生態課堂意義下的導數概念課
——評王靚老師的“導數概念課教學”

文衛星數學生態課堂公眾號 文衛星

所謂數學生態課堂是指數學課堂教學做到兩個尊重和把握兩個度,即尊重學生的認識規律,尊重知識的發生、發展規律.兩個度是指思想高度(主要指哲學思想)和文化厚度.

王靚老師這節“導數的概念”課,筆者認為既做到了兩個尊重又把握了兩個度.具體表現在以下幾個方面.

1 精彩引入,一石數鳥

問題從運動學的平均速度過渡到瞬時速度,這是學生熟悉的知識.通過問題2的追問1—4,計算自由落體運動的物體在1到3秒內的平均速度.然后,分解為1到2秒,2到3秒;再把1到2秒分解為1到1.5秒,1.5到2秒;2到3秒分解為2到2.5秒,2.5到3秒.這樣通過不斷縮小時間差得到不同時間內的平均速度,當時間差趨于0時平均速度是什么?怎么求?由此激發學生認知沖突,引導學生深入思考,既體現了尊重學生的認知規律,也體現了知識的發生、發展規律.

由此提出“很短的時間間隔如何表述?”然后在t=2之前或之后任取一個時刻2+h,將時間段記為[2+h,2](h<0)或[2,2+h](h>0),運用信息技術優勢,讓學生從表格直觀感受逼近過程:h=0.1時,v=20.5;……h=0.000 000 1時,v=20.000 000 5;h=-0.1時,v=19.5;……h=-0.000 000 1時,v=19.999 999 5.由此得到“過程是動態的,結果是確定的”富有哲理的表述.

這里有哲學思想的指導,有抽象素養的落實,有邏輯推理能力的培養.

2 概念生成,自然有效

王老師在給出t=2 s時平均速度的計算之后,利用極限運算得出了瞬時速度,并讓學生給出數學表達式,接著讓學生計算t=1 s,t=t0s時的瞬時速度,然后才給出導數定義.

這一教學過程看似慢了,但導數概念的生成自然順暢,學生對導數概念的理解也會比較透徹.同時,由特殊到一般研究問題的方式也會對學生起到很好的引導作用.

3 講練結合,鞏固概念

后續的例題和練習都圍繞導數在各種不同場景的應用展開,目的在于鞏固函數導數的定義,展示導數廣闊的應用前景,讓學生體會學習導數的意義,加深對學習導數的必要性的認識,提高基本運算能力,使學生對導數定義的理解更深刻.

4 思想文化,提高品位

課堂教學中知識教學、能力訓練是顯性的,哲學(數學)思想在則是隱性的,既無處不在又不顯山露水.數學文化的作用在于加深學生對所學知識的理解,同時提高對所學知識的興趣,讓學生感受到數學既有用又有趣.數學文化對提高課堂教學品位是重要的.

本課中有專門一段提及數學文化,說明了王老師對數學文化的重視.但僅介紹牛頓對微積分的貢獻還不夠,是否可以結合本課內容向學生提出“如何看待定義中h→0”,在沒取極限前左邊h(Δx)不等于0,右邊h=0?數學史上第二次危機由此出現,直到嚴格的極限定義產生才使危機得以化解.這會使許多學生感興趣,課后查閱相關資料的積極性會更高,對導數定義的理解也會更深刻.

5 雙邊互動,氣氛活躍

教師備課時往往想到方方面面,既要考慮教學內容的選取,也要考慮學生能否接受,雖然在課堂上有時不能得以完整實施.王老師這節課教學設計充分考慮了學生實際情況,精心選擇教學內容和教學方法,在課堂上留足時間讓學生參與;老師在課堂上就像主持人一樣提出一個個問題,學生在老師的引導下步步深入,水到渠成引入導數定義,并用定義解釋相關問題,既鞏固了概念也體現了導數定義的價值.

6 信息技術,化難為易

“導數的概念”是較難上出彩的概念課,可以從運動學角度引入,也可以從幾何角度引入,但最后都歸結為變化率的問題,不可避免涉及極限,而極限要求比較低,不足以直接用極限去定義導數.因此,王老師通過Excel(不少教師可能不會用)列表,有效化解難點,體現了現代教育技術的應用價值.

7 一點建議,錦上添花

小結是課堂教學的重要一環,高質量的小結能提升課堂教學品位.現在流行的小結方式是讓學生總結,但學生總結往往集中在知識方面,而育人方面則需要教師從教學內容中提煉出來.

王老師小結有兩句話,第一句的一通過、一利用、一引入非常好,后面可再加上:搭建一個模型——函數變化率.后面一句話改為:由特殊到一般,由量變到質變,由無意義到有意義,感悟數學抽象與邏輯的魅力,從此,人類進入微積分時代,開啟一個新紀元.還可以用一首打油詩作為小結:

從平均到瞬時,

由極限到導數,

認識不斷完善,

歷史進入新元.

這樣,這節課就更完美了.