一種新的高斯雙模態(tài)隨機疲勞損傷分析方法

袁奎霖,靳宏義

(大連理工大學(xué) 船舶工程學(xué)院,大連 116024)

船舶與海洋工程結(jié)構(gòu)物在服役期間遭受交變環(huán)境載荷作用,疲勞破壞是其結(jié)構(gòu)失效的主要模式之一。目前,疲勞損傷分析方法主要分為時域方法和頻域方法。基于雨流計數(shù)法的時域方法計算精度高且應(yīng)用范圍廣,因此常被作為評價其他計算方法準確性的基準。然而,在實際工程應(yīng)用中使用時域方法的計算代價往往過于龐大,與此相比,通過結(jié)構(gòu)物的應(yīng)力響應(yīng)功率譜來計算疲勞損傷的頻域方法則更為可行、有效[1-2]。

當結(jié)構(gòu)的隨機應(yīng)力響應(yīng)過程在頻域下為窄帶且服從高斯分布時,其應(yīng)力幅值服從Rayleigh分布,疲勞損傷存在解析解。然而,對于寬帶高斯隨機應(yīng)力過程,仍采用理想窄帶假設(shè)方法計算疲勞損傷則難以保證準確性。因此,學(xué)者們提出了一系列近似方法進行寬帶隨機應(yīng)力疲勞損傷的評估,例如SM(single-moment)方法[3]、Dirlik方法[4]以及TB(Tovo-benasciutti)方法[5]等。對于船海結(jié)構(gòu)物,其結(jié)構(gòu)應(yīng)力響應(yīng)在功率譜上常常呈現(xiàn)出兩個分開的顯著峰值即高斯雙模態(tài)特征[6-8]。高斯雙模態(tài)隨機過程作為寬帶隨機過程的一種特例,需要專門處理此類問題的疲勞損傷頻域計算方法。

目前,高斯雙模態(tài)隨機過程疲勞損傷頻域分析方法中,最早的理論模型由Jiao等[9]提出,稱為JM方法。JM方法從雨流應(yīng)力循環(huán)的角度出發(fā),將疲勞損傷來源劃分為大應(yīng)力循環(huán)和小應(yīng)力循環(huán)兩個部分。在該理論框架下,Fu等[10]改進了大、小循環(huán)的計數(shù)規(guī)則,認為大循環(huán)與小循環(huán)的總循環(huán)次數(shù)等于高頻過程的循環(huán)次數(shù),而大循環(huán)的循環(huán)次數(shù)則與低頻過程循環(huán)次數(shù)相等,從而提出了FC方法。Benasciutti等[11]對FC方法進行了修正,將大循環(huán)計數(shù)單獨修正為JM法的計數(shù)規(guī)則。Low[12]通過引入相位角參數(shù)進一步反映了低頻分量與高頻分量間的相互作用,使得Low方法的精度較JM方法有了大幅提升,但該方法需要計算變上限三重積分,導(dǎo)致其難以在實際工程中得到廣泛應(yīng)用。

近年來,有學(xué)者[13-15]從功率譜分割的思想出發(fā),提出了一系列新的高斯雙模態(tài)疲勞損傷分析方法。Benasciutti等[13]率先提出了功率譜分割法,即將功率譜離散為許多份足夠窄的頻帶,認為每個窄帶過程均為服從Rayleigh分布的理想窄帶高斯隨機過程,并利用PbP(projection-by-projection)準則對每個窄帶過程的損傷進行組合來計算總疲勞損傷。Gao等[14]指出基于PbP準則的功率譜分割法忽略了低頻模態(tài)與高頻模態(tài)間的耦合作用,通過引入模態(tài)耦合系數(shù)對原有功率譜分割法[13]進行了改進,提出GZ方法。類似于功率譜分割法,Braccesi等[15]將功率譜離散后得到的各個窄帶視作相互獨立的隨機變量,從隨機變量疊加和損傷等效的角度出發(fā)提出了頻帶法(Bands method,BM)。該方法的計算過程僅涉及零階譜矩,便于編程且計算量少,適合在實際工程中應(yīng)用。

然而,采用現(xiàn)有頻帶法計算高斯雙模態(tài)疲勞損傷時,由于未能考慮到有別于一般寬帶過程的雙模態(tài)特征,隨著高頻模態(tài)與低頻模態(tài)能量比的降低和特征頻率比的增大,頻帶法結(jié)果與雨流法結(jié)果的差異逐漸增大[15]。針對該問題,本文在頻帶法基礎(chǔ)上考慮了雙模態(tài)過程中高頻模態(tài)與低頻模態(tài)間的相互作用,提出了一種適用于高斯雙模態(tài)隨機疲勞損傷分析的改進頻帶法。首先,針對雙模態(tài)過程中的高頻模態(tài)和低頻模態(tài)分別利用頻帶法進行等效轉(zhuǎn)換得到相應(yīng)的等效窄帶過程。然后,將高頻等效窄帶過程向低頻等效窄帶過程再次進行等效轉(zhuǎn)換,同時引入與頻率比γ、能量比β以及S-N曲線材料參數(shù)m有關(guān)的修正因子μ對第2次等效過程中的高頻零階譜矩進行修正。最后,可利用基于窄帶假設(shè)的疲勞損傷解析解計算的等效窄帶過程的疲勞損傷即高斯雙模態(tài)隨機過程的總疲勞損傷。

1 窄帶高斯隨機過程疲勞損傷分析基本理論

1.1 隨機過程的譜參數(shù)

對于一個平穩(wěn)高斯隨機過程X(t)而言,其單邊功率譜密度函數(shù)為SXX(ω),則其n階譜矩定義如下:

(1)

式中ω為角頻率,rad/s。譜矩可以對隨機過程的帶寬進行表征,工程中常用的Vanmarcke帶寬系數(shù)δ[16]定義為

(2)

式中δ的取值范圍為[0,1.0]。當δ越趨近于0時,表明該隨機過程越趨近于理想窄帶隨機過程,反之則為寬帶隨機過程。工程上一般認為δ<0.1時,可將一個隨機過程近似看作窄帶隨機過程。

根據(jù)隨機過程理論,X(t)的平均跨零率ν0和平均峰值率νp也可以利用譜矩進行表示:

(3)

1.2 理想窄帶高斯隨機過程的疲勞損傷解

根據(jù)Palmgren-Miner線性累積損傷理論,隨機應(yīng)力過程在作用時間T下的疲勞損傷可表示為

(4)

式中:νp為單位時間內(nèi)應(yīng)力循環(huán)數(shù),即平均峰值率;fS(s)為應(yīng)力范圍S的概率密度函數(shù);m、K分別為S-N曲線中的材料參數(shù),其中N=K·S-m,表示在應(yīng)力范圍在S這一水平下,材料發(fā)生疲勞破壞所需的應(yīng)力循環(huán)數(shù)為N。

對于一個零均值窄帶高斯隨機過程X(t),其應(yīng)力峰值服從Rayleigh分布,且應(yīng)力峰值和谷值在每一個循環(huán)中對稱出現(xiàn),由此可知應(yīng)力幅值R服從Rayleigh分布如下:

(5)

由于應(yīng)力范圍S是應(yīng)力幅值R的2倍,也服從Rayleigh分布,并且平均峰值率νp等于平均跨零率ν0,由式(4)、(5)可得時間T范圍內(nèi)的窄帶疲勞損傷的解析解為

(6)

式中Γ(·)為gamma函數(shù)。

2 基于改進頻帶法的高斯雙模態(tài)疲勞損傷分析方法

2.1 頻帶法基本原理

Braccesi等[15]于2015年提出了一種基于頻帶法的疲勞損傷頻域評估方法。將一個高斯隨機過程的功率譜切分為n份足夠窄的頻帶,每一頻帶由其中心頻率ωi表征,其應(yīng)力幅值服從Rayleigh分布,并將它們看作是n個相互獨立的隨機變量。對于窄帶隨機過程,平均跨零率ν0i與其中心頻率ωi之間關(guān)系為ν0i=ωi/2π,每一個窄帶頻段的平均跨零率ν0i都不相同。因此需要將這些窄帶過程按照一定規(guī)則進行等效轉(zhuǎn)換后,計算等效過程的零階譜矩再進行疊加得到一個總的零階譜矩,進而可利用基于窄帶假設(shè)的解析解計算總疲勞損傷。

由于每個窄帶的中心頻率并不相等,在進行零階譜矩加和之前需要將這些窄帶的中心頻率ωi“移動”至某一固定頻率處,即參考頻率ωr。由Braccesi等[15]的研究可知,該參考頻率可任意取值且對計算結(jié)果無影響。如圖1所示,根據(jù)損傷等效原則將第i個窄帶頻段中心頻率ωi移動至參考頻率ωr后,存在如下關(guān)系:

圖1 頻帶法示意圖

(7)

式中:ν0i、λ0i分別為第i個窄帶的平均跨零率和零階譜矩,ν0r為在參考頻率處等效頻帶的平均跨零率,λ0ri為第i個窄帶等效后的零階譜矩。由式(7)可得

(8)

考慮ν0i=ωi/2π和ν0r=ωr/2π,式(8)可改寫為

(9)

對每一個窄帶頻段進行上述等效操作之后,可得到一個中心頻率為參考頻率ωr且零階譜矩為等效零階譜矩總和λ0r的等效窄帶過程,如圖1所示。等效窄帶過程的零階譜矩可由下式計算:

(10)

將式(10)代入式(6)可得到等效窄帶過程的疲勞損傷為

(11)

2.2 改進頻帶法

對于雙模態(tài)功率譜,當高頻模態(tài)和低頻模態(tài)中心頻率相距較遠或存在寬帶模態(tài)時,整個功率譜的帶寬系數(shù)會較大,采用現(xiàn)有頻帶法進行損傷等效轉(zhuǎn)換而產(chǎn)生的誤差會明顯增大。因此,本文在原有頻帶法的基礎(chǔ)上,通過引入修正因子以考慮雙模態(tài)過程中高頻模態(tài)與低頻模態(tài)之間的相互作用,從而提出改進頻帶法。

圖2 針對雙模態(tài)過程的改進頻帶法示意圖

(12)

(13)

2.3 修正因子μ的確定

圖3 理想矩形雙模態(tài)功率譜

本文以船舶與海洋工程結(jié)構(gòu)為研究對象,選取的特征參數(shù)γ、β和m的具體取值如下:γ=3,4,5,…,15,β=0.1,0.2,…,1.0,2.0,…,10.0,m=3,4,5。需要指出,在已往研究中發(fā)現(xiàn),采用由理想矩形雙模態(tài)功率譜確定修正因子μ時,需要根據(jù)計算工況中的高頻模態(tài)是窄帶過程或是寬帶過程進行區(qū)分。對于計算工況為“窄帶低頻+窄帶高頻”和“寬帶低頻+窄帶高頻”兩種情況,采用雙窄帶功率譜擬合修正因子μ,其中高頻和低頻模態(tài)的Vanmarcke帶寬系數(shù)均設(shè)為0.03以保證其滿足窄帶假設(shè)。對于計算工況為“窄帶低頻+寬帶高頻”和“寬帶低頻+寬帶高頻”的情況,則采用高頻和低頻模態(tài)的Vanmarcke帶寬系數(shù)均設(shè)為0.3的雙寬帶功率譜進行擬合。

在建立μ值與特征參數(shù)γ、β和m之間的關(guān)系式時,參考Gao等[14]的工作,在固定材料參數(shù)m的前提下建立修正因子μ以γ和β為自變量的函數(shù)式如下:

μ=[P1+P2·ln(γ)+P3·ln(β)+P4·[ln(γ)]2+

P5·[ln(β)]2+P6·ln(γ)·ln(β)]/

[1+P7·ln(γ)+P8·ln(β)+P9·[ln(γ)]2+P10·

[ln(β)]2+P11·ln(γ)·ln(β)]

(14)

式中,P1～P11為11個待定擬合系數(shù)。此外,當材料參數(shù)m不同時,μ與γ和β的非線性關(guān)系是存在差異的,擬合系數(shù)P1～P11也相應(yīng)有所變化。因此針對高頻模態(tài)為窄帶或是寬帶,不同m值對應(yīng)的擬合系數(shù)P1～P11的數(shù)值見表1。在船舶與海洋工程結(jié)構(gòu)物領(lǐng)域,m=3,4,5為較為常見的S-N曲線材料參數(shù)。

表1 擬合系數(shù)P1至P11

3 算例驗證

3.1 理想雙模態(tài)矩形譜

本文先以理想矩形雙模態(tài)功率譜為算例,以時域方法計算雨流損傷值作為參考值對本文提出的改進頻帶法進行計算精度驗證,并與Low法[12]、GZ法[14]、TB法[5]以及頻帶法(BM法)[15]進行對比。如修正因子μ的確定中提到,窄帶高頻的修正因子μ對于“窄帶低頻+窄帶高頻”和“寬帶低頻+窄帶高頻”兩種情況是同樣適用的,而寬帶高頻的修正因子μ適用于“窄帶低頻+寬帶高頻”和“寬帶低頻+寬帶高頻”的組合,即兩組修正因子對于低頻為窄帶或?qū)拵н^程并不敏感。由于篇幅考慮,本文僅展示“窄帶低頻+窄帶高頻”和“寬帶低頻+寬帶高頻”兩種雙模態(tài)矩形譜的驗證結(jié)果。

對于“窄帶低頻+窄帶高頻”的雙模態(tài)矩形譜驗證算例,低頻和高頻模態(tài)的Vanmarcke帶寬系數(shù)設(shè)為δLF=δHF=0.052 4。圖4給出了S-N曲線材料系數(shù)K=1,m=3和m=5,頻率比γ=3、6、9,能量比β=0.1、0.5、1.0、2.0、5.0、10.0的“窄帶低頻+窄帶高頻”雙模態(tài)矩形譜各頻域方法結(jié)果與時域雨流法結(jié)果的相對誤差。相對誤差的定義為

圖4 窄帶低頻+窄帶高頻矩形譜下各方法計算結(jié)果相對于雨流法的相對誤差

(15)

式中,D、DRFC分別為頻域方法和時域雨流法所計算得到的疲勞損傷值。

由圖4可知,當m=3時,由于頻帶法忽略了高頻與低頻間的相互作用,其在能量比β=0.10時的計算誤差與其他方法相比要大的多。相比之下,本文所提出的改進頻帶法在計算精度上有顯著提升,且與Low法和GZ法精度相當。此外,作為通用寬帶譜方法的TB法在處理雙模態(tài)問題時精度略差。當m=5時,因為疲勞損傷與應(yīng)力循環(huán)的非線性關(guān)系會隨著m的增大而增強,此時TB法與頻帶法的誤差都明顯增大。同樣,Low法的精度與m=3時相比略微下降。只有GZ法和本文的改進頻帶法依然保持較好的計算精度,最大誤差均在3%以內(nèi)。

對于“寬帶低頻+寬帶高頻”的雙模態(tài)矩形譜驗證算例,低頻和高頻模態(tài)的Vanmarcke帶寬系數(shù)分別設(shè)為δLF=0.148 0和δHF=0.256 4。圖5展示了S-N曲線材料系數(shù)K=1,m=3和m=5,頻率比γ=3、6、9,能量比β=0.1、0.5、1.0、2.0、5.0、10.0的“寬帶低頻+寬帶高頻”雙模態(tài)矩形譜的分析結(jié)果,其中GZ(M=4)表示采用GZ方法處理高頻模態(tài)時需要劃分4個子模態(tài)[14]。

圖5 寬帶低頻+寬帶高頻矩形譜下各方法計算結(jié)果相對于雨流法的相對誤差

由圖5可知,當m=3時,頻帶法在能量比β≤1.0時的計算誤差仍是5種方法中最大的,最大誤差達到了-16%。盡管Low法是基于雙窄帶假設(shè)推導(dǎo)的,但是對于雙寬帶工況在m=3時,依然保持較為準確的精度,最大誤差約為-9%。TB法的計算精度尚可,誤差均在7%以內(nèi)。參照Gao等[14],采用GZ法時將寬帶高頻模態(tài)劃分為4個子模態(tài)后,可以得到非常準確的計算結(jié)果,絕大多數(shù)誤差都在3%以內(nèi)。相比于其他4種方法,本文提出的改進頻帶法的計算精度最好,誤差均在1%以內(nèi)。當m=5時,Low法、TB法和頻帶法與雨流法相比均出現(xiàn)了較大的偏差,最大誤差分別為-19%、-22%和-28%。GZ法的計算結(jié)果依然保持很好的精度,絕大部分結(jié)果誤差控制在5%以內(nèi),最大誤差也未超過8%。相比之下,改進頻帶法對于雙寬帶工況依然保持良好的精度,最大誤差未超過2%。

3.2 真實雙模態(tài)應(yīng)力譜

由于理想雙模態(tài)矩形譜和真實雙模態(tài)應(yīng)力譜仍存在一定的差異,因此有必要選取船舶與海洋工程結(jié)構(gòu)遭受的一些真實響應(yīng)譜對本文所提出方法的有效性進一步進行驗證。第1個算例為如圖6所示的“佛蒂尼”號遠洋散貨船實船測得的應(yīng)力響應(yīng)譜[7],其中包含了兩個比較明顯的峰值,第1個峰值對應(yīng)波頻響應(yīng),第2個峰值為該船的二階共振頻率。該功率譜中雙模態(tài)的參數(shù)信息見表2,其中低頻模態(tài)帶寬系數(shù)δLF=0.344 7,高頻模態(tài)帶寬系數(shù)δHF=0.076 1。因此,該雙模態(tài)功率譜為“寬帶低頻+窄帶高頻”的組合,應(yīng)采用修正因子μ的確定中窄帶高頻對應(yīng)的修正因子μ。分別采用改進頻帶法、Low法、GZ法、TB法以及頻帶法對實測應(yīng)力譜進行疲勞損傷評估,各方法計算結(jié)果與雨流法結(jié)果的誤差見表3。可以看出在m=3,4,5時,Low方法、GZ法和改進頻帶法的計算結(jié)果與雨流法結(jié)果非常接近,相對誤差均在1%以內(nèi),優(yōu)于TB法和頻帶法。

表2 功率譜中各模態(tài)參數(shù)信息

表3 算例1中各頻域方法結(jié)果相對于雨流法結(jié)果的相對誤差

圖6 大型船舶彈振響應(yīng)雙模態(tài)譜[7]

第2個算例為如圖7所示的某海洋工程結(jié)構(gòu)的雙模態(tài)響應(yīng)譜[8],低頻模態(tài)對應(yīng)涌浪響應(yīng),高頻模態(tài)對應(yīng)波頻響應(yīng)。該功率譜中雙模態(tài)的參數(shù)信息見表2,其中低頻模態(tài)帶寬系數(shù)δLF=0.090 2,高頻模態(tài)帶寬系數(shù)δHF=0.319 5。因此,該雙模態(tài)功率譜為“窄帶低頻+寬帶高頻”的組合,應(yīng)采用修正因子μ的確定中寬帶高頻對應(yīng)的修正因子μ。表4給出了當m=3,4,5時,Low法、TB法、GZ法、頻帶法以及改進頻帶法的計算結(jié)果與雨流法結(jié)果的對比誤差。可以看出,對于該工況Low法的計算誤差在5種方法中是最大的,最大誤差已達到-22.97%。與Low法相比,TB法和頻帶法的計算精度略好,最大誤差分別為-11.59%和-7.21%。GZ法和改進頻帶法給出的結(jié)果仍然與雨流結(jié)果非常接近,相對誤差均在3%以內(nèi)。

表4 算例2中各頻域方法結(jié)果相對于雨流法結(jié)果的相對誤差

圖7 涌浪和波頻響應(yīng)雙模態(tài)譜[8]

4 結(jié) 論

1)現(xiàn)有頻帶法在計算高斯雙模態(tài)隨機過程疲勞損傷時仍然保持一定的準確性。但當雙模態(tài)過程的能量比變小和頻率比變大時,該方法與雨流結(jié)果之間的誤差逐漸增大,最大誤差可達到-30%左右。

2)與現(xiàn)有頻帶法相比,本文提出的改進頻帶法通過引入與頻率比、能量比以及S-N曲線材料參數(shù)m有關(guān)的修正因子μ對計算結(jié)果進行修正使其與雨流結(jié)果更加接近,計算精度明顯提高。

3)對于高斯雙模態(tài)隨機過程,改進頻帶法中修正因子μ的經(jīng)驗公式適用范圍為頻率比γ=3～15,能量比β=0.1～10.0和S-N曲線材料參數(shù)m=3,4,5。通過大量數(shù)值試驗對改進頻帶法的有效性進行了驗證,并與Low法、TB法、GZ法以及頻帶法進行對比,結(jié)果表明本文提出的新方法具有精度高、適用性強的優(yōu)點,并且理論簡單、易于編程實現(xiàn)。