基于HPM的高中數(shù)學概念課教學設計與應用研究*
——以“函數(shù)的概念”教學為例

江蘇省儀征中學 鄧迎春

南京師范大學第二附屬高級中學 張曉飛

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》(后面簡稱“課標”)指出:函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學最基本的概念,是描述客觀世界中變量關系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學語言和工具,在解決實際問題中發(fā)揮重要作用.函數(shù)概念是高中數(shù)學很重要的基礎概念之一,但是很多學生忽視對函數(shù)概念的理解.不少學生存在這些疑問:“為什么初中已經(jīng)學習了函數(shù)的概念,高中還要學習新的概念?是不是到了大學還要學習函數(shù)新的定義?函數(shù)的概念到底是怎么產(chǎn)生、怎么發(fā)展的?”

在數(shù)學教學中一定要突出數(shù)學本質(zhì),而這就需要在教學過程中讓學生深入理解數(shù)學概念,理解數(shù)學本原性知識,了解數(shù)學歷史、數(shù)學文化,掌握數(shù)學思想,體會數(shù)學思維方式,并學會對數(shù)學美的鑒賞.很多研究已表明,將數(shù)學史融入教學有助于學生認識數(shù)學發(fā)展規(guī)律和數(shù)學本質(zhì),只有讓學生經(jīng)歷了知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程,才能將數(shù)學冰冷的美麗轉(zhuǎn)變?yōu)榛馃岬乃伎?鑒于此,在2020年秋季學期本校骨干教師教學展示活動中,筆者就“函數(shù)的概念”這一課題,嘗試從HPM的角度進行教學設計,通過若干情境,結合數(shù)學史對函數(shù)概念的教學進行了重構,加強函數(shù)概念發(fā)展史內(nèi)容的滲透,促使學生更好地掌握本節(jié)課內(nèi)容,提升學生的人文情懷,提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng).現(xiàn)整理成文,與各位同仁共勉.

1 教學設計與實施

1.1問題情境與學生活動

托馬斯曾說過:“函數(shù)概念是近代數(shù)學思想之花.”今天老師和大家一起學習“近代數(shù)學思想之花”——函數(shù)的概念.可能同學們會有疑惑,初中已經(jīng)學過函數(shù)的概念了,為什么到了高中還要學習?難道函數(shù)還有不同的定義?其實函數(shù)的概念經(jīng)歷了幾次抽象的過程,下面我們就以教材中的三個現(xiàn)實生活問題為載體再重溫一下函數(shù)概念的發(fā)展歷史.

情境1某城市在某一天24 h內(nèi)的氣溫變化情況如圖1所示,試根據(jù)圖象回答下列問題:

圖1

(1)這一變化過程中,有哪幾個變量?

(2)如果一個動點P在這個曲線上運動,它的橫坐標、縱坐標有關系嗎?

情境說明：此情境中有時間和溫度兩個變量.如果動點在曲線上運動,動點P的橫坐標、縱坐標是相互依賴的.其實在歷史上,法國數(shù)學家笛卡兒在《幾何學》一文中首先引入變量思想,將變量稱為“未知和未定的量”.1673年,牛頓在微積分的討論中,使用“流量”來表示變量間的關系.同年,萊布尼茨創(chuàng)造了函數(shù)function一詞,表示任何一個隨著曲線上的點變動而變動的量的縱坐標.此時為函數(shù)概念的萌芽時期.

情境2一物體從靜止開始自由下落,下落的距離y(單位:m)與下落的時間t(單位:s)之間滿足什么關系?

(1)上述情境中,有幾個量?常量是哪些?變量又是哪些?

(2)可以通過什么來刻畫兩個變量之間的關系?

情境3估計人口數(shù)量變化趨勢是我們制定一系列相關政策的依據(jù).表1是我國從1949年至1994年人口數(shù)據(jù)資料:

表1

(1)表1中有變量嗎?有幾個變量?

(2)當年份確定后,當年的人口數(shù)是否確定?你能寫出人口數(shù)關于年份的關系式嗎?

情境說明：“是不是所有的變量都能用解析式表示?”在18世紀中期,隨著生活和科技的發(fā)展,出現(xiàn)了這樣的新問題.如表1中的變量為年份和人口數(shù),當年份確定時,對應年份的人口數(shù)也是確定的,但是我們無法寫出人口數(shù)關于年份的關系式.18世紀20年代,德國數(shù)學家狄利克雷給出如下函數(shù)定義:對于在某區(qū)間上的每一個確定的x的值,y都有一個確定的值,那么y叫做x的函數(shù).這時,我們才認為函數(shù)概念的本質(zhì)已經(jīng)形成,即數(shù)學人常說的函數(shù)的經(jīng)典定義,也稱“對應定義”.

思考1：結合上述三個情境問題,如何用集合語言描述兩個變量?

思考2：如何用集合語言描述函數(shù)的變量對應關系?

思考3：基于以上兩點思考,你能嘗試用集合的語言給出函數(shù)的定義嗎?

在1930年,近代函數(shù)的定義為:若對集合M的任一元素x,總有集合N中唯一確定元素y與之對應,則稱集合M上定義一個函數(shù),記為y=f(x).元素x稱為自變元,元素y稱為因變元.

歷經(jīng)數(shù)百年,函數(shù)概念經(jīng)過好幾代數(shù)學家的錘煉、革新,至此,數(shù)學家們完成了近代函數(shù)概念建構的全過程.但這并不一定是函數(shù)概念的終結版,隨著科學的發(fā)展,函數(shù)的概念還在繼續(xù)發(fā)展.

1.2意義建構和數(shù)學理論

蘇教版必修1(2020年7月第一版)給出的函數(shù)定義如下:

一般地,給定兩個非空實數(shù)集合A和B,如果按照某種對應關系f,對于集合A中的每一個實數(shù)x,在集合B中都有唯一的實數(shù)y和它對應,那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)(function),記作y=f(x),x∈A.其中,x叫作自變量,集合A叫做函數(shù)y=f(x)的定義域(domain).

思考4：高中的函數(shù)定義與近代函數(shù)的定義有沒有區(qū)別?

思考5：初中的函數(shù)定義與高中的函數(shù)定義有什么異同?

思考6：高中函數(shù)定義的基本要素是什么?

近代函數(shù)定義建立在集合上,高中函數(shù)定義建立在非空實數(shù)集合上;高中的定義是從集合、對應的觀點出發(fā),而初中給出的定義是從運動變化的觀點出發(fā),本質(zhì)是一樣的,都是一種對應關系,不同的是敘述的方式.此三個思考,能更好地幫助學生在已有的知識基礎上理解新的知識,并融會貫通.

1.3數(shù)學運用

例1判斷下列對應是否為函數(shù),如果是函數(shù),你能否說出其定義域和值域?

例2判斷下列各組函數(shù)是否為同一函數(shù)?

設計意圖：例1是訓練學生用概念來解析問題,加強對函數(shù)本質(zhì)的理解.通過例1強調(diào)函數(shù)概念中的“任意性”與“唯一性”,并促使學生關注到,對應的是結果,而不是過程.例2是概念的再理解應用,函數(shù)的定義域相同,且相同的變量值對應的函數(shù)值也相同,那么這兩個函數(shù)就是同一函數(shù).簡單地說,如果兩個函數(shù)的三要素(定義域,對應關系,值域)相同,那么這兩個函數(shù)就是同一函數(shù);更簡單地說,定義域和對應關系相同的兩個函數(shù)即為同一函數(shù).函數(shù)的表達與字母的使用無關.

1.4總結與反思

問題：同學們,今天我們一起徜徉在歷史長河中,經(jīng)歷了函數(shù)概念的萌芽、發(fā)展到逐步完善的過程,并學習教材中函數(shù)的定義,你有什么收獲?

設計意圖：總結和反思可以幫助學生厘清這節(jié)課的“為何”和“如何”的問題,即為何要學習本節(jié)課的知識,又是如何學習的,并形成知識體系,提升學科素養(yǎng),使學生更深層次地理解三百多年來函數(shù)概念的發(fā)展與生產(chǎn)、生活以及科學技術的實際需求緊密相關.

有的學生認為函數(shù)概念的發(fā)生、發(fā)展都離不開生活,生活是科學發(fā)展的原動力;有的學生總結說了解到函數(shù)概念一步一步逐漸發(fā)展成熟的過程,知道了函數(shù)概念的來龍去脈,理解了概念的本質(zhì);還有的學生覺得人們認識函數(shù)概念的過程是非常曲折的,科學研究需要不斷的學習與創(chuàng)新;等等.

1.5課外自主探索

自主搜索“狄利克雷函數(shù)”,并了解它在函數(shù)概念發(fā)展中的作用.

設計意圖：從課內(nèi)到課外,使學生能主動地有意識地參與到數(shù)學史和數(shù)學文化的學習中,認識到數(shù)學史和數(shù)學文化在數(shù)學學習中的作用和意義,并能借助課堂上學習的思想和方法,形成自主學習新知識的意識和能力.

2 教學反思與感悟

HPM是一個富有魅力、前景廣闊、特色鮮明的學術領域.它既需要有一定的數(shù)學和數(shù)學史功底,也需要掌握數(shù)學教育的理論與研究方法;既需要有坐“冷板凳”的功夫,也需要有較強的社會實踐能力.

2.1 以史為鑒,激發(fā)學生數(shù)學學習熱情

本節(jié)課的授課對象為江蘇某四星級高中高一普通班學生.從教學過程看,學生課堂回答問題的主動性、積極性很高.學生對函數(shù)概念的“前世今生”也非常感興趣,在學習過程中,學生時而穿越時空,與先哲對話,汲取思想養(yǎng)料,探索教學方法;時而回歸現(xiàn)實,走入心靈之中,探索數(shù)學學習的歷史相似性;教師也時而掩卷深思,品味成敗得失,展望數(shù)學教育美好的明天.在課后與同學的交流中,大部分學生贊同課堂中適當融入數(shù)學史,以激發(fā)學習興趣,也有利于培養(yǎng)高中生數(shù)學抽象和邏輯推理核心素養(yǎng).

2.2以史啟真,培養(yǎng)學生正確的數(shù)學觀

函數(shù)概念是高中數(shù)學中很重要的知識點,但是學生學習之初會感到很困惑:初中已經(jīng)學習過函數(shù)的概念,為什么又要學習函數(shù)的另外一種概念?同時,學生對函數(shù)概念的理解往往局限于一次函數(shù)、二次函數(shù)等特殊的簡單函數(shù),對函數(shù)概念存在不少片面認識.本節(jié)課通過對函數(shù)概念發(fā)展歷史的簡單重構,引領學生經(jīng)歷了函數(shù)概念發(fā)展的四個時期,了解了數(shù)學概念發(fā)生、發(fā)展的曲折過程,明確了科學知識發(fā)生、發(fā)展的源動力.法國大數(shù)學家龐加萊也說:“如果我們想預見數(shù)學的未來,適當?shù)耐緩骄褪茄芯窟@門學科的歷史和現(xiàn)狀.”基于HPM重構高中數(shù)學課堂,避免了簡單地告知知識點是什么,怎么答題,而是把數(shù)學的本質(zhì)展現(xiàn)出來,通過系列本源性問題,促進學生的思考和探究,最終實現(xiàn)培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的目標.

2.3以史促思,培養(yǎng)學生的數(shù)學思維

我們要知其然,還要知其所以然.“為什么會萌發(fā)函數(shù)概念?為什么要明確函數(shù)概念?為什么要完善函數(shù)概念?”這些都是數(shù)學本原性問題.用好數(shù)學史,可以幫助學生回歸、溯源、思考原始問題,啟迪學生思維.大力挖掘數(shù)學史的教育價值,將這些方面用到日常數(shù)學教學中,對于增進學生的數(shù)學問題意識,培養(yǎng)學生數(shù)學思考的習慣和獨立鉆研的能力,啟發(fā)學生的思維和方法,提高數(shù)學的創(chuàng)新水平等都具有重要的作用.紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行,要使學生從被動的學習到主動地探究,從知之到樂之.