剛體航天器預設(shè)時間預設(shè)精度姿態(tài)跟蹤控制

王云騰,肖 巖,葉 東,孫兆偉

(哈爾濱工業(yè)大學 航天學院,哈爾濱 150001)

剛體航天器姿態(tài)跟蹤控制問題因其在空間任務(wù)中的重要作用得到了國內(nèi)、外學者的廣泛關(guān)注。針對航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)的非線性特性,各種非線性控制方法已經(jīng)在航天器姿態(tài)控制問題中得到了應用[1-3]。但是,上述控制方法只能使航天器姿態(tài)誤差漸近收斂,理論上完成收斂所需的時間是無窮大的,而工程應用中對姿態(tài)誤差的收斂時間往往是有要求的,因而這些方法的實用性受到了一定限制。為增強控制器的實用性,有限時間控制是一種有效的方法[4-6]。有限時間控制方法可以保證系統(tǒng)在不多于某確定值的時間內(nèi)完成收斂,但此收斂時間上界與初始條件直接相關(guān)。相比之下,固定時間控制的收斂時間上界僅由控制器參數(shù)決定,與初始條件無關(guān),可以使設(shè)計者在控制器設(shè)計期間擺脫初始條件的制約[7-9]。文獻[7]使用終端滑?？刂品椒?實現(xiàn)了剛體航天器的固定時間姿態(tài)跟蹤控制。文獻[8]使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對航天器所受的外部擾動力矩及自身建模不確定性進行近似逼近,并考慮執(zhí)行機構(gòu)飽和與故障的因素,提出了一種固定時間姿態(tài)控制方法。文獻[9]則采用自適應方法對擾動項和系統(tǒng)建模不確定性進行補償,考慮執(zhí)行機構(gòu)飽和與故障,設(shè)計了一個自適應航天器姿態(tài)控制器。傳統(tǒng)固定時間控制方法的一個主要缺點是收斂時間上界往往與控制器的多個參數(shù)存在比較復雜的等式關(guān)系。給定要求的收斂時間以后,如何確定各個控制參數(shù)的值是一個比較困難的問題。

作為固定時間控制的一種特殊情況,預設(shè)時間控制[9-12]的收斂時間上界顯式存在于控制器參數(shù)當中,設(shè)計者可以根據(jù)實際需要很方便地對其進行設(shè)置。文獻[13]針對戰(zhàn)斗機空中加油時的姿態(tài)穩(wěn)定問題設(shè)計了一種預設(shè)時間姿態(tài)控制方法,但是其控制律存在不連續(xù)性,易出現(xiàn)抖振現(xiàn)象。文獻[14]基于一種新型性能函數(shù),實現(xiàn)了航天器的預設(shè)時間預設(shè)精度姿態(tài)跟蹤控制。文獻[15]建立了一種準終端滑模面,在實現(xiàn)剛體航天器預設(shè)時間預設(shè)精度姿態(tài)跟蹤控制的同時,保證了控制律的連續(xù)和非奇異。針對有界外部擾動力矩,文獻[15]采用的處理方法是在控制律中添加魯棒項予以補償,這是一種比較保守的方法。

本文針對剛體航天器受有界外部擾動力矩的情形,首先設(shè)計了一個預設(shè)時間擾動觀測器[16-17],用以對有界外部擾動力矩進行補償,然后設(shè)計了一個預設(shè)時間準終端滑模面,最后基于上述觀測器和滑模面構(gòu)造了一個連續(xù)非奇異控制器。Lyapunov理論分析表明,本文提出的控制策略可以在已知外部擾動力矩上界的情況下實現(xiàn)剛體航天器的預設(shè)時間預設(shè)精度姿態(tài)跟蹤控制,即保證航天器的姿態(tài)跟蹤誤差在預設(shè)的時間內(nèi)收斂到預先指定的精度以內(nèi)。

1 航天器建模與問題描述

描述航天器本體坐標系相對空間參考坐標系的方位的物理量稱為姿態(tài)參數(shù)。姿態(tài)參數(shù)有多種描述形式,常用的有方向余弦矩陣、歐拉角、歐拉軸/角、歐拉四元數(shù)、羅德里格參數(shù)(Rodrigues parameters,RPs)以及修正羅德里格參數(shù)(Modified Rodrigues parameters,MRPs)。其中,修正羅德里格參數(shù)(MRPs)具有幾何直觀性好、不存在奇異性問題和范數(shù)約束等優(yōu)點。故本文采用MRPs來描述航天器的姿態(tài)。在MRPs下,剛體航天器的姿態(tài)運動學和姿態(tài)動力學模型分別為:

(1)

(2)

式中:ω為航天器的角速度,J為航天器的轉(zhuǎn)動慣量矩陣,τ為所施加的控制力矩,d為外部擾動力矩,q即為航天器姿態(tài)的MRPs表示。對任一矢量a=[a1a2a3]T,a×表示如下反對稱矩陣:

記航天器的目標姿態(tài)及相應目標角速度分別為qd和ωd,則姿態(tài)跟蹤誤差和角速度跟蹤誤差分別為:

(3)

ωe=ω-Cqeωd

(4)

(5)

(6)

這里,運動學矩陣T(qe)滿足如下性質(zhì)(在不至混淆的情況下,下文以T表示T(qe)):

(7)

(8)

(9)

現(xiàn)給出本文控制器設(shè)計過程所滿足的假設(shè)。

假設(shè)2外部擾動力矩是有界的,即存在正常數(shù)dM使得外部擾動力矩滿足‖d‖≤dM,其中‖·‖表示向量的2范數(shù)。

本文的研究目標便是設(shè)計一個連續(xù)非奇異的控制律τ(t)使得航天器在滿足上述假設(shè)的外部擾動力矩作用下,其姿態(tài)跟蹤誤差仍能實現(xiàn)預設(shè)時間預設(shè)精度穩(wěn)定,即對給定的預設(shè)時間常數(shù)Tp和預設(shè)精度常數(shù)εi(i=1,2,3),當t≥Tp時,姿態(tài)跟蹤誤差的各分量滿足|qe,i|≤εi(i=1,2,3)。在本文的控制策略設(shè)計過程中會用到如下引理。

引理1[18]假設(shè)某動態(tài)系統(tǒng)存在一個李雅普諾夫函數(shù) ,滿足:

(10)

式中0<η<1,則系統(tǒng)關(guān)于時間常數(shù)Tp是預設(shè)時間穩(wěn)定的。

2 預設(shè)時間預設(shè)精度姿態(tài)跟蹤控制器設(shè)計

本文考慮受有界外部擾動力矩的剛體航天器的預設(shè)時間姿態(tài)跟蹤控制問題。首先,提出了一種預設(shè)時間擾動觀測器,可以在預設(shè)的時間內(nèi)保證對有界外部擾動力矩的估計誤差收斂為零。然后,在此基礎(chǔ)上設(shè)計了一個基于準終端滑模面的連續(xù)非奇異預設(shè)時間預設(shè)精度姿態(tài)跟蹤控制器。

2.1 預設(shè)時間擾動觀測器設(shè)計

為便于后續(xù)推導,首先構(gòu)造中間變量:

(11)

式中ρ為一個大于零的常數(shù)。將式(11)求導并將式(2)代入可得

(12)

基于中間變量ξ,進一步構(gòu)造輔助變量:

s0=z-ξ

(13)

式中z滿足如下關(guān)系:

ρdMsign(s0)-ρ‖ξ‖sign(s0)

(14)

sig(a)α=[sign(a1)|a1|αsign(a2)|a2|α

… sign(an)|an|α]T

式中sign(·)為符號函數(shù)。

定理1取擾動力矩的估計值為

ρdMtanh(Ks0)-ρ‖ξ‖tanh(Ks0)+ξ

(15)

證明由式(12)～(14)可得:

ρdMsign(s0)-ρ‖ξ‖sign(s0)+ρξ-ρd

(16)

ρdMsign(s0)-ρ‖ξ‖sign(s0)+ρξ-ρd)≤

(17)

ρdMtanh(Ks0)-ρ‖ξ‖tanh(Ks0)+ξ-d=

(18)

所以當t≥Tp1時,擾動力矩估計誤差收斂到零,定理1得證。

2.2 連續(xù)非奇異預設(shè)時間姿態(tài)跟蹤控制器設(shè)計

首先,構(gòu)造一個(準)終端滑模面:

s=ωe+?

(19)

定理2如果s=0,則當t≥Tp2時,|qe,i|≤εi(i=1,2,3),即經(jīng)過預設(shè)的時間Tp2以后姿態(tài)跟蹤誤差將保持在指定的精度εi(i=1,2,3)以內(nèi)。

證明由定義(19), 當s=0時誤差角速度的值為

(20)

將式(20)代入式(5)可得

(21)

取李雅普諾夫函數(shù):

(22)

則有

(23)

當|qe,i|>εi時,有

(24)

由引理1,在預設(shè)時間Tp2以內(nèi),姿態(tài)跟蹤誤差可以收斂至|qe,i|≤εi(i=1,2,3),定理2得證。

(25)

(26)

極限存在,連續(xù)性結(jié)論得證;同時,由式(6)、式(19)和式(25)可得

(27)

所以:

(28)

綜上所述,根據(jù)定理1～定理3,在任意初始條件下,本文所設(shè)計的觀測器及控制器可以保證系統(tǒng)的姿態(tài)跟蹤誤差在Tp1+Tp2+Tp3時間內(nèi)收斂到|qe,i|≤εi(i=1,2,3)范圍以內(nèi)。

3 仿真分析

為檢驗上述控制策略的性能,本文通過數(shù)值仿真對其進行了驗證。航天器的轉(zhuǎn)動慣量矩陣取為

(29)

目標姿態(tài)軌線取為

外部擾動力矩設(shè)為

d=0.03[sin(t/4) cos(t/6) sin(t/5)]TNm

控制器參數(shù)選擇如下:Tp1=Tp2=30 s,Tp3=40 s,ρ=3,K=1,ε1=ε2=ε3=0.000 5,η=0.3。

初始時刻姿態(tài)設(shè)為

q(0)=[1.0 -2.0 -1.5]T

初始時刻角速度設(shè)為

ω(0)=[0.000 5 0.000 5 -0.000 5]Trad/s

z的初始值取z(0)=[0 0 0]T。以下兩種仿真方案均滿足上述條件。

CaseⅠ 在上述條件下,仿真結(jié)果如圖1所示。圖1(a)所示為擾動觀測器對有界外部擾動力矩的追蹤結(jié)果,可以看出,觀測器在5 s的時間內(nèi)實現(xiàn)了對外部擾動力矩的高精度追蹤,收斂后的觀測器對擾動力矩的估計值相比其真實值略有時延。圖1(b)所示為滑模面(19)的響應曲線,可見滑模面在10 s的時間內(nèi)收斂到零。圖1(c)、1(d)分別為姿態(tài)跟蹤誤差和角速度跟蹤誤差的響應曲線?？梢钥闯?在25 s以后本體航天器的姿態(tài)值實現(xiàn)了對期望軌線的跟蹤收斂,且跟蹤誤差遠遠小于控制器中預設(shè)的精度要求(|qe,i|≤εi(i=1,2,3))。圖1(e)所示為在此控制策略下完成姿態(tài)跟蹤任務(wù)所需的控制力矩,可以看出其是連續(xù)的,本文所設(shè)計的控制策略很好地避免了抖振現(xiàn)象,定理1～定理3中的有關(guān)結(jié)論得到了驗證。

圖1 方案Ⅰ下預設(shè)時間預設(shè)精度姿態(tài)跟蹤控制策略仿真結(jié)果

CaseⅡ 本方案考慮航天器系統(tǒng)的建模不確定性,假設(shè)航天器的轉(zhuǎn)動慣量存在建模不確定性,其真實值為J=J0+ΔJ,其中不確定項為ΔJ=0.1J0。將此時的真實轉(zhuǎn)動慣量代入動力學方程,可得

(30)

進一步整理有

(31)

圖2 方案Ⅱ下預設(shè)時間預設(shè)精度姿態(tài)跟蹤控制策略仿真結(jié)果

4 結(jié) 論

1)針對受有界外部擾動力矩的剛體航天器的姿態(tài)跟蹤控制問題,提出了一種預設(shè)時間預設(shè)精度姿態(tài)跟蹤控制策略。首先設(shè)計了一個預設(shè)時間擾動觀測器,然后在利用此觀測器的估計值對擾動力矩進行補償?shù)幕A(chǔ)上使用終端滑?？刂品椒ㄔO(shè)計了一個姿態(tài)跟蹤控制律。

2)理論分析表明,本文所設(shè)計的觀測器可以在外部擾動力矩上界已知的情況下對其進行精確估計;所提控制律可以保證姿態(tài)跟蹤誤差在預設(shè)的時間內(nèi)收斂到指定的精度以內(nèi),并且其自身是連續(xù)非奇異的。

3)數(shù)值仿真結(jié)果表明,本文所設(shè)計的觀測器和控制器在實際應用中表現(xiàn)出的收斂速度和精度可能會遠遠優(yōu)于預設(shè)值,并且其對系統(tǒng)的建模不確定性具有比較出色的魯棒性,有關(guān)結(jié)果對工程應用有一定的參考價值。