從2022年高考試題看數學教材題源的使用途徑

黃國穩　黎福慶

【摘要】本文分析2022年高考全國甲卷數學理科卷試題與教材題源的關聯，論述教師用好教材題源的途徑：改變題源的條件、問題，或將題源的條件和結論互換，將題源中的結論進行遷移應用，歸納同類題找解題規律，深挖題源背景以發揮其育人功能。

【關鍵詞】教材題源 高考試題 試題改編

【中圖分類號】G63 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）14-0051-04

數學教材是教師實施教學和學生學習的主要材料，也是發展數學學科核心素養的重要載體。本文論述的教材題源，指的是課本中的典型例題、習題及閱讀材料中的相關題目。筆者通過分析2022年高考全國甲卷數學理科卷試題與教材題源的關聯性，論述在日常教學中用好教材題源的策略。

鄧軍民在《基于數學核心素養的題源教學法研究》一書中提到，“根據創造學理論，任何一個數學問題都包括‘結構‘關系‘順序三個部分，這三部分并不是獨立的，而是相互聯系，形成有機整體。只要對其中部分進行改變，都能產生新的問題”。我們通過分析高考真題與教材題源關聯性可知，將教材題源改編為試題的主要途徑有：改變題目中的條件、將條件和結論調換、引申推廣進行深度的變形。下面筆者結合具體例題詳細闡述在高中數學教學中用好教材題源的策略。

一、改變題目的條件

根據數學問題的結構特征，教師可以通過改變題目的條件進而引申出新的問題。改變條件的途徑很多，既可以進行淺層的改變，如單一的橫向變化，又可以進行深層的改變，如通過升維或降維、強抽象或弱抽象，或將幾個問題進行重組等。

（一）將條件進行淺層的改變

將條件進行淺層的改變就是從某個角度出發從整體上將題目的條件進行改變，比如改變考查三角函數的題目中的函數類型、改變考查圓錐曲線的題目中的曲線類型等。

五、歸納同類題找規律

奧蘇貝爾（Ausubel）提出的有意義學習理論認為，新舊知識聯系的性質既受學習者原有知識背景的影響，也受要學習的材料本身的性質的制約。可見，學習材料在學習過程中有著重要的作用，學習材料的呈現方式也會影響學生對知識的理解。教師科學有效地組織材料并將其呈現出來，有利于學生在掌握基本知識的同時理解知識的內在邏輯關系，從而使學生明晰知識間的聯系，形成相對穩定的知識網絡。要想科學有效地組織材料，教師要考慮材料的外部結構、內部結構以及它們與學生認知結構的適配性等。不少教材題源具有相同的結構，但是它們分布在不同的板塊中，教師可以整合這些同類結構題，在備考復習中引導學生找出題目的共性，進而抓住解題規律，或是發現題目之間的區別，在比較中厘清數學知識之間的關系。

比如，在教學橢圓的過程中，教師整合教材中的例題、習題以及閱讀材料，將形成橢圓的九種途徑串在一起，讓學生建立全面的知識結構，同時掌握求曲線軌跡的方法。

（一）用直接法求動點的軌跡方程

解答上文提到的例3時，設點M的坐標為（x，y），可用含x，y的式子表示距離，從而得出x，y的關系。

（二）用相關點法求動點軌跡方程

例10（人教A版數學教材必修2第124頁B組第2題）長為2a的線段的兩個端點在x軸和y軸上移動，求線段AB的中點M的軌跡方程。

例11（人教A版數學教材選擇性必修第一冊第108頁例2）在圓x2+y2=4上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足。當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？（當點P經過圓與x軸的交點時，規定點M與點P重合。）

例12（人教A版數學教材選擇性必修第一冊第115頁第9題）在圓x2+y2=4上任取一點P作x軸的垂線段PD，D為垂足，點M在DP的延長線上，且[|DM||DP|=32]，求點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀。

上述例題是點P運動引起點M運動，可以建立點M與點P的坐標關系，由點P的坐標滿足圓的方程，即可得到點M的軌跡方程。

（三）用定義法求動點的軌跡方程

例13（人教A版數學教材選擇性必修第一冊第115頁第10題）一個動圓與圓[x2+y2+6x+5=0]外切，同時與圓[x2+y2-][6x-91=0]內切，求動圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么曲線。

例14（人教A版數學教材選修2-1第43頁）用一個與圓柱母線斜交的平面截圓柱，得到一條截口曲線，你能仿照上述方法，證明截口曲線也是橢圓嗎？

上述兩道例題均可以利用橢圓的定義求解。

此外，教師還可以歸類整理函數板塊中的比較大小問題，形成比較大小的微專題。

六、深挖題目背景發揮育人功能

教材題源是專家精心編制的成果，有些題考查知識體系中的必備知識，有些題是數學發展史上的經典問題，有些題考查跨學科知識。在教學中，教師要充分挖掘這些題源的背景，尋找問題背后的故事，讓學生在解題過程中感受知識的發生、發展過程，從而發揮題目的育人功能。

例如人教A版數學教材必修2第30頁中的閱讀材料提及《九章算術》，其中記載了我國古代數學家祖暅在計算球的體積時使用的一個原理：冪勢既同，則積不容異。這就是祖暅原理，其含義為：兩個同高的幾何體，如在等高處的截面的面積相等，則它們的體積相等。祖暅提出上面的原理，要比其他國家數學家早一千多年。以此為背景的題目比比皆是，教師可以引導學生了解這些文化背景，堅定文化自信。

又如人教A版數學教材選修2-3第32頁“‘楊輝三角與二項式系數的性質”談及我國南宋數學家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》，其中提到：表里“一”以外的每一個數都是等于它肩上兩個數的和。這個方法的發現要比歐洲早五百年左右。由此可見，我國古代數學的成就是偉大的，非常值得我們自豪。教材上類似這樣的素材有很多，需要教師深入挖掘、收集和整理。

綜上所述，教師可以在研究高考真題與教材題源關聯性的基礎上，從改變題源的條件、問題，將題源的條件和結論互換、將題源中的結論進行遷移應用，歸納同類題，以及深挖題源背景等方面入手，充分發揮教材題源鞏固所學、拓展遷移的作用，幫助學生高效備考的同時，培養學生發現問題、提出問題和解決問題的能力，使學生在掌握知識的過程中獲得數學思想方法，獲得進一步學習以及未來發展所必需的“四能”。

參考文獻

［1］鄧軍民.基于數學核心素養的題源教學法研究［M］.長春：東北師范大學出版社，2020.

［2］陳真麗，周瑩，陳基河.基于高考評價體系的高考數學試題分析：以2021年新高考Ⅰ卷為例［J］.理科考試研究·數學版，2022（4）.

［3］林晴嵐，陳柳娟，張潔.探尋高考試題之源，找準復習目標回歸教材［J］.中國數學教育，2017（12）.

［4］董成勇，劉志華.深研課本習題提升數學素養［J］.高中數學教與學，2021（13）.

［5］蔣永鴻.基于高考復習視角下的課本題研究［J］.數學教學研究，2018（2）.

［6］周永興.從課本題到高考題［J］.數理化解題研究，2018（13）.

注：本文系南寧市教育科學“十四五”規劃2022年度課題“以課本題為生長點的深度學習策略與案例研究”（2022C395）、南寧市教育科學“強基計劃拔尖人才培養”專項課題“強基計劃背景下培養高中數學競賽拔尖創新人才的實踐研究”（2021QJ002）的研究成果。