=0.8,P(B)=0.9.

(1)根據獨立事件的概率,可知兩人都射中的概率為P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.

在“三新”(新教材、新課程、新高考)背景下,進一步落實“雙減”政策與新改革理念,積極貫徹《總體方案》要求,“概率”單元復習教學設計與安排在尋求基礎、本質、能力、創新等的基礎上,更多側重數學基礎與關鍵能力的考查,堅持開放創新與核心素養導向,更加注重數學創新意識與創新應用.