巧用源于教材的變式拓展 提升學生素養

武威第八中學 徐殿雄

數學教學離不開解題,掌握數學就意味著要善于解題.解題不僅僅是單純的解答或推證出結果,更重要的是如何探源溯流,找尋試題結論的本質,挖掘試題背后蘊藏的思想,通過解題引發學生思考與交流,提升數學思維能力,形成和發展學生的數學學科核心素養.

1 從源頭探究

例1求直線l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交點坐標.

解析：l1和l2的交點為M(-2,2).過程略.

評注：這是人教A版普通高中數學選擇性必修第一冊第70頁例1,基礎題,主要考查兩條直線的交點問題,考查學生的“數學運算”核心素養,其實質就是聯立直線方程,求解方程組.

思考：交點為M(-2,2)的直線l1和l2唯一嗎?,若不唯一,如何表示?

眾生:不唯一.

師:我們把過該點的直線叫直線系,如何用方程來表示,請先看下面的探究.

拓廣探究：已知λ為任意實數,當λ變化時,方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么圖形?圖形有何特點?

分析1：令3x+4y-2=0且2x+y+2=0,則方程組的解是x=-2,y=2,即方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示過點M(-2,2)的一族直線系.

分析2：令λ=0,1時,分別得到方程3x+4y-2=0和x+y=0,聯立方程并解得x=-2,y=2,即方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示經過點M(-2,2)的一族直線系.

變式不論λ為何值,直線(3+2λ)x+(4+λ)y-(2+2λ)=0都恒過定點.

在教學中從典例出發,適時改編設問方式換一副“新面孔”,有助于學生創新意識和創新精神的培養,在變式中抓住題源,似曾相識,更能充分調動學生的積極性,開闊視野,發展核心素養.這種含參直線恒過定點的問題在實際應用中較為廣泛,如在圓錐曲線有關定點、定值問題中常常用到這種方法.

2 從特殊到一般拓展探究

例2已知直線l1:A1x+B1y+C1=0與直線l2:A2x+B2y+C2=0相交,證明方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 (λ∈R)表示過l1與l2交點的直線.

證明：設P(x0,y0)是直線l1與l2的交點,則有A1x0+B1y0+C1=0且A2x0+B2y0+C2=0.于是A1x0+B1y0+C1+λ(A2x0+B2y0+C2)=0(λ∈R),所以D(x0,y0)也是直線A1x+B1y+C1+λ·(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)上的點.問題得證.

評注：本題涉及過兩條相交直線交點的直線系方程如何寫;反之,如何求出含參的直線系的交點坐標.特別地,若P(x0,y0)是兩條互相垂直的直線l1與l2的交點,則過點P的直線系方程是y-y0=k(x-x0),即(y-y0)-k(x-x0)=0,應用十分廣泛.

先從直線方程的特殊性(x,y的系數及常數項已知)到直線方程一般式(x,y的系數及常數項未知)的變式,再到用變化的觀點去學習教材知識,抓住直線“變”與交點“不變”的核心,培養學生的創新意識.同時,這種變式的方法為發揮教材中習題的典型性、示范性提供了可借鑒的方法[1].

3 類比聯想,拓展圓系方程探究

由直線系方程是否可以聯想到圓系方程呢?回答是肯定的.把“兩條直線相交”改為“兩圓相交”,可以類比寫出圓系方程,這樣可獲得同類知識的相關結論并靈活加以運用.

例3求圓心在直線x-y-4=0上,并且經過圓x2+y2+6x-4=0與圓x2+y2+6y-28=0的交點的圓的方程.

評注：解析2正是例2結論的推廣,利用此結論解題能打破常規思維(如解析1),方法簡便,過程簡潔.

4 類比聯想,拓展曲線系方程探究

除直線系方程和圓系方程外,我們大膽地聯想還會有“橢圓系”“雙曲線系”以及“拋物線系”方程,而這些方程可用“曲線系”方程代表.聯想、類比獲得同類知識的相關結論,能使學生在解題過程中體會、理解解決這類問題方法和區別所在,提高學生分析問題的能力.

例4已知曲線C1:f1(x,y)=0與C2:f2(x,y)=0相交,證明方程f1(x,y)+λf2(x,y)=0 (λ∈R)表示過C1與C2交點的曲線.

本題仿照例2容易得證,利用此結論易求教材第98頁習題2.5的第7題:求經過M(2,-2)以及圓x2+y2-6x=0與x2+y2=4交點的圓的方程.

解法2：設所求圓的方程為x2+y2-6x+λ(x2+y2-4)=0.因為M(2,-2)在圓上,將它代入方程,得λ=1,所以所求圓的方程為x2+y2-3x-2=0.

評注：本題還可以設出圓的一般方程,將三點坐標代入求解.這兩種解法比較,顯然解法2簡捷明了,精彩紛呈.解題的關鍵是正確設出圓的方程.這是過兩條曲線交點的曲線系方程的標準形式,也給出了求該曲線恒過某一定點的方法.由易到難、由簡單到復雜的變化,能使學生從變中發現數學題之間的聯系與本質區別以及題目“難”與“易”的辯證關系.

5 直線與圓位置關系中的定點、定值問題

例5已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=25,直線l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0.

(1)求證:直線l恒過定點.(2)直線l被圓C截得的弦何時最長、何時最短?并求截得的弦長最短時m的值以及最短弦長.

(1)證明：直線l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0可化為x+y-4+m(2x+y-7)=0.

所以直線l恒過定點A(3,1).

(2)解：直線l被圓C截得的弦長最長時,直線l過圓心;直線l被圓C截得的弦長最短時,弦心距最大,此時CA⊥l.

評注：本題考查直線恒過定點與弦長的計算問題.第(1)問利用例2的結論可以獲解;第(2)利用圓的特殊性,明確過圓內定點的弦何時最長,又何時最短,然后利用弦心距、弦之半、半徑構成直角三角形獲解.

如果本題第(1)問證明“不論m為何值時,直線l和圓C恒有兩個交點”,那么只需判斷直線l恒過的定點在圓內即可,或聯立直線和圓的方程,得到含參的關于x的一元二次方程,再用判別式即可判斷.

6 高考真題再現及其結論的應用

我們發現教材基礎題與高考選拔題確實有一定的差異,但不能因此拋開教材,而應更加熟練地掌握教材內容及其中蘊含的方法,這樣才能從容應對“源于教材而高于教材”的高考題.

(1)求E的方程;

(2)證明:直線CD過定點.

圖1

所以,直線CD的方程為

評注：本題第(1)問主要考查了橢圓的簡單性質及方程思想.第(2)問欲證明直線CD過定點,首先要求出直線CD的方程,這個方程是用點P的縱坐標y0作為參變量表示的;其次,需要分別求出C,D兩點的坐標,而C,D兩點的坐標已知條件說得很清楚;最后,用直線方程的點斜式寫出方程,化為y-y0=k(x-x0)的形式,即可說明直線恒過點(x0,y0).證明的目標很明確,需要轉化思想和推理論證能力,對學生計算能力的要求較高.學生往往對含字母的運算望而生畏,心有余而力不足,導致證明半途而廢.

7 結束語

挖掘教材知識、串聯教材各考點的知識,根本目的在于讓學生能夠觸類旁通、融會貫通,學會探索和研究,在交流探究過程中,培養分析問題和解決問題的綜合品質.圓錐曲線中一個重要考點就是定點、定值問題,由于隱去題析增強了探索性,所以增加了試題的難度.因此,教師應引導學生打牢基礎,教會學生能夠把教材前后之間的知識點、考點、相互關聯點交織成網,掌握解題過程中“動中求靜,靜中窺動”的思維特點.通過分析圖形找定點、探索共性尋定點、巧賦值找定點、仔細觀察猜定點等方法培養學生綜合運用知識的能力.這類問題正因為探索性強[2],因而是發展學生創新思維、全面提升學生素質的好題材,教學中一定要充分利用其教學價值.