用豐富多彩的活動來構建周長的概念

浙江省杭州市蕭山區第一小學

馮佳佳

教學內容為人教版數學三年級上冊“周長”。本課的教學目標：學生能指出物體或者圖形邊緣，并通過測算、計量，掌握周長就是物體邊緣線條的連續總長，經歷周長概念的抽象過程，感悟“化曲為直”的曲邊長度計算法，培養學生的推理轉化意識。

一、基于認識，提出問題

師：（板書一個“周”字）請用這個字組詞，你能想到哪個詞？

生：周長。

師：那你能解釋一下什么是“周長”嗎？

生：周長就是一個封閉圖形邊緣的線條總長。

（教師板書：封閉、邊緣、總長）

師：這里的關鍵詞“封閉”到底怎么解釋？“邊緣”又有什么深意？“總長”呢？這就是本課我們探究的重點。

評析：學生并非一無所知，生活經驗、課前預習使他們對周長有所了解。教師的教學正是站在這個高度上開展的，以學生的認知基礎為發力點，提出研究主題，有的放矢，精準發力。

二、觀察操作，感受邊緣

1.分辨，明確邊緣

師：誰來深度解讀一下“邊緣”的幾何含義？

生1：邊緣就是圖形最外圍的邊線。

師：（出示一片綠葉）誰來觸摸一下這片綠葉的邊緣？

（一生上前觸摸，教師點評）

師：（課件演示）有4 只蝸牛，從綠葉的邊緣上某點出發，開始“自駕游”，誰的出行路線恰好是綠葉的邊緣？

（同桌討論交流）

生2：第4 只蝸牛。

師：為什么1、2、3 號蝸牛的出行路線不是綠葉的邊緣呢？請說出令人信服的理由。

生3：第1 只蝸牛只沿著綠葉的邊線旅行了一半的路程，然后橫穿綠葉中央。

生4：2號蝸牛雖然沒有“橫穿馬路”，但是半途而廢，沒有折返回原點。

生5：3 號蝸牛雖然嚴格按照邊線爬行，但是繞過了一周有余，不知停步。

師：所以只有4 號蝸牛是沿著綠葉的邊線爬行，爬行一圈后回到出發點停住，它的行進路線恰好是綠葉的邊緣。

（教師板書關鍵詞：某點出發、沿著邊緣、一圈、回歸原處）

2.觸摸，體驗邊緣

師：你能觸摸課桌的邊緣嗎？黑板的邊緣呢？（一生上臺展示）

師：每個人的手法都相同嗎？

生：出發點不一致，但是走完了全線。

師：（總結）無論出發點在哪里，只要是沿著邊線游走，最后重新回到起點，所到之處就是黑板的邊緣。

3.描畫，內化邊緣

師：你能用筆畫出這片綠葉的邊線嗎？

（一生上臺描畫，其他學生原地比畫）

師：翻到課本第83 頁，畫出各圖的邊緣。

（學生動手描畫，教師點三人匯報展示）

師：想象一下，如果提取邊緣線，勾勒出的是什么形狀？

（教師用演示文稿動畫演示提取邊線過程，讓學生回想規則圖形的名稱，并刻意制造一個有缺口的邊線）

師：你能將它們分門別類地整理好嗎？

生：封閉的線條作為一類，含有缺口的線條歸為一類。

師：像這樣，含有斷口的線條是不封閉圖形，完整閉合的線條叫作封閉圖形。

師：同學們，伸出手指，用你的手指勾畫一下這些封閉圖形的邊線。

評析：圍成物體或者圖形閉合邊緣的長度叫作周長。在建立周長概念時，要注意對“邊緣”一詞的理解。對多數學生來說，他們更在乎圖形的占地大小和顏色，注意力易分散和轉移，導致無關信息干擾了主要信息。本環節，教師創設了蝸牛在綠葉邊緣旅行的童話情境，將學生的注意力固定在圖形邊緣上，并且設計豐富多彩的活動，讓學生通過辨認、觸摸、指示、勾畫等活動，完成了對“邊緣”的準確理解和構建，為周長概念的內化做好鋪墊。

三、操作比較，建構周長

教師呈現圖1。

圖1

小組合作提示：

（1）想一想：先尋找測量工具，以及思考如何測量。如果受阻，再來請教老師。

（2）測量，記錄：把測量結果如實記錄下來，結果取整。

（3）計算，比較：兩個圖形的周長各是多少？

1.分析問題，引出周長

師：確定邊緣后，蝸牛和蟋蟀就要開始賽跑了：蝸牛的賽道是②號圖形的邊緣，蟋蟀的賽道是①號圖形的邊緣。先用手指描畫兩圖的邊緣，然后思考誰的賽道更長。

（學生用手指勾畫，然后辯論，有的堅持認為蝸牛的賽道長，有的堅持認為蟋蟀的賽道長，各執一詞，還有的認為等長）

師：數學是一門嚴謹的學科，需要講證據，要判斷到底誰的賽道長，就要設法測量出兩圖邊線的準確長度。

（教師板書“邊緣的長度”）

2.解決問題，比較周長

師：如何獲知圖形的邊線長度呢？肉眼觀察是靠不住的。

生1：用尺子測量。

師：之后呢？

生2：還要比較。

師：的確，測量、計算、比較，“三步曲”。

（教師宣讀合作探究要求，布置任務，提醒學生必要時可以向教師求助）

師：有小組受困了，曲邊無法用直尺測量怎么辦？誰有妙法？

生3：可以用皮尺代替直尺。

師：但是皮尺不是常備文具，不妨用細線代替。

（學生測算，教師巡查）

師：請兩組匯報測算結果。

（第一組匯報測量結果）

師：根據第一組的匯報，參考合作探究要求，你們有無異議？

生4：他們只測量了各條線段的長，并未匯總。

生5：他們并未按要求取整。

師：這就警示我們要嚴格審題。

（請第二組匯報）

師：對他們的報告，你們認可嗎？

生6：還要比出最終結果。

師：那就對比最后結果，看到底誰的賽道長。

生7：蟋蟀。

師：在測量這段曲線時，先用細線按照1： 1 的比例比對，然后拉直測量，這樣就能達到化曲為直的目的。（板書：化曲為直）測量曲線時，同學們存在很大分歧，到底該如何處理曲邊？我們先來觀看一段教學視頻。

教：（總結）對于曲邊的測量，一般都是用細線比畫，拉直后再來測量。

3.反思總結，內化周長

師：測量周長時，為什么有一個加法運算環節？

生1：因為周長包括所有線條的長度。

師：既然談到了周長，那么究竟何為周長？

生1：周長就是物體或者圖形邊緣的長度。

師：有補充的嗎？

生2：周長就是封閉圖形邊緣的長度。

師：（總結）周長就是圍繞封閉圖形邊線運動一周的總長度。

師：1 號圖形的周長是多少？

生3：25 厘米。

師：蟋蟀沿著2 號路線爬行了26 厘米，此處的26厘米有何含義？

生4：表示2 號圖形的周長為26 厘米。

生5：表示蟋蟀爬行路線的長度是26 厘米。

師：26 厘米既表示蟋蟀爬行的2 號路線的長度，也表示②號圖形的周長。

師：（總結）周長就是圍成圖形邊緣的所有線條的總長，這個線條包括曲線。

評析：數學概念的構建是一個過程，從靜態看，周長就是封閉圖形邊線的總長；從動態看，周長就是圍繞邊線游走一圈的路程。教師在本環節設計了一個大背景：一只蝸牛與蟋蟀賽跑，比較誰的路線長。這種大背景深刻揭示了周長概念的來源，這個大問題為學生的合作探究和持續性學習提供了廣闊的平臺。同時，學生探究辨析的時間也非常寬裕。合作探究的要求又規范了學生的活動流程，保證了學習效率，教師的相機指導、適時點撥，又保證了結論的簡潔性。學生在經歷測量、計算、對比的活動中，感悟了數學方法，充分體驗了周長的形成過程。

四、多維辨析，深化理解

1.排除面積大小對周長大小的負遷移

（教師呈現課件）

師：蟋蟀知道了真相，覺得不公平，要求更換賽道，這次主辦方將它們的賽道調整到③號、④號圖形的邊緣，蟋蟀這次親自測試賽道長短。你能計算出它們的周長嗎？（見圖2）

圖2

（經過討論和辨別，少數學生認為蟋蟀的賽道長，大多數學生發現這次兩者的賽道一樣長）

師：數學需要講求證據，替蟋蟀喊冤的學生，請提供證據。

師：老師也認為蟋蟀的賽道長，是什么導致了這樣的誤判？

生1：感覺分配給蟋蟀的這塊圖形區域大一些，但是經過仔細測算，發現其實兩塊區域的周長相等。

師：這是什么緣故？

生1：因為長方形的對邊相等，而中間的曲線是共有的，因此兩圖的周長相等。

師：凡事不能只看表面，周長大小與圖形所占區域大小有關嗎？

生2：無關。

師：（總結）周長是圖形邊線的總長度，與圍成的區域大小無關。

2.淡化形狀的影響

（教師呈現課件）

師：根據圖3 你有什么發現？

圖3

生1：三個圖形無一例外均為封閉圖形。

生2：三個圖形的周長相等。

師：若每根小棒的長度均為1 分米，那三個圖形的周長各是多少？

生3：全為8 分米。

師：（總結）周長是圖形邊線總長，與其形狀毫無關系。

評析：周長概念的深化必須通過實踐來實現——計算圖形的周長。但計算又不能喧賓奪主，它只是一種輔助手段，用來幫助凸顯和揭示周長的本質屬性。周長的計算是首次建立在概念上的運算，是學生學習概念的一個轉折點，圖形面積、形狀會對周長產生巨大負遷移，學生很容易憑借自己的直覺來武斷行事，陷入無意識的認知陷阱。教師在此環節通過各種對比辨析，讓學生在不同的復雜情境下計算并驗證周長，可以有效排除各種干擾條件，滲透周長的根本特性，培養了學生的推理能力和思辨能力，發展了學生的質疑精神和批判精神。