“圖形的旋轉”的教學設計探究

李春梅 張昆

［摘? 要］ “數學現實”“數學化”與“再創造”是弗賴登塔爾數學教育理論的三個重要特征，其要求把“講數學”轉換為引導學生“再創造”數學知識結構. 文章以“圖形的旋轉”教學為例，說明弗賴登塔爾數學教育思想的精髓.

［關鍵詞］ 數學現實；數學化；再創造；圖形的旋轉

國家出臺了“雙減”政策，明確要求減輕學生的課業負擔. 在此背景下，教師如何在不增加學生課業負擔的同時，提升數學課堂教學質量呢？教師要以引領者的角色有指導地帶領學生通往奇妙的數學世界，鼓勵學生有意識地、不由自主地觀察數學. 數學課程標準也提出，課程內容的組織與選擇要以學生為主體，符合學生的認知發展水平和數學現實［1］，要引導學生經歷新知識產生和發展的過程. 其中體現的教育理念與弗賴登塔爾（以下簡稱“弗氏”）數學教育思想相融合，本文著眼于弗氏“數學現實”“數學化”“再創造”數學教育理論與實際課堂教學的結合，探究如何進行教學設計以及課堂教學活動的展開，目的是促使學生成為數學課堂的主人，同時避免依靠“題海戰術”提高學習成績，減輕學生的數學課業負擔.

弗賴登塔爾數學教育理論概述

弗賴登塔爾在數學、數學教育方面都做出了極大的貢獻，對荷蘭乃至當今世界都有著深遠的影響. 他在中國短短幾個月的講學，為我國的數學教育注入了新鮮的血液，打開了數學教育領域的另一扇門. 其教育思想、觀念極大地啟發了當時的數學教育工作者，被學者們所鉆研、探究. 弗氏倡導的數學教育觀是把“教”轉換為“學”，把教師的教學活動轉換為學生的學習活動，把“講數學”轉換為“創造數學”［2］. 張奠宙先生將弗氏數學教育理論歸結為“數學現實”“數學化”與“再創造”三個特征［3］，這就為教師開展課堂教學活動奠定了重要的理論基礎，同時改進了傳統數學課堂“灌輸式”“被動式”的教學模式.

1. 數學現實

“數學現實”是指學生已有的數學概念、方法等對客觀世界現實情況的認識而形成的認知結構. 弗氏認為數學教育應該為不同的人提供適合不同專長所需要的數學現實，使其能夠運用自如地解決有關的數學問題［3］. 數學源于現實、寓于現實，并用于現實，即現實的數學. 所以，數學學習應當從學生已有的生活現實、數學現實出發，在已有的認知基礎上將生活中的問題抽象成數學問題，并加以解決.

2. 數學化

弗氏說道，與其說讓學生學習數學，還不如說讓學生學習數學化［4］. “數學化”是指運用數學思想和方法研究現實生活中的各種具體情境，從情境中抽象出數學問題，并加以整理、分析與解決的過程. “數學化”包括兩方面，即橫向數學化與縱向數學化，橫向數學化是將現實問題轉化為數學問題，再對其進行抽象形成概念或公理體系，完成縱向數學化.

3. 再創造

“再創造”與杜威的“做中學”是相通的，弗氏認為數學學習需經歷“抽象化”的過程，即“做中學”中“做”的過程，將學習者看作創造主體，主動參與知識生成過程，同時在教師的指導下進行再創造. “再創造”常被譯為發現或是再發現，但又不等同于“發現法”. “再創造”不僅是一種教學方法，還是一項教學原則，是任何數學知識的教學活動都可以得到的抽象的方法；“發現法”則是教學中的一種具體方法，著重教師提前設計好一個個問題，引導學生逐步發現、探索，但在這個過程中教師施教稍有不慎可能會導致學生走向被動［5］.

下面簡要探討“數學現實”“數學化”與“再創造”三者之間的關系（如圖1所示）. 在數學教學中，三者是相互依存、緊密聯系的整體. 首先，“數學現實”是進行數學活動的背景，是“數學化”的基礎和前提，為進行“數學化”提供現實材料；其次，“數學化”與“再創造”相互促進，在學生做數學、動手實踐的過程中達到“再創造”的目的，即透過橫向數學化和縱向數學化的視角解釋“再創造”的過程；最后，通過對知識的“再創造”，又反作用于“數學化”的進行，完成縱向的“數學化”. 總之，可以說“再創造”是“數學化”的有效方法和手段.

基于弗賴登塔爾數學教學思想的“圖形的旋轉”教學設計案例

弗氏認為數學課堂教學的主、客觀基礎來自數學知識形成過程的本身和學生所擁有的數學現實及智力活動，學習者在處理、加工數學化信息的過程中，憑借自己的數學現實、認知結構與思維方式，再創造出具體的數學知識，如此，數學教學須依據“再創造”的途徑展開，這既是擴展客觀的數學知識結構需求，也是擴充學生產生數學認知過程的心理結構需求［6］.

下面以“圖形的旋轉”教學為例，力求盡可能體現弗氏“數學現實”“數學化”與“再創造”數學教學思想的精髓.

“圖形的旋轉”是滬科版九年級下冊第一章第一節的內容，雖然學生在小學階段已經接觸過旋轉，但對于旋轉只是初步認識. 現在要求學生能由具體實例認識平面圖形關于旋轉中心的旋轉，并探索其基本性質［1］. 學習“旋轉”，能促進學生體驗到數學與現實生活息息相關，能調動他們的探究欲望. 如果教師只是平平無奇地向學生講授旋轉及其性質，沒有讓學生經歷知識的萌生、發現、形成過程，那么知識只停留在學生從短時記憶進入長時記憶的“中途”，沒能在學生的頭腦中留下深刻的記憶，數學課堂教學的有效性也就無法實現. 因此，教師要將“數學現實”“數學化”與“再創造”教學思想滲透進“圖形的旋轉”教學中，讓學生經歷橫向數學化和縱向數學化兩個階段，即“橫向”應用日常生活中與旋轉有關的實例，“縱向”引導學生一步步經歷抽象幾何圖形并形成概念的過程，從而在這一過程中探索出旋轉的性質，達到“再創造”的目的.

【環節一】創設現實情境：生活中物體的旋轉——數學現實

教師通過多媒體向學生展示日常生活中常見的有關旋轉的實例，如玩具風車、自行車車輪以及時鐘的轉動（如圖2所示），這些都是學生平時所能接觸到的物體的旋轉，能幫助他們感受到數學無處不在.

師：同學們還能想到生活中其他與旋轉有關的例子嗎？（引導學生思考）

生1：我知道！游樂園中摩天輪的轉動，以及電風扇的轉動.

生2：還有汽車方向盤的轉動、指南針……

生3：原來我們生活中有這么多與旋轉相關的物體呀！

設計意圖從學生的生活現實、已有的認知結構出發，創設良好的環境狀態，激發學生的情感動機，讓學生真切感悟到數學與現實生活是自然貼合、密切聯系的，即“現實的數學”. 于學生而言，呈現生活中的情境，把生活中的問題“現實化”，能幫助他們在頭腦中建立新問題與已有認知結構之間的聯系.

【環節二】抽象出圖形的旋轉——數學化

小學階段學生只是了解到一些物體繞著一個點順時針或逆時針運動的現象是旋轉，現在教師要引導學生抽象現實世界中幾何圖形的旋轉，通過觀察具體實例來認識旋轉，并探索其性質.

師：通過這些同學的回答，大家有沒有發現這些圖形的運動有什么共同特點？它們是怎樣轉動的？

生4：它們都是圍繞一個點運動的.

生5：它們是逆時針或順時針繞著一個點轉動一個角度.

師：你們觀察得很仔細！那根據生4和生5的觀點，你們可以嘗試著給旋轉下一個定義嗎？

生6：一個圖形繞著一個定點O轉動一個角度θ，得到另一個圖形的變換就是旋轉.

師：你們認為這個同學說的有道理嗎？

生（齊）：有道理.

師：對，這位同學說得非常好. 我們把其中的定點O稱為旋轉中心，θ稱為旋轉角度.

師：從上面的具體實例中我們認識了旋轉，再繼續觀察，要描述圖形的旋轉，我們需要關注哪些要點？我們任意畫一個△ABC，把它繞著點A旋轉60°，會得到怎樣的結果？

生7：因為旋轉方向不確定，所以我畫出了兩個不同位置的三角形（如圖3所示）.

師：那把△ABC繞著它的頂點順時針旋轉60°，會得到怎樣的結果？

生8：因為旋轉中心不確定，所以我畫出了不同位置的三角形（如圖4所示）.

師：把△ABC繞點A順時針旋轉，又會得到怎樣的結果？

生9：因為旋轉角度不確定，所以可以畫出無數個三角形.

師：那怎樣才能使旋轉后的圖形唯一確定呢？

生10：把△ABC繞點A順時針旋轉60°，這樣就能畫出唯一的三角形了（如圖5所示），所以要確定旋轉中心、旋轉方向與旋轉角度.

師：非常好！旋轉的這三個要素缺一不可，這樣才能讓旋轉后的圖形“唯一確定”.

師：那旋轉后的圖形與原圖形有何關系呢？

設計意圖創造合適的問題串情境，促使學生積極投入解決問題的氛圍中，經歷由生活實物旋轉到數學圖形旋轉的抽象化過程，這樣的設計符合當前知識階段的圖形轉化促使橫向數學化的發生. 接著從中抽象出旋轉的本質屬性，獲得旋轉概念，并借助“問題串”，在理解旋轉概念的同時，明晰“唯一確定性”，從而理解旋轉的三要素，完成縱向的數學化. 最后，由此引起的疑問為學生提供了探究旋轉性質的動機.

【環節三】知識的生成：旋轉的性質——再創造

師：其實研究旋轉前、后兩個圖形的關系就是研究旋轉的性質. 那圖形旋轉具體有哪些性質？

生：……（思維暫時中斷）

師：我們學習平移、軸對稱的性質時，是從哪些角度進行探究的？（通過這樣的類比啟發學生，指引學生找到明確的方向）

生11：可以從點、角和線段出發.

師：生11的思維很敏捷！研究旋轉的性質就是研究這些對應點、對應角、對應線段之間的關系，研究它們在形狀、大小和位置方面有何變化. 下面我們一起觀察△ABC旋轉的過程（如圖6所示）. △ABC繞點O順時針旋轉后得到△A′B′C′，旋轉后得到的△A′B′C′與原△ABC有何關系？OA與OA′、OB與OB′、OC與OC′，以及∠AOA′，∠BOB′，∠COC′分別有什么數量關系？

生12：△ABC和△A′B′C′的形狀和大小都相同，所以△ABC≌△A′B′C′；∠AOA′，∠BOB′，∠COC′都等于旋轉角，所以∠AOA′=∠BOB′=∠COC′；OA與OA′、OB與OB′、OC與OC′的長度也分別相等.

學生利用類比思想方法，探究出了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心連線所成的角等于旋轉角；旋轉中心是唯一不動的點.

設計意圖教師鼓勵學生動手操作三角形旋轉的全過程，又適當啟發學生采用類比思想方法，促使學生獲得真實有效的數學化信息，調動學生的主觀能動性，找出對應點、對應角、對應線段之間的關系，最終探究出旋轉的性質. 在這一教學環節，教師引導學生自主探究，在“再創造”中得到旋轉的性質，充分發揮了學生的主體地位，學生也在此過程中經歷了知識的生成過程.

結束語

“圖形的旋轉”教學過程契合弗氏數學教育理論. 上述案例，從環節一“創設現實情境”，引起學生共鳴；過渡到環節二“抽象出圖形的旋轉（即抽象出數學概念）”，學生經歷了由生活實物旋轉到數學圖形旋轉的抽象化過程，獲得了旋轉的概念，并理解了旋轉的三要素；最后過渡到環節三“知識的生成”，學生在“再創造”中探究出了旋轉的性質. 教師進行教學設計的首要任務是充分利用學生的“數學現實”，從學生當前的數學現實出發，有選擇地向學生提供橫向數學化的合適信息，在教師的指導下，學生組織、探究信息，并進行整合，生成數學知識結構，以達到“再創造”的目的，同時為縱向的數學化提供方法和手段. 簡而言之，數學學習過程就是基于學習者已有的數學知識、領悟與經驗而生成的“再創造”過程［5］. 這個探索過程，不僅能沖破學生思維的消極定式，還能啟發學生“再創造”建構新的數學知識結構，從而促進學生的發展.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］吳開朗，朱茱，許夢日. 論漢斯·弗賴登塔爾的數學教育觀［J］. 數學教育學報，1995（03）：17-21.

［3］張奠宙. 數學教育學［M］. 南昌：江西教育出版社，1991.

［4］弗賴登塔爾. 作為教育任務的數學［M］. 陳昌平，唐瑞芬，等譯. 上海：上海教育出版社，1995.

［5］張昆. 指向以學定教的數學教學設計示例——透過弗賴登塔爾的數學“再創造”教學思想的視點［J］. 中學數學，2018（12）：61-64.

［6］張昆. 實現數學課堂教學有效性的思考——透過弗賴登塔爾的數學“再創造”教學原則的視點［J］.數學教學通訊，2020（09）：5-7.