淺析適切性教學對學生辯證思維能力的培養
——以《解決問題的策略》為例

☉紀 梅

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出，現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，要充分發揮數學在培養人的科學推理和創新思維方面的功能，要著眼于學生的整體素質的提高。發展學生抽象思維和推理能力，培養應用意識和創新意識，在情感、態度與價值觀等方面都要有所發展。培養學生抽象思維和推理能力的數學，要求課程內容要組織處理好過程與結果的關系、直觀與抽象的關系，應該以層次化、多樣化的方式呈現，滿足不同層次學習主體的認知規律。對于小學低段學生而言，其抽象能力還處于萌芽時期，但知識已經向深處延伸，因此根據不同學生知識水平的適切性、層次化，結構性、多樣化設計教學，培養學生辯證思維能力，是筆者從高段轉到低段教學要做的一件事情。實施中可能與教材不同步，可能有學生不理解，但讓學生先期和“辯證思維”這一概念打個招呼，又何嘗不可？

一、適切內容，是培養辯證思維能力的基礎

小學階段的學生進入了“具體運算階段”，皮亞杰的認知理論認為，此階段（6 ～12 歲）的兒童心理操作著眼于抽象概念，心理已接觸但思維活動需要具體內容的支持。我國心理學家林崇德教授從數據顯示的均衡度判斷，12 歲以后是形成辯證思維能力的好時期。作為一線教師，對照義務教育階段教材進行梳理，《解決問題的策略》知識內容具體實施應是在3 ～6 年級。這說明隨著人們生活水平的提高，孩子的智力發育、思維能力較之前統計的年齡有所提早。在日常教學中，如果遇到實際問題，是引導學生用“辯證”的數學思想思考、解決問題，還是尊重教材統一標準，按部就班擱淺這種情況，暫時不進行這種能力培養；或者是參照皮亞杰認知四階段，放寬界限，嘗試感悟、逐漸理解。筆者認為最正確的答案是“學生”，要以學生現實水平為基礎，一切教學內容要“適切”，不能讓孩子吃不飽，又不能讓班級學生兩極分化。最好的結果是愉快的課堂氛圍，全體學生共同進步，否則這種嘗試毫無意義。［1］

（一）厘清《解決問題的策略》知識結構

《義務教育數學課程標準（2022年版）》的印發促使教材改革又進入了一個新的時期，課程標準的變化促進了教育理念的改變。在蘇教版教材《解決問題的策略》中從三年級上冊到六年級下冊分別在四個年級8 個階段實施教學，數學思想從三年級“解決問題”入手到四年級的“整理信息”“對象分類”，再到五年級的“有序思考”“可逆思維”，直至六年級的“替換”“假設”“轉化”等數學思想的知識結構成長。可以看出，教材是從中年級開始部署“策略”教學，這更符合適齡兒童“均衡”教育的指導要求，同時也顯示出“策略”這個知識點是小學生數學思維發展的重要因素。

（二）基于教材，辯證思維能力的適切培養

縱觀蘇教版小學數學《解決問題的策略》，知識結構起于三年級上冊，但實際真正意義上的啟蒙早在一年級上冊，所以教學中，教師要有數學思想培養的意識。

例如一年級《認識10 以內的數》（見圖1），教材只要求學生會按照書中的示意圖說一說誰排在第幾。按照生活習慣，一般是從前往后數，這是課堂引導。但往往有學生從后往前數，教師會判定他數錯了，當場否定了學生的“辯證思維”。如果教師“適切”地肯定兩種數法都正確，但要看清楚問題的要求需要你從前還是從后開始數，才能得到正確答案。這樣，先肯定學生的思維再提出正確的要求，讓學生在經歷數學培養初期就明確知識的靈活性以及答案的相對性，取決于它的前提條件，要有規則意識。

圖1 認識10 以內的數

如果說，這僅僅只是貌似神合，那三年級上冊、下冊對解決問題的策略學習就是有意識地進行辯證思維能力的培養了。蘇教版三年級上冊教材在內容上引導學生“從條件出發分析和解決實際問題”，著手尋找策略；三年級下冊注重培養解決問題策略，引導學生在上冊“從條件入手想策略”轉而到“從問題出發分析和解決實際問題”。這是培養學生在推理思路上既能前行又能后退的辯證能力，讓學生在一步一步體驗中感知數學的價值。當然，前提需要教師在備課中充分體現兩種思維方法的進退自如，相得益彰。適切把教學內容提煉到學生“墊一墊”腳能夠達到的程度，采取看似“矛盾”但實際上互相幫助的方法，在輕松有趣的課堂氛圍中巧妙實施教學內容，完成教學計劃。

二、關系認同，讓辯證思維直觀可見

（一）基本數量關系的認同。解決問題離不開條件中各數量之間關系的分析。教學中引導學生嘗試用各種不同的辦法分析數量之間存在的關系，從起初的直觀線段圖、列表到抽象的數量關系式，讓思維在具象形成時期牢靠、有抓手，等學生把分析、判斷、推理從直觀媒介升華到大腦和抽象關系建立邏輯進而發展成辯證思維能力時，可以說這一知識就有力地夯實在學生的知識庫中了。［2］

從一年級的看圖列式開始，引導學生對數量關系的理解就被提上了日程，這也是在潛移默化培養辯證思維能力。例如，看圖寫出四道算式（見圖2）。在學生說列式的思考過程時，實際上就是他在不自覺中進行了辯證思維。在學習加、減、乘、除法時，對各部分名稱的關系認識只要讓學生記住一條，他就可以根據其中的關系舉一反三，幫助記憶，加深理解。例如，加數＋加數＝和，和－加數＝另一個加數；被減數－減數＝差，差+減數＝被減數；乘數×乘數＝積，積÷乘數＝另一個乘數；被除數÷除數＝商，商×除數＝被除數。這種有關系的數量一組一組呈現，就是學生建立辯證思維的時期，也是培養學生數學學科素養的時期。教師要適切把握教學機會，舉一反三，達到事半功倍效果。

圖2 10 以內的加減法

隨著教材的深化，解決問題的策略知識結構日益豐富了學生解決問題的經驗。例如，在三年級下冊《解決問題的策略》單元，學生在遇到問題：“上衣的價格是褲子的3 倍，買一套衣服要多少元？”學生可以采用教材“畫線段圖”的方法解決問題。此時，要幫助學生理解3 倍的概念，同時基于之前教學中遇到的學生錯把3 倍畫2 段的情況，教學中筆者會著重引導學生分清上衣和褲子是1 段還是3 段，是1 倍和3 倍的關系，讓學生不會錯在兩步計算的第一步上；更重要的是幫助學生解決“買一套衣服多少元”的問題，既可以看成是褲子的價格加上衣的價格，還要有思維的高度，即要想到“4 個上衣的價格就是一套衣服的價格”。

（二）復合相差關系的辨識。隨著教材的深入，解決問題的策略逐步復雜。蘇教版四年級上冊通過列表的策略整理條件和問題，這是由兩步計算向三步計算解決實際問題的過渡內容。例如，學生在條件逐漸變化時，對數量關系的把握也變得模糊不確定（見圖3）。在此例題中，怎樣根據題目中相關信息求出每小時放水多少厘米是解決問題的關鍵。在看似模糊的信息條件中，從變化中尋找不變的過程是解決問題重要突破口，更是學生尋找信息間對應關系的重要步驟。基于三年級的畫線段圖解決問題、四年級列表解決實際問題這樣的思維鋪墊，引導并培養學生的思維從能選擇一個條件后根據不同方向從一個角度（每2 小時水位下降12 厘米）將復合相差關系的內在變換路徑認識清楚。在解決變化多樣、關系復雜的實際問題中，學生在梳理、篩選、收集信息、提取條件過程中，思維的辨識得到了鍛煉和提高。

圖3 列表整理條件解決問題

三、概念理解，需要辯證思維助力賦能

蘇教版教材為三至六年級《解決問題的策略》中設有專門單元，這是培養學生提取信息、分析問題、提煉關系的專項研究。除此之外，筆者在日常教學中把這種辯證思維不按常理地經常出現在其他知識點教學中，實踐證明知識無邊界。［3］

例如三年級上冊《分數概念》的教學，筆者在備課中認為這是學生辯證思維能力建立的好時期。在學習“幾分之一”的基礎上進而進行異分母分數大小的比較：比，學生理解程度參差不齊。這是因為剛剛八九歲的孩子對于分數的認識尚建立在直觀表現的理解上，需依托圖片建立“同樣大的圓紙片，平均分的份數越多，每一份就越小”的眼看為實基礎上。學生從參照紙片分析到直觀想象，對同一個圓平均分出不同的份數進而得到不同的分數。這一刻，學生仿佛都能輕松比較分子是1、分母不同、分母越大這個分數反而越小的情況，如＞。由于眼中所見，手中所拿，帶來較好的課堂效果，讓學生舉例說明，全班同學基本都能脫口而出。繼而，學習幾分之幾，同分母分數比大小，同樣采取先實際操作，并借助直觀圖片幫助學生理解，同樣大的紙張平均分成相同的份數，當然是涂色的份數越多，這個分數就越大。學生也很快在紙張中找出分母是4 的分數，例如、，并且基本上全班學生都能很快比較出＜，課堂形勢一片大好。

這堂課是不是就成功了呢？學生對分數的知識通過比大小就掌握了呢？隨著異分母分數與同分母分數的同時出現，學生對此卻產生了視覺模糊，比大小的立場也不再堅定，脫口而出的學生明顯變少了。這是為什么？以往的教學，我們注重培養學生的邏輯思維能力，學生通過觀察、比較、順勢推理來獲得對知識的理解，仿佛順理成章，水到渠成。但當、、同時出現比較大小時，學生的知識產生了碰撞，思維變得模糊，判斷結果也不容樂觀。

離開具象參考，分數的概念在抽象思維中一下子理不清頭緒了。筆者從作業頻繁擦改中感知，學生應處在模棱兩可的知識辨別中，而這時學生的辯證思維能力也正在漸漸產生。此刻，知識的碰撞產生了火花。教師抓住機會，把兩種形同、類似的分數通過材料的辨析比較、提煉抽取、歸納概括，幫助學生再次感知“分數”的概念過程。這個過程可能會很花時間，但幫助了學生對分數概念內涵的深挖理解，提升了比較、分類的辯證思維能力。此時，學生的語言表達是建立在分析、理解基礎上，而不再是根據邏輯順序推敲得來的了。

以目前三年級的學生為例，能厘清加減乘除算式中藏有幾組可以通過“關系”變化的算式；能在解決問題找策略時首先想對應的數量關系式，知道有序、列舉，倒推、逆向思維，能夠客觀辯證地思考，解決問題。基于班情，筆者在以后的每一節數學課都適切性放手，讓大膽、有眼界的孩子們在已有知識、經驗和方法的基礎上去探索、去創造屬于他們自己的數學世界。

數學是人類文化的重要組成部分，數學素養是學生所應具備的基本素養。課堂既要培養學生掌握現代化生活和學習中所需要的數學知識和技能，更要發揮數學在培養人的理性思維和創新能力中不可替代的作用。而辯證思維在創新能力中具有不可替代的突破、提升作用，這需要我們一線教師在每日的課堂教學中適切地把握教材培養學生，要把他們看成“小大人”，時不時用數學專業語言熏陶課堂。久而久之，課堂上“小學者”們的思維將盡顯“水平”。