基于代理模型的400 km/h高速鐵路車-橋系統關鍵參數優化方法

張可新 同新星 李克冰 楊勃

1.中國鐵道科學研究院集團有限公司 鐵道科學技術研究發展中心， 北京 100081； 2.西安理工大學 機械與精密儀器工程學院，西安 710048； 3.中國鐵道科學研究院集團有限公司 鐵道建筑研究所， 北京 100081

高速鐵路對行車安全性和乘坐舒適性提出了極高要求。我國高速鐵路大量使用橋梁以減少工后沉降和軌道不平順性［1-2］。簡支梁因其結構簡單、施工方便、成本低等優點，被廣泛地應用于我國高速鐵路建設中。預應力混凝土簡支梁長期受預應力的壓縮作用，隨著時間的推移會產生徐變壓縮效應［3］。因其下端壓縮變形高于上端，導致簡支梁出現徐變上拱現象，從而造成高速鐵路線路縱斷面的不平順性，影響高速鐵路的行車安全性和乘坐舒適性［4-5］。車-線-橋耦合系統研究表明［6-7］：列車軸重與橋梁徐變上拱是影響列車垂向加速度的重要因素。因此，在橋梁密集的高速鐵路設計階段，確定合理的列車軸重和橋梁徐變上拱值對高速鐵路的安全性和舒適性設計具有重要意義。

關于高速鐵路橋梁徐變上拱對列車動力學響應的研究主要集中于橋梁徐變上拱的仿真［8-9］、徐變上拱對列車的動力學響應分析、徐變上拱限值研究等方面。勾紅葉等［10］以橋梁下沉、徐變上拱值為研究對象，通過車體垂向加速度和輪軌垂向力評價行車安全，構建橋梁變形映射通用模型，并運用仿真分析與數據擬合的方法研究高速鐵路橋梁附加變形與行車安全的動態關系模型。楊宏印等［11］推導了考慮軌道不平順和輪軌脫離的車輪-軌道-橋梁耦合動力方程，使用有限元方法分析橋梁徐變上拱值對系統的加速度、輪軌接觸力的響應規律。徐慶元等［12］利用ANSYS軟件建立高速列車-縱連板式無砟軌道-橋梁耦合動力學模型，研究徐變上拱值對車體最大加速度、最大輪軌力等的影響。黎國清等［13］通過實車試驗研究了徐變上拱引起的軌道不平順性，構建車-橋系統動力模型，分析橋上軌道不平順幅值對垂向加速度的影響規律。柏華軍［14］以溫差效應下的墩頂豎向變形為對象，基于車-橋耦合分析軟件，研究溫度效應對車-橋系統動力響應的影響規律。田新宇等［15］運用MIDAS/Civil軟件建立車輛-軌道-橋梁耦合動力學模型，分析徐變上拱值對車體垂向加速度、舒適度等的影響，獲得橋梁殘余徐變上拱的設計限值。

目前，我國已自主化全面構建了時速350 km成套技術體系，并在京滬高鐵、鄭徐高鐵開展綜合試驗，探索了時速380 ~ 420 km高速鐵路的相關技術問題，具備向時速400 km發展的潛力。時速400 km高速鐵路技術參數尚未完全確定，同時動車組技術參數與基礎設施設計參數存在一定的耦合關系，因此需要進一步完善系統正向設計和匹配優化方法，從而合理地制定新一代更高速、更安全、更舒適的高速鐵路設計參數。本文以列車垂向加速度為目標，基于代理模型和優化設計理論，研究時速400 km高速鐵路車-橋系統關鍵參數優化設計方法，為橋梁徐變上拱控制及車輛設計提供參考。

1 高速列車垂向加速度代理模型構建

橋梁徐變上拱和列車軸重是影響列車垂向加速度的關鍵參數，且兩個參數相互影響，關系比較復雜，難以獲得精確的解析表達式。基于有限樣本數據的代理模型能夠以極高的精度描述參數之間的關系，為研究車-橋系統關鍵參數優化提供了有效途徑。

1.1 基于拉丁方的設計變量抽樣

拉丁超立方抽樣（Latin Hypercube Sampling，LHS）是一種從多元參數分布中近似隨機抽樣的方法，能在較少抽樣的情況下獲得較高的計算精度。在350 km/h高速鐵路技術基礎上，以列車軸重和橋梁徐變上拱值為設計變量，其取值范圍分別設定為［12，17］t和［3，13］mm。基于LHS方法抽樣獲得的列車軸重和徐變上拱值的組合數據，得到25組不同的設計變量組合（表1），可為車輛垂向加速度的虛擬仿真提供有效輸入參數組合。

表1 基于LHS方法抽樣獲得的列車軸重與徐變上拱值的組合數據

1.2 高速列車垂向加速度虛擬仿真

通過構建高速鐵路車-橋系統動力學模型研究列車垂向動力學特性是有效的分析方法。本文考慮CRH380B列車結構特征，以連續32 m混凝土簡支梁為對象，基于LSH方法抽樣的輸入參數組合，通過構建三維車橋耦合動力分析模型，研究400 km/h高速鐵路不同列車軸重和橋梁徐變上拱值組合下的高速列車垂向加速度，為構建其代理模型提供合理有效的樣本數據。

1.2.1 車-橋系統動力分析模型及求解方法

三維車-橋動力耦合系統由車輛子系統和橋梁子系統兩部分組成，子系統之間通過給定的輪軌相互作用模型相聯系，系統的內部自激勵包括軌道不平順、車輛蛇行運動等。

輪軌間相互動力作用，橫向采用輪軌切向蠕滑假定的線性簡化假定，豎向采用輪軌垂向密貼假定。分別建立車輛子系統、橋梁子系統的動力方程，聯立車輛子系統方程和橋梁子系統方程，可得到車-橋系統的動力方程，即

式中：Mv、Cv、Kv、Xv分別為單節車輛的質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣、位移向量；Cc為輪軌間蠕滑產生的附加阻尼矩陣；Fv為作用在單節車輛上的外加力向量；Mb、Kb分別為橋梁子系統的質量矩陣和剛度矩陣；Cb為橋梁子系統的阻尼矩陣；Xb為橋梁子系統的位移向量；Fb為作用在橋梁子系統的力向量，即輪軌間作用力。

系統方程的建立方法及各矩陣向量參見文獻［16-17］，系統方程的求解采用全過程迭代法［18］。首先假定橋梁子系統為剛性，求解獨立的車輛子系統方程，得到列車輪軌間作用力時程，然后將輪軌間作用力施加于橋梁，求解獨立的橋梁動力方程得到橋梁的動力響應。將求出的橋面動力響應時程與軌道不平順疊加作為新的車輛系統激勵進行下一步迭代。

1.2.2 不同抽樣的車輛垂向加速度計算

以CRH380B動車組為對象，采用中國高速鐵路無砟軌道不平順譜轉換的時域不平順樣本作為動車組的軌道不平順激勵。基于LSH方法抽樣的徐變上拱和軸重參數組合，通過求解三維車橋耦合動力學模型，獲得400 km/h高速鐵路列車軸重和徐變上拱值不同組合的車輛垂向加速度，為構建車體垂向加速度代理模型提供了有效的樣本數據。基于三維車-橋模型獲得的不同列車軸重與徐變上拱值組合的車輛垂向加速度見表2。

表2 基于三維車-橋模型獲得的不同列車軸重與徐變上拱值組合的車輛垂向加速度

1.3 基于Kriging的車體垂向加速度代理模型

1.3.1 Kriging代理模型構建方法

Kriging模型是一種基于隨機過程的統計預測法，具有在樣本點上精確插值和預測的優點，對于強非線性問題具有良好的擬合能力。假設x∈ Rd為多維輸入向量，y（x）為輸出響應，則Kriging模型的表達式為

式中：p為多項式的項數；βi為回歸系數；Z（x）表示一個滿足正態分布N（0，σ2）的高斯隨機過程，均值為0；fi（x）為第i個多項式。

Z（x）的協方差為

式中：cov（·）為協方差函數；σ2為方差；R（·）為相關函數；θ為相關系數向量；xi和xj分別為第i和j個輸入設計變量。

本文選取的常數回歸項和高斯相關函數為

式中：d為設計變量的維數；θk為輸入變量的第k個分量的相關性系數；xi，k和xj，k分別表示第i和j個輸入設計變量矢量的第k維分量。

輸出y（x）的最優線性無偏估計為

式中：y為樣本響應值向量?為β的最大似然估計；R為相關函數矩陣；r為相關函數向量；f為長度為n的單位列向量。

表達式為

σ2的估計為

與σ?2都是式（3）相關系數向量θ的函數，θ的值可通過求解下式得到。

式中：Φ（·）為極大似然估計函數。

通過模式搜索算法求解無約束優化問題式（8），可得相關系數向量θ；將其代入式（2）—式（4），構建得到Kriging代理模型。

1.3.2 基于Kriging的代理模型構建

以高速列車軸重、橋梁徐變上拱值為設計變量，首先通過求解三維車橋耦合模型獲得列車以400 km/h速度通過橋梁時的一系列車體垂向加速度的數據樣本；然后基于Kriging代理模型構建原理，建立列車軸重、橋梁徐變上拱值與車體垂向加速度的代理模型。歸一化后的響應曲面如圖1所示。可知：①車體垂向加速度與列車軸重、橋梁徐變上拱值成非線性的關系，其響應曲面光滑平順。列車軸重越大，且橋梁徐變上拱值越小，則高速列車的車體垂向加速度越小。②車體垂向加速度對徐變上拱值的敏感性遠遠高于對車輛軸重的敏感性，應在系統設計中限制橋梁的徐變上拱限值。另外，構建的代理模型響應面與通過車-橋動力學模型計算的結果（表2）趨勢一致，充分說明了代理模型的有效性。

圖1 基于Kriging方法構建的車體垂向加速度代理模型歸一化后的響應曲面

1.3.3 代理模型精度分析

基于Kriging方法構建的列車車體垂向加速度代理模型的評價參數見表3。可知，代理模型預測精度達到了98.96%，復相關系數達到了0.995 3，表明代理模型具有較高的精度，能夠精確描述高速列車軸重、橋梁徐變上拱值與車體垂向加速度的非線性關系。此外，軸重和橋梁徐變上拱值的參數向量分別為0.316 4和0.499 3，證明了徐變上拱值的變化對車體垂向加速度影響更大，與響應面呈現的規律一致。

表3 基于Kriging的高速列車車體垂向加速度代理模型評價參數及其精度

2 基于代理模型的車-橋系統關鍵參數優化

2.1 高速列車垂向加速度優化模型

為了在400 km/h高速鐵路系統設計階段為橋梁及列車設計提供依據，以400 km/h高速鐵路為對象，利用車體垂向加速度評價安全性和舒適性。在滿足TB 10621—2014《高速鐵路設計規范》的約束條件下，以列車軸重與橋梁徐變上拱值為設計變量，以車體垂向加速度最小為設計目標，構建基于代理模型的400 km/h高速鐵路車-橋系數關鍵參數優化模型，即

式中：x1和x2為設計變量，分別代表高速鐵路列車的軸重和橋梁的徐變上拱值；f（x1，x2）是基于代理模型構建的高速列車車體垂向加速度函數。

2.2 基于布谷鳥搜索算法的優化模型求解

布谷鳥搜索算法（Cuckoo Search Algorithm，CSA）是一種新型進化類全局優化算法，其思想借鑒了自然界中布谷鳥尋窩產卵的巢寄生繁殖方式和萊維飛行原理。因調試參數少、全局尋優能力強、魯棒性好且無須重新匹配調試參數等優點，CSA被廣泛地應用到工程優化領域。CSA算法第t+1代第i個布谷鳥的局部隨機游走位置更新表達式為

式中：xti+1、xti分別為第t+1代、第t代的第i個布谷鳥位置；α>0為步長比例因子；s為步長；?代表向量點乘；H（u）為Heaviside函數；pa為外來鳥蛋被巢主鳥發現的概率，pa∈[0，1]；ε為隨機數；xtj和xtk代表不同的隨機序列。

基于萊維飛行原理，全局隨機游走的位置更新表達式為

式中：λ為萊維指數；L（s，λ）為萊維飛行函數；Γ（λ）為λ函數。

基于CSA算法的高速鐵路車-橋系統關鍵參數優化流程見圖2。

圖2 基于CSA算法高速鐵路車-橋系統關鍵參數優化流程

具體步驟如下：

1）分別設定車輛軸重（x1）和橋梁徐變上拱值（x2）的變化范圍，給定種群數量、發現概率和最大迭代代數，預先設定最大允許優化代數（Tmax）。

2）基于拉丁方抽樣原理，以車輛軸重和徐變上拱值為設計變量，在其變化區間內進行有限抽樣。

3）構建三維車-橋系統動力學模型，基于步驟2）中的輸入參數，分別計算得到不同組合的車體垂向加速度，為代理模型提供有效的設計樣本。

4）采用Kriging方法，基于步驟3）中的樣本點構建車體垂向加速度與車輛軸重和橋梁徐變上拱值的代理模型f（x1，x2）。

5）基于步驟4）中的代理模型，以車輛軸重和橋梁徐變上拱值為設計變量，構建以車體垂向加速度最小為目標的高速鐵路車-橋系統關鍵參數優化模型。

6）通過丟棄適應度較差的鳥窩和選取適應度較好的鳥窩，生成新的第t代種群。

7）采用局部和全局隨機游走更新公式對第t代種群設計變量xi進行更新，并計算每個鳥窩的適應度函數值。

8）對終止條件進行判斷，如若滿足t>Tmax，則輸出優化結果；否則，令迭代次數t=t+1并返回步驟6）。

2.3 計算結果分析

采用布谷鳥搜索算法對構建的高速鐵路車-橋系統關鍵參數的優化模型進行優化求解。設定布谷鳥搜索算法的鳥窩數為20個，發現概率為0.25，隨機生成初始設計變量，迭代優化次數調試后設為100。基于布谷鳥搜索算法的高速鐵路車-橋系統關鍵參數優化迭代過程見圖3。可知，車體垂向加速度目標函數值隨著迭代次數的增加逐漸趨于穩定，在第100代時收斂于0.490 9 m/s2，遠小于TB 10621—2014的容許值（1.3 m/s2），表明車體垂向加速度能夠滿足高速鐵路運行安全性和舒適性的要求。此時x1= 15 t，x2= 3 mm。通過代理模型和優化理論獲得的設計變量最優值處于可行區域的邊界，這與目標函數的性質相吻合。說明本文提出的方法對優化高速鐵路車-橋系統關鍵參數快速有效。

圖3 基于布谷鳥搜索算法的高速鐵路列車垂向加速度優化迭代過程

3 結論

針對高速鐵路車-橋系統建模復雜難以優化的問題，本文以最小車體垂向加速度為目標，基于代理模型和優化設計理論，研究高速鐵路車-橋系統關鍵參數優化方法，得到結論如下。

1）在構建的400 km/h高速鐵路三維車-橋系統動力學模型的基礎上，基于拉丁方抽樣和仿真分析，建立了車體垂向加速度的Kriging代理模型，其精度達到了98.96%，復相關系數達到了0.995 3，可有效描述車體垂向加速度與列車軸重、橋梁徐變上拱值的相互關系。

2）提出了一種基于代理模型的時速400 km高速鐵路車-橋系統關鍵參數優化方法，基于代理模型和優化理論獲得了最優列車軸重和橋梁徐變上拱值，分別為15 t和3 mm，此時車體垂向加速度最小，其值為0.490 9 m/s2，小于TB 10621—2014容許值（1.3 m/s2），驗證了本文方法的正確性和有效性。