數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

何朝富

一、引言

隨著課程改革的深入推進(jìn),數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用受到高度關(guān)注。在教學(xué)過程,教師巧妙滲透數(shù)形結(jié)合思想,不但能夠幫助學(xué)生理清知識(shí)脈絡(luò),理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì),而且還能提高其數(shù)學(xué)問題解決能力。因此,研究數(shù)形結(jié)合在教學(xué)實(shí)踐中的應(yīng)用具有現(xiàn)實(shí)意義。

二、數(shù)形結(jié)合思想概述

初中數(shù)學(xué)中,數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)學(xué)和幾何圖形相結(jié)合,通過幾何圖形來解決數(shù)學(xué)問題的一種思想方法。這種思想方法可以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)知識(shí),提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和幾何直觀能力。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用范圍非常廣泛,可以應(yīng)用于各個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域,如平面幾何、立體幾何、三角函數(shù)等。在平面幾何中,數(shù)形結(jié)合思想可以幫助學(xué)生更好地理解平面幾何概念和平面幾何知識(shí),如相似三角形、勾股定理、圓的性質(zhì)等。在立體幾何中,數(shù)形結(jié)合思想可以幫助學(xué)生更好地理解立體幾何概念和立體幾何知識(shí),如立體圖形的表面積和體積、圓錐及側(cè)面展開圖等。在三角函數(shù)中,數(shù)形結(jié)合思想可以幫助學(xué)生更好地理解三角函數(shù)概念和三角函數(shù)知識(shí),如正弦、余弦、正切等。

總之,數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)與解題中常見的思想方法,可以幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),提升解題正確率。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。

三、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值

新課標(biāo)對于初中數(shù)學(xué)教學(xué)建議為“教學(xué)過程教師要讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)思想,積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)”。在常規(guī)課堂教學(xué)環(huán)節(jié),數(shù)學(xué)知識(shí)可以視為“明線”,直接在教材當(dāng)中即可找到,而數(shù)學(xué)思想可以視為“暗線”,需要學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行內(nèi)化,經(jīng)過總結(jié)和提煉才能獲得。初中階段,不同知識(shí)的講解數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用方式不同。比如,在解析幾何問題教學(xué)方面,數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用是將坐標(biāo)法作為核心,利用圖形引領(lǐng)學(xué)生參與代數(shù)運(yùn)算,總結(jié)圖形性質(zhì),輔助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念,明確數(shù)學(xué)算理知識(shí),把握數(shù)學(xué)知識(shí)的前后聯(lián)系,對于學(xué)生核心素養(yǎng)的培育具有重要影響。

數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能夠?qū)W(xué)生思維空間拓展,對于其數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)也有促進(jìn)作用。與此同時(shí),應(yīng)用數(shù)形結(jié)合可指導(dǎo)學(xué)生多角度感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí),在解決問題的時(shí)候能夠靈活多變。比如,教師在函數(shù)知識(shí)講解階段,可以選擇數(shù)形結(jié)合思想講解函數(shù)概念,以圖形作為切入點(diǎn),輔助學(xué)生快速、準(zhǔn)確掌握函數(shù)概念與性質(zhì)。在數(shù)形結(jié)合應(yīng)用環(huán)節(jié),還能為學(xué)生提供諸多解題思路,在數(shù)和形轉(zhuǎn)化過程提升學(xué)生形象思維與抽象思維。

整體而言,初中數(shù)學(xué)教學(xué),數(shù)形結(jié)合應(yīng)用價(jià)值體現(xiàn)在以下三方面:第一,具備實(shí)用性,在數(shù)學(xué)思想應(yīng)用階段,可從學(xué)生的生活情境角度出發(fā),建立實(shí)物模型,帶領(lǐng)學(xué)生探索數(shù)量關(guān)系,將抽象數(shù)學(xué)問題直觀呈現(xiàn),讓學(xué)生輕松學(xué)習(xí)和記憶,調(diào)動(dòng)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)積極性。第二,具有輔助性,部分?jǐn)?shù)學(xué)概念抽象,學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)和掌握相對困難,引入數(shù)形結(jié)合,輔助學(xué)生依托圖形來記憶數(shù)學(xué)公式或者概念,能夠滿足其思維發(fā)展需求。第三,具有發(fā)展性,數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用可以將學(xué)生形象、抽象等思維緊密結(jié)合,指引學(xué)生在數(shù)形互助環(huán)境之下開拓學(xué)習(xí)思路,發(fā)展思維。因此,在初中數(shù)學(xué)教學(xué)方面,教師要積極利用數(shù)形結(jié)合輔助學(xué)生理解問題、記憶知識(shí)、尋找思路,在學(xué)生腦海當(dāng)中建立完善的數(shù)學(xué)體系,促進(jìn)學(xué)生思維全面發(fā)展。

四、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

(一)不斷學(xué)習(xí),強(qiáng)化對數(shù)學(xué)思想認(rèn)識(shí)

在育人過程中,要給學(xué)生一碗水,教師必須要有一桶水。也就是說,教師本身的知識(shí)水平十分重要,需要不斷提高自身對知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解,才能做好育人工作。數(shù)學(xué)教師對于數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)程度決定著該思想在數(shù)學(xué)課堂當(dāng)中的應(yīng)用成效。當(dāng)教師教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富時(shí),能夠抓住數(shù)學(xué)思想的滲透時(shí)機(jī),根據(jù)教學(xué)需求,準(zhǔn)確地將數(shù)形結(jié)合引入課堂。因此,教師要不斷學(xué)習(xí),豐富自身理論素養(yǎng),加強(qiáng)閱讀,重點(diǎn)閱讀數(shù)學(xué)思想發(fā)展史相關(guān)書籍,明確數(shù)學(xué)思想的發(fā)展過程,從根源入手,對于數(shù)形結(jié)合形成深刻的認(rèn)識(shí)。在課堂授課階段,適當(dāng)引入數(shù)學(xué)典故或者數(shù)學(xué)問題,向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)思想,激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣,鍛煉學(xué)生思維能力。

(二)研讀課標(biāo),分析數(shù)形結(jié)合和數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系

課標(biāo)和教材是教師教學(xué)過程重要依據(jù),其中凝練優(yōu)秀教育者智慧結(jié)晶。只有教師對課標(biāo)要求有正確的理解,才能明確數(shù)形結(jié)合可以在講解哪些講解階段應(yīng)用,有助于學(xué)生哪些素養(yǎng)的提升,讓課堂教學(xué)目標(biāo)明確,輔助學(xué)生深度學(xué)習(xí)。要做到以上幾點(diǎn),需要教師深入研讀課標(biāo)內(nèi)容,對于幾何直觀、空間觀念等關(guān)鍵詞語有全方位了解,明確數(shù)學(xué)課程具體內(nèi)容和教學(xué)建議,對于教材深入挖掘,梳理其中和數(shù)形結(jié)合思想相關(guān)的內(nèi)容,才能精準(zhǔn)應(yīng)用數(shù)學(xué)思想。

例如,在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域,涉及如下幾種數(shù)學(xué)思想:第一,數(shù)與式,其中數(shù)軸部分涉及利用數(shù)軸表示有理數(shù);絕對值這部分內(nèi)容,涉及利用數(shù)軸理解絕對值含義、相反數(shù)等;實(shí)數(shù)內(nèi)容的講解通過數(shù)軸理解數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間有一一對應(yīng)關(guān)系;平方差公式講解利用拼圖方式來驗(yàn)證平方差公式等以上知識(shí)都反映出以形助數(shù)思想。第二,方程與不等式,在一元一次方程講解階段,要求學(xué)生利用線段圖對等量關(guān)系進(jìn)行分析,列出方程;二元一次方程和一次函數(shù)內(nèi)容講解,要求學(xué)生根據(jù)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一次函數(shù)位置關(guān)系,判斷方程組解;不等式解集內(nèi)容講解,要求學(xué)生用數(shù)軸代表不等式或者不等式組解集等以上知識(shí)都反映出以形助數(shù)思想。第三,函數(shù),利用圖像表示變量關(guān)系內(nèi)容講解,要求學(xué)生觀察圖像,對于自變量和因變量關(guān)系進(jìn)行分析;函數(shù)部分講解,選擇圖像法代表函數(shù),利用函數(shù)圖像分析函數(shù)關(guān)系;一次函數(shù)圖像內(nèi)容講解,根據(jù)圖像對于正比例函數(shù)、一次函數(shù)之間性質(zhì)和關(guān)系進(jìn)行分析等以上知識(shí)點(diǎn)當(dāng)中也反映出以形助數(shù)的思想。

(三)因材施教,尊重學(xué)生認(rèn)知規(guī)律

從教育心理學(xué)角度分析,不同年級學(xué)生心理特征不同,學(xué)習(xí)特點(diǎn)也各不相同。七年級學(xué)生剛剛升入初中,形象思維處于主導(dǎo)地位;八年級學(xué)生心理和思維逐漸發(fā)展,教學(xué)過程需要教師引導(dǎo),否則當(dāng)學(xué)習(xí)內(nèi)容過于抽象的時(shí)候,可能令學(xué)生產(chǎn)生畏難心理;九年級學(xué)生學(xué)習(xí)壓力較大,能夠利用抽象思維思考問題。在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合之前,需要教師對不同年級學(xué)生特點(diǎn)有全方位的了解,選擇差異性教學(xué)方式。七年級學(xué)生教學(xué),優(yōu)先選擇直觀教學(xué)方式,輔助其理解圖像概念,注重學(xué)生動(dòng)手畫圖這項(xiàng)能力培養(yǎng);八年級數(shù)學(xué)教學(xué),要引導(dǎo)學(xué)生分別從“數(shù)”“形”角度出發(fā),理解所學(xué)內(nèi)容,感受數(shù)學(xué)圖形的直觀性和美觀性,進(jìn)而體會(huì)代數(shù)方法的精準(zhǔn)性;九年級數(shù)學(xué)教學(xué),教師可以將數(shù)學(xué)思想和方法系統(tǒng)化向?qū)W生介紹,引領(lǐng)學(xué)生歸納總結(jié),鼓勵(lì)其利用畫圖、想象等方法解決問題,對于難以用代數(shù)方法解決的問題,選擇幾何方法解決,培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力,根據(jù)學(xué)生特長和優(yōu)勢,指導(dǎo)其運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法解決問題。

(四)創(chuàng)設(shè)情境,感受數(shù)形結(jié)合思想

新課標(biāo)明確指出,在數(shù)學(xué)教學(xué)過程當(dāng)中,教師要采取多種措施,培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)興趣,滿足其個(gè)性化發(fā)展需求。部分學(xué)生對于數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用意識(shí)薄弱,本質(zhì)原因在于其對數(shù)形結(jié)合理念和特點(diǎn)理解不夠深入,教師要反思教學(xué)情境創(chuàng)設(shè)是否能夠滿足學(xué)生需求,教學(xué)方法是否能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生興趣,教學(xué)流程設(shè)計(jì)是否科學(xué)合理,精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng),指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題。

例如,在講解“平面直角坐標(biāo)系”這部分內(nèi)容時(shí),教師可選擇生活化情境,組織教學(xué)活動(dòng)。“要求學(xué)生在課堂上將桌椅并攏,利用兩根長繩(帶有箭頭標(biāo)記)交錯(cuò),將一個(gè)學(xué)生作為原點(diǎn),所有學(xué)生都作為坐標(biāo)點(diǎn),將班級分為4個(gè)象限,相鄰正坐標(biāo)軸區(qū)域的學(xué)生處于第一象限內(nèi),在課堂進(jìn)行游戲輔助學(xué)生認(rèn)識(shí)平面直角坐標(biāo)系”。以游戲活動(dòng)為載體,讓學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用。幾何知識(shí)的講解,也可以利用實(shí)物模型,為學(xué)生提供棱柱、圓柱等學(xué)具,鼓勵(lì)學(xué)生探究觀察,尋找事物幾何性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系,積極參與數(shù)形結(jié)合活動(dòng),強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí),感受數(shù)形結(jié)合思想。

(五)科學(xué)引導(dǎo),輔助學(xué)生轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)語言

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程當(dāng)中,數(shù)學(xué)語言的地位顯著,具體包括字、符號、圖像三種,數(shù)學(xué)語言是表示數(shù)學(xué)領(lǐng)域物體位置關(guān)系或者數(shù)量關(guān)系的基本形式。在教學(xué)過程中,數(shù)形結(jié)合應(yīng)用即指三種語言之間的相互轉(zhuǎn)化,解決數(shù)學(xué)問題。部分學(xué)生難以準(zhǔn)確利用數(shù)學(xué)語言對于數(shù)學(xué)問題當(dāng)中數(shù)量關(guān)系或者圖形特點(diǎn)進(jìn)行分析,主要原因是學(xué)生對于數(shù)形之間的表征轉(zhuǎn)化能力相對較弱。事實(shí)上,不同語言的優(yōu)勢不同,文字語言簡練精確,符號語言優(yōu)雅簡明,圖像語言生動(dòng)形象,將三種語言有機(jī)融合是學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合關(guān)鍵所在。所以,在數(shù)學(xué)課堂上,教師可以重點(diǎn)指導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化訓(xùn)練。

例如,在講解“垂徑定理”內(nèi)容時(shí),使用文字語言進(jìn)行描述,為垂直圓弦的直徑同時(shí)平分這條弦和其所對的弧;使用圖形語言進(jìn)行描述,如圖1所示,使用符號語言進(jìn)行描述,AB是圓O的一條弦,CD為圓O的直徑,若CD垂直于AB,垂足為M,則AM和BM相等,弧AC等于弧BC,弧AD等于弧BD。通過數(shù)學(xué)語言之間的轉(zhuǎn)化訓(xùn)練,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)語言的簡潔美和外形美,調(diào)動(dòng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用熱情,提高學(xué)習(xí)效率。

圖1 垂徑定理的圖形表達(dá)

(六)習(xí)慣培養(yǎng),應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解決問題

新課標(biāo)針對初中階段學(xué)生教學(xué)提出如下要求,“掌握圖形性質(zhì)、運(yùn)動(dòng)規(guī)律、物體位置等特點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生空間觀念,運(yùn)用圖形來思考問題,建立幾何直觀”。充分體現(xiàn)以形助數(shù)方法的運(yùn)用。部分學(xué)生在運(yùn)用函數(shù)圖像解決不等式獲得方程問題能力相對薄弱,選擇的解題方法不夠簡潔,這種情況能夠反映學(xué)生難以利用圖像解決數(shù)學(xué)問題。所以,在日常教學(xué)過程當(dāng)中,教師要給予學(xué)生習(xí)慣培養(yǎng)高度重視,讓學(xué)生能夠根據(jù)問題根據(jù)畫圖,養(yǎng)成認(rèn)真讀圖和善于用圖的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

比如,針對“行程問題”的求解,要求學(xué)生使用線段圖,形象直觀地將速度、時(shí)間、路程之間關(guān)系呈現(xiàn)出來,讓等量關(guān)系一目了然;針對函數(shù)問題的求解,要突破代數(shù)運(yùn)算的解題思維,善于利用圖形,在畫圖過程提取有效信息,借助圖像對函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行分析,梳理函數(shù)和方程、不等式之間關(guān)系,深入分析待解決問題,找到最佳解題路徑。教學(xué)過程中,重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生利用圖形解決問題的習(xí)慣,用簡單的方法或者思路解決復(fù)雜問題,感受數(shù)形結(jié)合應(yīng)用能夠起到化繁為簡的作用,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)自信。

(七)重視基礎(chǔ),強(qiáng)化概念講解數(shù)學(xué)思想滲透

課標(biāo)對于基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)提出明確要求,部分學(xué)生對于教材當(dāng)中的概念和定義學(xué)習(xí)重視度不足,認(rèn)為以上內(nèi)容相對簡單,無須深入研讀,只需要做題階段會(huì)運(yùn)用即可。事實(shí)上,數(shù)學(xué)概念和定理當(dāng)中蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想,夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)能夠幫助學(xué)生更好地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題。

(八)全面融入,在不同課型中應(yīng)用數(shù)學(xué)思想

在數(shù)學(xué)新課講解階段,教師可以利用數(shù)形結(jié)合思想,以直觀圖形輔助學(xué)生理解和學(xué)習(xí)抽象概念。在講解新的公式和定理的時(shí)候,既要關(guān)注學(xué)生對知識(shí)結(jié)論能否習(xí)得,又要將數(shù)學(xué)知識(shí)實(shí)質(zhì)呈現(xiàn)出來;在講解數(shù)學(xué)概念、定理、性質(zhì)和法則的時(shí)候,應(yīng)用圖形的直觀性進(jìn)行分析和討論,讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的生成過程,體會(huì)從具體向抽象方向發(fā)展的規(guī)律,進(jìn)而對數(shù)形結(jié)合形成初步認(rèn)識(shí)。

例如,在“有理數(shù)”知識(shí)學(xué)習(xí)階段,針對相反數(shù)這一概念,教師在講解過程可以選擇數(shù)軸輔助教學(xué),便于學(xué)生直觀觀察相反數(shù)特點(diǎn),進(jìn)而理解絕對值相同且符號不同兩個(gè)數(shù)即互為相反數(shù),將數(shù)學(xué)概念、直觀圖形之間建立對應(yīng)關(guān)系,直觀呈現(xiàn)數(shù)和形的關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力與數(shù)感能力。

在習(xí)題課教學(xué)方面,教師同樣可以選擇數(shù)形結(jié)合思想,先為學(xué)生講解如何在題目中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想思考問題,然后實(shí)踐運(yùn)用。比如,實(shí)數(shù)、數(shù)軸上的點(diǎn)之間具有一一對應(yīng)的關(guān)系,能夠判斷有理數(shù)大小這類問題;在一元一次方程、二元一次方程求解過程中,教師可以利用函數(shù)圖像法講解;幾何問題若未給出圖形,學(xué)生可以根據(jù)題意畫出圖形,根據(jù)圖形尋找其中隱含的關(guān)系,運(yùn)用正確的方法解決問題。

除此之外,在復(fù)習(xí)課上,教師也可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想輔助教學(xué)。比如,一次函數(shù)內(nèi)容講解以后,教師可以帶領(lǐng)學(xué)生回顧函數(shù)定義、一次函數(shù)、正比例函數(shù)、二元一次方程等知識(shí),總結(jié)本單元涉及的數(shù)形結(jié)合思想,在學(xué)生了解的基礎(chǔ)上,在解決問題當(dāng)中展開實(shí)際應(yīng)用,提高其解決問題能力,不斷完善學(xué)生的知識(shí)體系,使其通過數(shù)形結(jié)合,感受數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系。

五、結(jié)語

綜上所述,在初中數(shù)學(xué)課堂上,教師要高度關(guān)注數(shù)形結(jié)合應(yīng)用的重要性,不斷學(xué)習(xí)豐富自身的知識(shí)儲(chǔ)備,研讀課標(biāo)和教材,尋找數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用要點(diǎn)。根據(jù)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律和興趣特點(diǎn),創(chuàng)設(shè)課堂教學(xué)環(huán)境,讓學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合應(yīng)用優(yōu)勢,強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)語言之間轉(zhuǎn)化能力,培養(yǎng)其讀圖和用圖習(xí)慣,基于數(shù)學(xué)內(nèi)容講解,將數(shù)形結(jié)合思想巧妙引入課堂,提高課堂教學(xué)效率。