三角形中位線的模型應用

鄭曉慧 姜瑩

與線段的中點相關的問題，常會用到中位線定理，而三角形中位線定理的應用往往具有隱蔽性，具體表現為題目已知中點、中線等條件，需要構造中位線. 下面就給同學們介紹四種常見的中位線構造方法.

模型一：連接兩點，構造三角形的中位線

例1 如圖1，四邊形ABCD中，∠A = 90°，AB = 12，AD = 5，點M，N分別為線段BC，AB上的動點，點E，F分別為DM，MN的中點，則EF的長度可能為（）.

A. 2 B. 2.3

C. 4 D. 7

解析：如圖2，連接DN，則EF為△MDN的中位線，可得EF = [12] DN，從而可知DN最大時，EF最大. 因為N與B重合時DN最大，N與A重合時，DN最小，從而求得EF的最大值為6.5，EF的最小值是2.5. 故選C.

模型二：角平分線 + 垂直，構造三角形的中位線

例2 如圖3，在△ABC中，AB = 6，AC = 4，AD，AE分別是角平分線和中線，過點C作CF⊥AD于點F，連接EF，則線段EF的長為（）.

A. 1 ? ? ? B. 2

C. 4 ? ? ? D. [32]

解析：如圖4，延長CF交AB于G，根據等腰三角形的判定和性質得到 AG = AC = 4，FG = CF，進而求出BG = 2，而EF是△BCG的中位線，根據三角形的中位線定理計算即可得到EF = 1. 故選A.

模型三：已知兩個中點，找第三個中點，構造兩條中位線

例3 如圖5，在四邊形ABCD中，AB = CD，M，N分別為AD，BC的中點，延長BA，CD，分別交NM的延長線于點E，F. 求證：∠1 = ∠F.

解析：如圖6，連接AC，取AC的中點G，連接MG，NG，根據“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”可得NG = [12]AB，NG[?]AB，MG = [12]CD，MG[?]CD，再根據“兩直線平行，內錯角相等”可得∠GNM = ∠1，根據“兩直線平行，同位角相等”可得∠GMN = ∠F，然后由AB = CD得MG = NG，再根據“等邊對等角”可得∠GMN = ∠GNM，最后等量代換即可得證∠1 = ∠F.

模型四：已知一邊中點，倍長另一邊，構造三角形中位線

例4 如圖7，在△ABC中，∠ABC = 90°，BA = BC，△BEF為等腰直角三角形，∠BEF = 90°，M為AF的中點. 求證：ME = [12]CF.

解析：如圖8，延長FE到D，使DE = EF，連接AD，BD，由BE = DE，可判斷出△BDF是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得BD = BF，易證∠CBF = ∠ABD，利用“SAS”證明△ABD和△CBF全等，根據“全等三角形對應邊相等”可得AD = CF，再根據“三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半”可得ME = [12]AD，從而得到ME = [12]CF.

分層作業

難度系數：★★★解題時間：5分鐘

1. 如圖9，在△ABC中，CE是中線，CD是∠ACB的平分線，AF⊥CD，交CD的延長線于點F，AC = 9，BC = 4，則EF的長為.? （答案見第23頁）

2.如圖10，已知在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，點D是AC的延長線上的一點，AD = 12，點E是BC上一點，BE = 6，連接DE，M，N分別是AB，DE的中點，則MN的值為（）.? （答案見第23頁）

A. 6 B. 8

C. 10[3] D. 3[5]

〔作者單位：遼寧省實驗中學（初中部）〕