基于粒子群優(yōu)化算法的天然河道縱向離散系數(shù)估計

賀偉　荊平飛　楊輝　趙勇

摘要：明晰縱向離散系數(shù)對于研究河流污染物的遷移至關重要，目前學者對此已經(jīng)提出了許多經(jīng)驗公式和理論公式，但是計算結果準確性并不高。基于收集的縱向離散系數(shù)實測值及對應的河道水文數(shù)據(jù)與河道形態(tài)數(shù)據(jù)，通過對縱向離散系數(shù)計算準確度和計算值與實測值的相關性雙重目標的加權組合，采用粒子群優(yōu)化算法（一種數(shù)據(jù)驅動的算法）對加權組合后的目標函數(shù)進行優(yōu)化，從而獲得了縱向離散系數(shù)一般表達式中的待定系數(shù)，最終提出了具有高準確度和高相關性的天然河道縱向離散系數(shù)計算公式。驗證結果表明：該公式能夠適用于縱向離散系數(shù)在0～100 m2/s之間的常見天然河道的縱向離散系數(shù)估計。

關 鍵 詞：環(huán)境水力學； 縱向離散系數(shù)； 粒子群優(yōu)化算法； 經(jīng)驗公式； 天然河流

中圖法分類號： TV124 文獻標志碼： ADOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2023.06.024

0 引 言

近年來河流水污染及其治理成為了人們日益關注的問題。明晰污染物入河遷移擴散的機理是進行河流水污染治理的基礎和前提。根據(jù)相關研究可知，進入河流的污染物會經(jīng)歷垂向混合、橫向混合以及縱向混合3個階段［1］。污染物的縱向混合階段是進行水質模型建模的關鍵，這一階段被稱為污染物的縱向離散［2］。縱向離散的本質是，時均流速沿橫向或者垂向分布的不均勻性導致了污染物云團在縱向上的傳播比在均勻流速的水體中更快［3］。在一維水質模型中，縱向離散采用縱向離散系數(shù)進行量化。縱向離散系數(shù)的確定方法主要有理論公式法、經(jīng)驗公式法和示蹤實驗法［4］。

Fischer等［5］給出了計算縱向離散系數(shù)的理論公式：

式中：K為縱向離散系數(shù)；A為斷面面積；W為水面寬度；H為水深；y為橫向位置坐標；u為水深平均的縱向流速；U為斷面平均流速；εt為橫向混合系數(shù)。

然而，式（1）需要的縱向流速橫向分布數(shù)據(jù)在實際中較難獲取，這是采用理論公式法計算縱向離散系數(shù)的難點。為此，許多學者通過研究給出了縱向流速的橫向分布經(jīng)驗公式，如Sooky［6］提出的對數(shù)和線性函數(shù)結合的經(jīng)驗公式、Seo等［7］提出的四次多項式和指數(shù)函數(shù)結合的經(jīng)驗公式、Deng等［8］提出的冪函數(shù)形式的經(jīng)驗公式等。學者們依照不同的流速公式代入式（1），得到了適用于不同情況下的縱向離散系數(shù)公式，如陳永燦等［9］、Zhong等［10］推導出的適用于冰封河道的縱向離散系數(shù)公式，張文俊等［11］推導出的阻力線性化條件下的縱向離散系數(shù)公式，Wang等［12］推導出的適用于順直天然河道的縱向離散系數(shù)公式，Zhang等［13］提出的適用于水草覆蓋的河道縱向離散系數(shù)公式等。但是，由于經(jīng)驗公式是一種對實際物理規(guī)律的近似處理，且每個經(jīng)驗公式都有其適用范圍，因此采用理論公式法計算縱向離散系數(shù)的實際應用并不多見。

示蹤實驗法則是在研究河段上游投放示蹤劑，并在下游進行示蹤劑濃度的監(jiān)測，根據(jù)實驗信息和濃度數(shù)據(jù)，基于一維對流擴散方程或其解析解進行縱向離散系數(shù)的反演。這是典型的環(huán)境水力學參數(shù)反演問題［14］。對于穩(wěn)態(tài)流動，通常用一維對流擴散方程描述污染物遷移擴散的規(guī)律，具體形式如下：

式中：C是污染物的斷面平均濃度；t是時間；x是沿流向的坐標。

針對這類參數(shù)反演問題，需要開發(fā)相應的反演算法。許多學者在反演算法上做出了貢獻，如Fischer等［15］提出的演算法、郭建青等［16］提出的相關系數(shù)極值法、張娟娟等［17］提出的快速模擬退火算法、楊雙等［18］提出的分位數(shù)回歸法、楊中華等［19］提出的伴隨同化法等。示蹤實驗法計算得到的縱向離散系數(shù)精度較高，但是由于示蹤實驗難度大、成本高、耗時久，且結果僅適用于做實驗的研究河段，因此示蹤實驗法在中國的河流縱向離散系數(shù)確定中應用較少。

經(jīng)驗公式法則是利用河流的水力和幾何參數(shù)，如河道的寬度、水深、平均流速、剪切流速、蜿蜒程度、能坡等，在大量的實驗和現(xiàn)場測量數(shù)據(jù)的基礎上確定天然河流縱向離散系數(shù)的經(jīng)驗性公式［20］。許多學者利用數(shù)據(jù)分析方法給出了相應的經(jīng)驗公式（見表1）［5，7，21-27］。這些經(jīng)驗公式所需要的參數(shù)都可以很容易地從水文站點獲取或直接測量得到，且只需要簡單計算即可得到粗略的縱向離散系數(shù)值，因此相較于示蹤實驗方法易于實現(xiàn)，在中國的工程實踐中較多采用。

本文根據(jù)Nezaratian等［2］整理收集的來自全世界范圍內不同河流的水力和幾何參數(shù)，以及對應的縱向離散系數(shù)的實測值，組成共164組數(shù)據(jù)（見附表 1）的數(shù)據(jù)集，采用粒子群優(yōu)化算法對數(shù)據(jù)進行分析，提出了一個新的縱向離散系數(shù)經(jīng)驗公式。最后，將所提出公式與已有的代表性經(jīng)驗公式進行比較，證明所提縱向離散系數(shù)估算公式的優(yōu)越性。

1 方 法

1.1 公式基本形式

依據(jù)量綱分析的原理［26］，本次研究選取了水面寬度W、水深H，斷面平均流速U、剪切流速U*等參數(shù)作為縱向離散系數(shù)經(jīng)驗公式的組成參數(shù)；根據(jù)Taylor［28］提出的剪切離散理論，并結合表 1中現(xiàn)有的縱向離散系數(shù)代表性經(jīng)驗公式的具體形式，本文選取的縱向離散系數(shù)的一般表達式如下［29］：

式中：a，b，c均為常數(shù)，可以根據(jù)搜集的數(shù)據(jù)集進行率定。W/H和U/U*分別是表征河道幾何形態(tài)和水力學特征的無量綱量，HU*的量綱為L2/T，與縱向離散系數(shù)K量綱相同，也就是說式（3）保證了縱向離散系數(shù)具有正確的量綱。

1.2 粒子群優(yōu)化算法

為了獲得以上縱向離散系數(shù)經(jīng)驗公式中的3個未知常數(shù)a，b，c，本次研究以水面寬度W、水深H、斷面平均流速U、剪切流速U*為自變量，以縱向離散系數(shù)K為因變量，采用粒子群優(yōu)化算法［30］對3個未知常數(shù)a，b，c進行調整優(yōu)化。該算法具有收斂速度快、參數(shù)少、易于實現(xiàn)、天然可以并行計算等優(yōu)點，對于解決多參數(shù)優(yōu)化問題具有較大優(yōu)勢［31］。

圖2和圖3則分別展示了縱向離散系數(shù)實測值與估計值的對比圖以及解的擬合情況。從圖2中可以看出：采用式（11）得到的縱向離散系數(shù)估計值與實測值基本吻合；當縱向離散系數(shù)小于200 m2/s時，縱向離散系數(shù)實測值與估計值組成的點對均勻地分布在1∶1線的兩側，但是當縱向離散系數(shù)大于200 m2/s時，采用式（11）得到的縱向離散系數(shù)估計值比實測值小，在圖中表現(xiàn)為點跡均落在1∶1線以下。這是由于本次研究在目標函數(shù)的設定上平衡了準確度和相關性，放棄了對數(shù)據(jù)集中極值的擬合，所以本次研究提出的公式（11）只適用于縱向離散系數(shù)小于200 m2/s的情況。圖 3中的縱向離散系數(shù)估計值序列與實測值序列的相關系數(shù)為0.876，準確度為51.2%。結合以往的文獻［2］，本次研究得到的公式（11）是一個較為優(yōu)越的公式。

為了進一步說明公式（11）的優(yōu)越性，選取表1中所列的經(jīng)驗公式，采用第二節(jié)中給出的模型驗證評估指標對公式（11）和以前學者提出的公式進行評估，具體結果見表2。由表2可知：天然河道縱向離散系數(shù)經(jīng)驗公式計算精度普遍不高，各個公式的準確度最高的為式⑨，有著54.9%的準確度；準確度第二高的為本文提出的公式（11），有著51.2%的準確度。相關系數(shù)最大的是公式（11），有著0.876的相關系數(shù)，表明該公式可以很好地估計變化河道形態(tài)和水文條件下的縱向離散系數(shù)的變化趨勢；相關系數(shù)第二大的是式④，有著0.874的相關系數(shù)。從均方根誤差來看，式⑧擁有最小的均方根誤差0.506，其次是式⑦，有著0.543的均方根誤差。

考慮到均方根誤差容易受到極端值的影響，本次研究將準確度（Accuracy）和相關系數(shù)（CC）組合成新的評價指標，即前文中提到的目標函數(shù)J，以此來對每個公式進行綜合評價。目標函數(shù)值最大的也是本次研究提出的公式（11），有著0.694的目標函數(shù)值，表明該公式在縱向離散系數(shù)估計準確度與相關性上具有最佳性能；第二大的是式⑧，有著0.680的目標函數(shù)值。從表2中還可以得到：式⑤的性能是最差的，但是考慮到該公式主要是基于長江流域三峽庫區(qū)的數(shù)據(jù)得到的，因此該公式在三峽庫區(qū)的縱向離散系數(shù)計算中較有優(yōu)勢，而在其他河流的縱向離散系數(shù)計算中不適用。公式（11）與以前的學者提出的式④、式⑦、式⑧、式⑨均有著較好的性能，均可被采用為估計縱向離散系數(shù)的經(jīng)驗公式，但是推薦采用公式（11），因為該公式最大限度地保證了精度和與實測值的良好相關性。

4 討 論

在采用的數(shù)據(jù)集中，縱向離散系數(shù)的取值范圍主要在0～100 m2/s之間。在該范圍內的數(shù)據(jù)個數(shù)為136個，約占整個數(shù)據(jù)集的83%。為了進一步獲得更高的計算精度，本文采用粒子群優(yōu)化算法針對縱向離散系數(shù)在0～100 m2/s之間的共計136個數(shù)據(jù)進行重新擬合計算，得到了公式（12）。

圖4展示了縱向離散系數(shù)實測值與采用公式（12）得到的計算值的對比圖。從圖4中可以看出，縱向離散系數(shù)實測值與估計值組成的點對均勻地分布在1∶1線的兩側，說明采用公式（12）基本能夠較為準確地計算出縱向離散系數(shù)的實際大小。

采用模型驗證評估參數(shù)對公式（12）和性能較為優(yōu)越的代表性經(jīng)驗公式④、⑦、⑧、⑨進行評估，具體結果見表3。

由表3可知，由于公式（12）采用的數(shù)據(jù)集相比較公式（11）更具有針對性，因此擬合精度也更高。表中公式（12）具有最高的計算精度和最高的相關性，其高精度說明了采用公式（12）進行0～100 m2/s之間范圍的縱向離散系數(shù)經(jīng)驗公式擬合具有最佳性能。造成這一結果的原因是本次研究進行經(jīng)驗公式擬合時，設定的目標函數(shù)考慮了計算精度與擬合相關性雙重目標。對比其他公式的結果，也說明了采用經(jīng)驗公式進行縱向離散系數(shù)計算時要注意公式的適用范圍。

5 結 論

根據(jù)前人研究給出的縱向離散系估計的代表性經(jīng)驗公式形式，利用收集的天然河道形態(tài)、水文數(shù)據(jù)以及實測的縱向離散系數(shù)構成的數(shù)據(jù)集，構建了綜合考慮縱向離散系數(shù)估計準確度和估計結果與實測值相關性的目標函數(shù)，采用粒子群優(yōu)化算法對代表性經(jīng)驗公式中的3個待定參數(shù)進行了率定，并將本次研究提出的縱向離散系數(shù)經(jīng)驗公式與前人提出的經(jīng)驗公式進行性能的比較，總結出如下結論：

（1） 天然河道的縱向離散系數(shù)經(jīng)驗公式計算精度和相關性普遍不高。

（2） 由于考慮了計算精度與相關性雙重目標，采用本次研究提出的方法所獲得的經(jīng)驗公式具有較高的精度和較好的相關性，具有實際應用價值。

（3） 本次研究提出的經(jīng)驗公式（12）僅適用于縱向離散系數(shù)在0～100 m2/s之間的情況。

（4） 采用粒子群優(yōu)化算法獲得縱向離散系數(shù)經(jīng)驗公式是完全可行的，同時對于目標函數(shù)的設定可以考慮多個目標，這為今后縱向離散系數(shù)經(jīng)驗公式的參數(shù)率定提供了新的思路。

參考文獻：

［1］JIRKA G H.Mixing and dispersion in rivers［M］.London：Balkema Publishers，2004：13-27.

［2］NEZARATIAN H，ZAHIRI J，KASHEFIPOUR S M.Sensitivity analysis of empirical and data-driven models on longitudinal dispersion coefficient in streams［J］.Environmental Processes，2018，5（4）：833-858.

［3］槐文信，楊中華，曾玉紅.環(huán)境水力學基礎［M］.武漢：武漢大學出版社，2014.

［4］薛紅琴，趙塵，劉曉東，等.確定天然河流縱向離散系數(shù)的有限差分-單純形法［J］.解放軍理工大學學報（自然科學版），2012，13（2）：214-218.

［5］FISCHER H B.The mechanics of dispersion in natural streams［J］.Journal of the Hydraulics Division，1967，93（6）：187-216.

［6］SOOKY A A.Longitudinal dispersion in open channels［J］.Journal of the Hydraulics Division，1969，95（4）：1327-1346.

［7］SEO I W，CHEONG T S.Predicting longitudinal dispersion coefficient in natural streams［J］.Journal of Hydraulic Engineering，1998，124（1）：25-32.

［8］DENG Z Q，BENGTSSON L，SINGH V P，et al.Longitudinal dispersion coefficient in single-channel streams［J］.Journal of Hydraulic Engineering，2002，128（10）：901-916.

［9］陳永燦，王志剛，朱德軍，等.冰封河道縱向離散系數(shù)計算研究［J］.水力發(fā)電學報，2012，31（5）：173-177.

［10］ZHONG Y，HUAI W，WANG Y，et al.Estimation of longitudinal dispersion coefficient in ice-covered rivers［J］.Journal of Hydraulic Engineering，2018，144（6）：04018026.

［11］張文俊，胡煜，任華堂，等.阻力線性化條件下縱向離散系數(shù)的半解析解法［J］.人民黃河，2018，40（5）：73-77.

［12］WANG Y，HUAI W.Estimating the longitudinal dispersion coefficient in straight natural rivers［J］.Journal of Hydraulic Engineering，2016，142（11）：04016048.

［13］ZHANG J，HUAI W X，SHI H R，et al.Estimation of the longitudinal dispersion coefficient using a two-zone model in a channel partially covered with artificial emergent vegetation［J］.Environmental Fluid Mechanics，2021，21（1）：155-175.

［14］劉曉東，姚琪，薛紅琴，等.環(huán)境水力學反問題研究進展［J］.水科學進展，2009，20（6）：885-893.

［15］FISCHER H B，LIST J E，KOH C R，et al.Mixing in inland and coastal waters［M］.New York：Academic Press，1979.

［16］郭建青，王洪勝，李云峰.確定河流縱向離散系數(shù)的相關系數(shù)極值法［J］.水科學進展，2000（4）：387-391.

［17］張娟娟，萬偉鋒.確定河流縱向離散系數(shù)的快速SA法［J］.地下水，2005（5）：80-82.

［18］楊雙，楊海東，王卓民，等.確定河渠縱向離散系數(shù)的分位數(shù)回歸法［J］.南水北調與水利科技，2014，12（5）：63-66，76.

［19］楊中華，周武剛，白鳳朋，等.基于伴隨同化法的一維河流水質模型參數(shù)反演［J］.應用基礎與工程科學學報，2018，26（2）：276-284.

［20］ALIZADEH M J，AHMADYAR D，AFGHANTOLOEE A.Improvement on the existing equations for predicting longitudinal dispersion coefficient［J］.Water Resources Management，2017，31（6）：1777-1794.

［21］ELDER J.The dispersion of marked fluid in turbulent shear flow［J］.Journal of Fluid Mechanics，1959，5（4）：544-560.

［22］LIU H.Predicting dispersion coefficient of streams［J］.Journal of the Environmental Engineering Division，1977，103（1）：59-69.

［23］李錦秀，黃真理.三峽庫區(qū)江段縱向離散系數(shù)研究［J］.水利學報，2000（8）：84-87.

［24］鄧志強，褚君達.河流縱向分散系數(shù)研究［J］.水科學進展，2001（2）：137-142.

［25］LI X，LIU H，YIN M.Differential evolution for prediction of longitudinal dispersion coefficients in natural streams［J］.Water Resources Management，2013，27（15）：5245-5260.

［26］ZENG Y H，HUAI W X.Estimation of longitudinal dispersion coefficient in rivers［J］.Journal of Hydro-environment Research，2014，8（1）：2-8.

［27］SAHIN S.An empirical approach for determining longitudinal dispersion coefficients in rivers［J］.Environmental Processes，2014，1（3）：277-285.

［28］TAYLOR G I.The dispersion of matter in turbulent flow through a pipe［J］.Mathematical and Physical Sciences，1954，223（1155）：446-468.

［29］顧莉，華祖林.天然河流縱向離散系數(shù)確定方法的研究進展［J］.水利水電科技進展，2007（2）：85-89.

［30］KENNEDY J，EBERHART R.Particle swarm optimization［M］.New York：IEEE，1995.

［31］JAIN N，NANGIA U，JAIN J.A review of particle swarm optimization［J］.Journal of The Institution of Engineers（India）：Series B，2018，99（4）：407-411.

（編輯：胡旭東）

Estimation of natural river longitudinal dispersion coefficient based on particle swarm optimization algorithm

HE Wei1，JING Pingfei2，YANG Hui1，ZHAO Yong1

（1.Hunan Wuling Electric Power Technology Co.，Ltd.，Changsha 410029，China； 2.Changjiang Survey，Planning，Design and Research Co.，Ltd.，Wuhan 430010，China）

Abstract： The longitudinal dispersion coefficient is very important for studying the migration of river pollutants.At present，scholars have put forward many empirical formulas and theoretical formulas，but the accuracies of the calculation results are not high.In this paper，based on the measured values of the longitudinal dispersion coefficient and the corresponding river hydrological data and river morphology data，through the weighted combination of the dual objectives of the calculation accuracy of the longitudinal dispersion coefficient and the correlation between the calculated value and the measured value，the particle swarm optimization algorithm（ a data-driven algorithm ） was used to optimize the objective function after the weighted combination，so as to obtain the undetermined coefficients in the general expression of the longitudinal dispersion coefficient.Finally，a new natural river longitudinal dispersion coefficient calculation formula with high accuracy and high correlation was proposed.The verification results showed that the formula can be applied to the longitudinal dispersion coefficient estimation of common natural rivers with longitudinal dispersion coefficient between 0 and 100 m2/s.

Key words： environmental hydraulics；longitudinal dispersion coefficient；particle swarm optimization algorithm；empirical formula；natural river

收稿日期：2022-11-29

基金項目：國家重點研發(fā)計劃項目“大型水庫群汛期運行水位動態(tài)控制與洪水資源化應用示范”（2022YFC3202805）

作者簡介：賀 偉，男，工程師，主要從事水電站水情自動測報系統(tǒng)研究。E-mail：hewei757@163.com

通信作者：荊平飛，男，工程師，博士，主要從事環(huán)境水力學反問題研究。E-mail：pfjing@whu.edu.cn