“導數的概念”教學實錄

上海中學東校 王 靚

1 教學目標設置

(1)經歷用平均速度“逼近”瞬時速度的過程,體會瞬時速度的本質是平均速度的極限,初步體會極限思想;

(2)通過求自由落體運動中物體在具體時刻的瞬時速度,類比函數變化率的極限;

(3) 經歷由特殊到一般,由量變到質變的過程,感悟數學抽象與邏輯的魅力.

2 教學重難點

教學重點：導數的概念和極限思想.

教學難點：從求瞬時速度的具體案例中抽象出導數概念.

3 學情分析

學生已經學習過瞬時速度,對瞬時速度有初步的描述性理解,但對于瞬時速度的算法比較模糊;同時,在高一年級函數零點的學習中,體會過利用二分法逼近函數的零點,學習過數列極限的描述性定義.現行的高中數學教科書在給出導數概念之前并沒有嚴格介紹極限的概念及其運算.另一個認知障礙是對導數符號及其意義的理解,原因在于導數符號的高度抽象性.

4 教學過程設計

4.1創設情境

觀看汽車時速、高鐵時速、導航時速三個發生在我們身邊的場景,提出問題1.

問題1當我們乘坐高鐵時,常常會在車廂內看到如圖1所示的列車信息顯示屏.在列車運行中,顯示的速度在不斷的變化,說一說你對圖中“速度350 km/h”的理解.

圖1

生:我覺得是瞬時速度.

追問1：在物理學科中,相較于瞬時速度,你還學過什么速度?

生:平均速度.

追問2：物理中運動物體的平均速度和瞬時速度是如何定義的?

生:平均速度是運動物體的位移與時間的比值,瞬時速度是運動物體在某一時刻或某一位置的速度.

追問3：直覺告訴我們,“某一時刻”或“某一位置”是一個點,一個點的“位移”等于0.按照“常理”,“某一時刻的速度”應該都等于0,這與物體的運動狀態相符嗎?問題出在哪里?

生:運動物體在“某一時刻”或“某一位置”的時間也是0.

下面我們以自由落體為例來研究一下.

追問1：求t=2附近的時間段物體在t=1到t=3內的平均速度.

追問2：用20 m/s來表述自由落體運動中1至3秒的運動狀態是否合理?

生:不合理.

追問3：為什么不合理?試著描述物體在t=1到t=3內的速度變化情況.

生：物體在1～3秒內的速度越來越快了.

設計意圖：讓學生發現用平均速度不能準確地反映自由落體物體的運動狀態,僅用一個時間段內的平均速度難以準確描述在某時刻附近時間段內變速運動的過程,如何精確地對整個過程進行描述,引出研究瞬時速度的必要性.

追問4：能否用數據支持物體在1到3秒內的速度越來越快的結論?

生1:如果把這段時間分成[1,2]與[2,3]兩段,那么在這兩個時間段內自由落體的平均速度分別是15 m/s與25 m/s.

生2:如果以0.5 s為間隔把[1,3]分成4個時間段,可以得出這4個時間段內的平均速度分別是12.5 m/s,17.5 m/s,22.5 m/s,27.5 m/s.

師:隨著時間段的不斷細分,自由落體的物體運動狀態得到了越來越精確的描述.

追問5：如何求自由落體運動中物體在t=2時的瞬時速度?瞬時速度與平均速度有什么關系?

生:用很短時間段的平均速度來近似得到瞬時速度.

師:事實上,物理實驗中測量運動物體的瞬時速度確實是這樣做的.物理實驗中的光電門和打點計時器都是通過測量很短時間內的平均速度近似估計瞬時速度.

追問6：求物體在t=2時的瞬時速度,很短的時間間隔如何表述?你能舉幾個例子嗎?

生1:[1,3],[1.9,2.1],[1.99,2.01],等等.

生2:[2,2.1] ,[2,2.01],[2,2.001],等等.

生3:可以取[2,2+t],然后對t的取不同的值,讓其越來越小.

為了研究方便,我們在t=2之前或之后任取一個時刻2+h,將時間段記為[2+h,2](h<0)或[2,2+h](h>0).

設計意圖：通過問題引導學生思考,從學生已知的平均速度出發,去探究未知的瞬時速度;通過縮短時間區間,用平均速度逼近瞬時速度的方法,培養學生分析、解決問題的能力.

對不同時間段長度值|h|,t=2附近時間段的平均速度如下:

表1

表2

追問7：觀察表1,表2,能否給出自己的發現?

同一圖形出現在連續幾張課件中時，圖形位置應固定不變，避免注意力的分散.體現了認知負荷理論的一致性原則.[19—21] 在課件播放過程中，學生比較容易關注動態的圖形，位置發生改變，使相鄰兩頁課件產生振動效果，不利于學生注意力的集中.勾股定理課件制作過程中，同一圖形出現在連續幾張課件中時，圖形位置應固定，減少視覺對圖形位置改變的處理，降低視覺產生的認知負荷.

追問8：你認為通過上述列表計算得出瞬時速度的過程可靠嗎?可否用數學的計算與推理證實我們的判斷?

追問9：趨近一詞是否用數學符號語言來表達?

生:可以用極限.

追問10：非常好!我們在數列的學習中學過極限,那么仿照數列的極限表達,你認為這里應該怎么表達呢?

生:可以將其表達為

師:很好,t=2時的瞬時速度就是這樣表示.

設計意圖：學生從表格直觀感受逼近過程后,教師再引導學生利用運算來發現代數規律,滲透數學運算素養.數學是培養理性思維的重要載體,學習數學離不開運算推理和演繹證明.數學實驗的結果需要用數學的運算推理加以驗證,體現了理論與實踐的統一,更讓人信服.同時,培養學生崇尚數學的理性精神和審慎的思維習慣.

追問11：自由落體運動中,物體下落的距離d(單位:m)與時間t(單位:s)近似滿足函數關系d=5t2.試求物體在t=1時的瞬時速度.

經過計算學生得出:t=1時的瞬時速度為

設計意圖：期望學生通過類比,掌握表達式的結構,并加深對結構的認識,為下一步用字母表達數字做好鋪墊.

追問12：我們已經計算出t=1 s,t=2 s的瞬時速度,那么對于某一時刻t=t0,你能計算出瞬時速度嗎?

學生通過計算得出:

設計意圖：從特殊到一般,通過運算求瞬時速度的過程,為抽象概括導數概念提煉出一個極限模型.

追問13：10t0與前面實驗及證明的結論是否具有一致性?

生:代入t=1 s,t=2 s,發現與前面的結果一致.

追問14：10t0與物理學中自由落體運動的速度公式是否具有一致性?

生:物理中的自由落體速度公式為v=gt,其中g為重力加速度,近似取g=10 m/s2時結果一致.

設計意圖：通過上述問題得到了自由落體運動在任一時刻t=t0處的瞬時速度為10t0,也就是自由落體運動在任意時刻t=t0處的導數.這說明導數是普遍存在的,可以在自由落體物體的任意運動時刻找到它.該過程體現了由特殊到一般、由具體到抽象的數學思想方法,為導函數概念的形成做好了鋪墊.同時,通過數學運算得到的結論與學生熟知的物理中自由落體運動的速度結論一致,再一次讓學生感受到數學作為基礎學科的重要性.

4.2 抽象概念

問題3如何從數學角度對以上解決問題的方法進行更一般的描述?

追問1：如果研究更一般的問題,函數y=f(x)在x=x0的瞬時變化率如何表示?

追問2：根據導數定義,你能用導數來重述自由落體運動問題的結論嗎?

生:自由落體運動物體在t=2時的瞬時速度就是其下落距離d(t)在t=2時的導數值,即為d′(2).

4.3 例題講解

例1已知在使用某種殺菌劑t小時后室內的細菌數量為f(t)=-103t2+104t+105.

(1)求f′(10);

(2)f′(10)的實際意義是什么?

解：(1)當h≠0時,在使用殺菌劑10小時附近的時間段[10+h,10](h<0)或者[10,10+h](h>0)內,細菌數量關于時間的平均變化率為

=-104-103h.

(2)f′(10)的實際意義是細菌數量在t=10時的瞬時變化率.它表明在t=10附近,細菌數量大約以每小時104的速率減少.

思考：能否求出t=t0時的f′(t0)?

設計意圖：此例題為教材中的例1,但將教材中f(t)=105+104t-103t2改為f(t)=-103t2+104t+105,這樣書寫更規范,更有利于學生計算.雖然本題的運算量較大,但未對具體數據進行優化,主要原因有兩個方面.一是考慮在未來科學研究中的數據大多是繁復的,二是一定量的運算是提升學生運算素養的訓練.

練習1將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品,需要對原油進行冷卻和加熱,已知在第x小時時,原油的溫度(單位:℃)為f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).經過計算可知f′(2)=-3,f′(6)=5.試說明它們的意義.

練習2閱讀下列情境,并嘗試用自己的語言解釋相應導數的實際意義:

(1)豎直向上發射的火箭熄火時的上升速度為100 m/s,此后其位移H(單位:m)與時間t(單位:s)近似滿足函數關系H(t)=100t-5t2,H′(2)=80;

追問：根據導數定義,你能用導數來解釋復興號列車顯示屏上的350 km/h的意義嗎?

生:復興號列車在8∶03那一瞬間的瞬時速度是350 km/h,也就是列車的位移關于時間的函數在那一時刻的導數值是350.

師:復興號是我國自主研發的具有獨立知識產權的新一代高速列車,2022年北京冬奧會的復興號專列成為了一張國家名片,冬奧會期間各國的記者和運動員搭乘“瑞雪迎春”復興號感受到了中國速度與冰雪激情.

設計意圖：《微積分的力量》一書中寫到,我們不必為了理解微積分的重要性而學習如何做運算,就像我們不必為了享用美食而學習如何做佳肴一樣,在導數概念的第一課時中,理解導數的概念及意義更重要,而學會求導以及如何計算不是本節課的教學重點.同時,通過以上物理、化學、生物、地理中的實例感受導數主要用來刻畫運動和變化,以及微積分在自然科學及社會科學中的廣泛應用,深入體會“數學是一切科學的語言”.

4.4 數學文化

師:這節課中,由物理中的瞬時速度抽象出導數概念的這一過程,歷史上第一個發現的人是牛頓.1666年英國倫敦突發鼠疫,牛頓所在的劍橋大學也被迫封校,牛頓被隔離在鄉下的家中,潛心研究,才有了這樣震驚世界的發現,世人都稱牛頓為居家隔離型的天才少年,所以大家即使被疫情所擾,一旦被隔離在家,也不用過分擔心,如果潛心研究,說不定這是一次改變世界的機會.

設計意圖：簡述牛頓從物理學的角度發明微積分的故事,另一位發明人萊布尼茨是從數學角度發明了微積分.要求學生上網查詢相關歷史.

4.5 課堂小結

通過一種現象——從“平均變化率”到“瞬時變化率”:

利用一種運算——極限;引入一個概念——導數.

從而使一個難以描述的問題得到了準確的數學表達,以此為根基建立了整個微積分的大廈.

4.6 拓展思考

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②f(x)=|x|,x0=0.

5 教學體會與思考

概念課要舍得花時間讓學生細細體會概念的發生、發展過程,品味概念生成的每一個環節實則對學生的創新意識及審慎思辨的態度的影響是深遠的.結合課例,筆者認為概念課要做到以下三點.

5.1 選擇恰到好處的情境

5.2 提出促進思維的問題

問題指引著數學學習的基本方向,數學的基本知識、基本思想方法及數學解題策略都是基于一系列的問題產生的.

本節課教師在自由落體問題的探究過程中利用“問題串”串起研究的必要性(追問1-4)、如何展開研究(追問5-6)、研究過程(追問7-11)、研究結論(追問12)以及研究結論正確性論證(追問13-14)的過程.通過14個問題引領學生展開具有深度的思維活動,問題由淺入深,逐漸提升問題層次,最終深入數學的本質.教師提出問題的質量決定了教學的質量與效率,所以設計合理的“問題串”引導學生進行基于思維的自主探究,是教師“潤物細無聲”的親身示范,是教師對學生進行數學抽象素養滲透的良好時機.

5.3 遵循數學抽象的過程

從教學過程來說,教師在概念課的課堂教學中的抽象過程遵循了實物層面的抽象(自由落體運動在2 s處的瞬時速度)—初步概括的抽象(瞬時速度到瞬時變化率抽象)—符號層面的抽象(導數的概念及導數符號語言的理解)—系統化層面的抽象(基于導數定義及導數實際意義理解的例1及練習1,2)這一過程,教科書中的抽象過程是生硬的沒有過渡的,而課堂教學的優勢就是教師用豐富的教學行為將各抽象之間的過渡銜接得更加符合學生的認知能力.

在課堂教學中,教師要用自己的行為為學生做出良好的示范及引導,潛移默化地發展學生分析、解決問題的能力,將數學抽象素養的培養落實在教學行為中.基于數學抽象素養培育的教學實踐研究一直在路上,期待更多教師不斷地探索、實踐、交流.