學會分析數據的波動

李典婷

生活現象

有的同學學習成績不穩定，忽高忽低，忽上忽下，波動很大，他們的成績在班級的排名可以明顯說明這一問題；而有的同學學習成績非常穩定，一直保持在班級某個名次左右，跨度很小. 或者說，有的同學學習成績穩步上升，而有的同學學習成績直線下降，這實際就是數據的波動程度.

在大數據時代，同學們將來在工作中可能會接觸大量數據，因此，從現在開始，同學們就要學會分析一組數據的波動程度. 下面，我們就通過一道例題說明如何分析數據的波動程度.

例題精析

例 甲、乙兩名射擊運動員的10次射擊成績（單位：環）如表1所示，請你判斷哪位運動員的射擊成績比較穩定.

解法1：一般情況下，一組數據的方差越小，數據的波動程度就越小，這組數據就越穩定；反之，一組數據的方差越大，數據的波動程度就越大，這組數據就越不穩定. 因此，我們可以通過計算兩組數據的方差來判斷哪位運動員的射擊成績穩定.

甲的射擊成績平均數[x甲=7×3+8×2+9×2+10×310=8.5].

乙的射擊成績平均數[x乙=7×2+8×2+9×5+10×110=8.5].

甲的射擊成績的方差：

[s2甲=（8-8.5）2+（9-8.5）2+? ?+ （7-8.5）2+（10-8.5）210=1.45].

乙的射擊成績的方差：

[s2乙=（7-8.5）2+（7-8.5）2+? ?+ （9-8.5）2+（9-8.5）210=0.85].

顯然[s2甲>s2乙]，所以乙的射擊成績比較穩定.

在比較一組數據的波動程度或穩定性時，是否一定要用方差這個統計量呢？回答是不一定.

解法2：在比較上面兩位運動員10次射擊成績的穩定性時，我們可以用折線統計圖表示出兩位運動員的射擊成績，如圖1所示.

通過折線統計圖我們可以清晰地看出，甲10次射擊成績的折線統計圖（虛線表示）忽高忽低，而且跨越幅度較大（如第5次到第6次，從最高的10環猛降到最低的7環，第8次到第9次亦是如此；而第9次到第10次，又從最低的7環猛升到10環）. 而乙10次射擊成績的折線統計圖變化比較平穩，起伏不大，無論是上升還是下降的幅度都比較小，其中前兩次與最后三次的成績都分別在一個水平線上，而甲的射擊成績從來沒有連續兩次在同一條水平線上. 從折線統計圖可以看出，乙的射擊成績比較穩定.

規律：兩組數據的波動程度，可以通過方差和折線統計圖兩種方法進行比較. 有時也可以用方差的意義進行比較.

變式應用

芭蕾舞是一種來自歐洲的古典舞蹈，它的一個最重要特征是女演員表演時以腳尖點地，因此又稱“腳尖舞”.芭蕾舞對女演員的身高要求比較嚴格，女演員不能太高也不能太矮. 在一次芭蕾舞表演比賽中，“白天鵝”芭蕾舞團與“維納斯”芭蕾舞團都表演了《天堂的孩子》，參加表演的女演員的身高（單位：cm）如表2所示，試判斷哪個芭蕾舞團女演員的身高更加整齊.

對于這樣的問題，我們還有必要再計算兩組數據的方差嗎？當然沒有. 觀察兩組表格中的數據很快發現，“白天鵝”芭蕾舞團女演員的身高非常整齊，10人中9人身高一樣，而“維納斯”芭蕾舞團女演員的身高既有163 cm（3人），也有164 cm（5人），還有165 cm（2人）. 顯然，“白天鵝”芭蕾舞團女演員的身高整齊.這正是根據方差的意義來比較兩組數據的波動程度.

綜上可知，比較兩組數據的波動程度，既可以通過比較兩組數據的方差，也可以通過觀察兩組數據的折線統計圖，還可以根據方差本身的意義. 因此，比較兩組數據的波動程度一定要具體問題具體分析，根據問題的特點選擇合適的方法.

（作者單位：甘肅省積石山縣銀川初級中學）