基于連續(xù)滑模控制的水下無(wú)人航行器航向跟蹤研究

楊晨宇，劉 丹，劉 璐，王永華，齊向東，劉雙峰，薛晨陽(yáng)

(中北大學(xué) 儀器科學(xué)與動(dòng)態(tài)測(cè)試教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 山西 太原 030051)

0 引 言

水下無(wú)人航行器（UUA）自主、智能、靈活且能長(zhǎng)時(shí)間工作需要具備良好的控制性能，。但是因?yàn)樗颅h(huán)境復(fù)雜，水流多變，干擾不可控制，航向穩(wěn)定性及其精度無(wú)法得到保證仍是一個(gè)需要解決的問(wèn)題。

目前實(shí)現(xiàn)UUA 向控制的主要方法包括PID 控制、反步法控制、模糊控制及滑模控制等[1]。PID 控制算法較為簡(jiǎn)便且控制性能較強(qiáng)，在航向控制方面受到廣泛應(yīng)用。但對(duì)于模型復(fù)雜的控制對(duì)象而言，PID 控制無(wú)法滿足其設(shè)計(jì)需求，通常需要與其他的控制方法相結(jié)合來(lái)實(shí)現(xiàn)較復(fù)雜系統(tǒng)的控制，這會(huì)使得其設(shè)計(jì)變得更為復(fù)雜[2]。反步法控制的本質(zhì)是先拆分，再集成，其主要思想是將高復(fù)雜度、高階數(shù)的非線性系統(tǒng)逐一拆分成若干個(gè)低階數(shù)子系統(tǒng)，再根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性原理對(duì)每個(gè)子系統(tǒng)分別設(shè)計(jì)模擬控制量，再將各部分子系統(tǒng)集成，最終實(shí)現(xiàn)總體系統(tǒng)控制[3]。該方法針對(duì)模型較為簡(jiǎn)單的系統(tǒng)設(shè)計(jì)精確，而且當(dāng)系統(tǒng)存在不確定項(xiàng)時(shí)，可以放寬匹配條件。但是設(shè)計(jì)過(guò)程較為繁瑣，在航向控制問(wèn)題中，系統(tǒng)控制量求解時(shí)隨著系統(tǒng)階數(shù)的增加，微分計(jì)算越來(lái)越復(fù)雜，較難在實(shí)際控制中應(yīng)用。模糊控制方法是一種借助模糊規(guī)則和論域分割來(lái)實(shí)現(xiàn)將復(fù)雜系統(tǒng)簡(jiǎn)單化的控制方法，其不完全依賴于系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，從而具有較強(qiáng)魯棒性[4]，但由于模糊控制自身局限性，難以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析及整體化設(shè)計(jì)，使得無(wú)法精確控制系統(tǒng)，使得其動(dòng)態(tài)品質(zhì)變差。

滑模控制相較于其他控制方法而言，其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可以根據(jù)當(dāng)前的狀態(tài)有針對(duì)性地不斷優(yōu)化，且其對(duì)外界干擾及模型參數(shù)變化不敏感，從而表現(xiàn)出較強(qiáng)的自適應(yīng)能力和魯棒性[5]。基于上述，本文采用滑模控制方法，在模糊運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，采用干擾觀測(cè)器模擬外界干擾，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行干擾補(bǔ)償，結(jié)合連續(xù)滑模控制器實(shí)現(xiàn)水下無(wú)人航行器的航向跟蹤。

1 水下無(wú)人航行器建模

1.1 坐標(biāo)系構(gòu)建

UUV 的空間運(yùn)動(dòng)分解成兩部分，第1 部分忽略其形變將其看成在空間中運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，第2 部分為UUA 自身繞重心定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。此次建模主要應(yīng)用了地面坐標(biāo)系[6]（固定坐標(biāo)系）和潛航器坐標(biāo)系（運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系）對(duì)其空間運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析。

為了分析UUV 在整個(gè)空間中的運(yùn)動(dòng)，首先建立一個(gè)地面坐標(biāo)系。在地面適合處選擇固定點(diǎn)E 將其設(shè)置為坐標(biāo)原點(diǎn)，ζ軸垂直于水平面向下，稱為鉛垂軸；ξ軸平行于水平面，且UUV 前進(jìn)方向?yàn)檎较颍沪禽S垂直于另外兩軸，整個(gè)坐標(biāo)軸滿足右手系，如圖1 所示。

圖1 固定坐標(biāo)與運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系Fig. 1 Fixed and moving coordinates

1.1.2 UUV 坐標(biāo)系（運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系）O-xyz

為了分析UUV 在水下的俯仰、首搖、轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題，建立一個(gè)UUV 坐標(biāo)系[7]（運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系）。坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)置在UUV 的重心處，x軸水平于UUV 艇身，前進(jìn)方向?yàn)檎较颍粃軸垂直x軸，下為正方向；y軸與另兩軸垂直且整個(gè)坐標(biāo)系滿足右手系。

1.2 運(yùn)動(dòng)參數(shù)

1.2.1 姿態(tài)角

偏航角Ψ：坐標(biāo)系的x軸在水平面上的投影與地面坐標(biāo)系ξ 軸的夾角。

俯仰角θ：x軸與水平面的夾角。

橫滾角?：z軸與地面坐標(biāo)系ζ 軸的夾角。

1.2.2 坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)化

一般UUV 運(yùn)動(dòng)問(wèn)題需要用到2 個(gè)坐標(biāo)系之間相互轉(zhuǎn)換，適用于航向追蹤問(wèn)題的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換滿足方程[8]

1.3 數(shù)學(xué)模型

在UUV 系統(tǒng)中，依然滿足牛頓第二定律。忽略UUV 的形變將其看做一個(gè)剛體，并對(duì)其整體進(jìn)行分析，滿足基礎(chǔ)動(dòng)力學(xué)方程：

式中：mi為剛體質(zhì)量；vi為表示剛體質(zhì)心的速度矢量；Fi為剛體所受的外力。

1.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型（固定坐標(biāo)系下）

UUV 行器通常有6 個(gè)自由度，并且它的運(yùn)動(dòng)可以看做是剛體運(yùn)動(dòng)[9]。在UUV 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，令表示潛航器只有沿著x軸的線速度，其他方向線速度為0，令T為沿x，y，z軸方向的角速度。推導(dǎo)可得

將上式轉(zhuǎn)化為廣義向量的矩陣形式為：

由于UUV 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型是在線速度存在非完整約束的條件下得到的[10]，減少了速度的維數(shù)。統(tǒng)有2 個(gè)非完整約束，分別為繞y軸的線速度和繞z軸的線速度。因?yàn)樗俣染S度的減少，所以速度在這2 個(gè)方向?yàn)?。這2 個(gè)約束可表示為：

將s、a、p展開(kāi)并且用表示為：

用向量場(chǎng)f1(g),f2(g),f3(g)和f4(g)線性組合稱行的矩陣A(q)來(lái)描述速度，則建立如下運(yùn)動(dòng)模型：

式中：v1=vx；v2=ωx；v3=ωy；v4=ωz。

《辦法》的另一大亮點(diǎn)是將走逃(失聯(lián))企業(yè)納入重大稅收違法失信案件。將“具有偷稅、逃避追繳欠稅、騙取出口退稅、抗稅、虛開(kāi)發(fā)票等行為，經(jīng)稅務(wù)機(jī)關(guān)檢查確認(rèn)走逃(失聯(lián))的”明確作為重大稅收違法失信案件的標(biāo)準(zhǔn)之一，包括稅務(wù)局稽查局作出行政決定前已經(jīng)走逃(失聯(lián))，以及稅務(wù)局稽查局作出行政決定后走逃(失聯(lián))的。

1.4 模型簡(jiǎn)化

1.4.1 縱向運(yùn)動(dòng)模型

對(duì)于UUV，縱向運(yùn)動(dòng)可獨(dú)立存在，將UUV 縱向運(yùn)動(dòng)單獨(dú)拆分出來(lái)，為空間的垂直平面運(yùn)動(dòng)。對(duì)于縱向運(yùn)動(dòng)，依然遵循牛頓定律和基礎(chǔ)動(dòng)力學(xué)方程[11]，則有：

1.4.2 側(cè)向運(yùn)動(dòng)模型

由于縱向參數(shù)在任何時(shí)候都不會(huì)完全為0，所以側(cè)向運(yùn)動(dòng)并不會(huì)單獨(dú)存在。假設(shè)UUV 是理想的直鰭舵上下對(duì)稱，那么此時(shí)的側(cè)向運(yùn)動(dòng)不含橫滾，此時(shí)的側(cè)向運(yùn)動(dòng)方程為：

式中：；Λ=κ-β；δr為直舵偏向角；v0為潛航器的額定速度，可由方程解出。

1.4.3 橫滾運(yùn)動(dòng)模型

UUV 繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)被稱之為橫滾，用滾角?來(lái)表示其程度大小。分析可得包括橫滾的側(cè)向運(yùn)動(dòng)模型[12]關(guān)于速度v的運(yùn)動(dòng)模型為：

式中，δd為差動(dòng)舵偏角

2 基于數(shù)學(xué)模型的航向滑模控制

航向控制可以不考慮橫滾運(yùn)動(dòng)，但側(cè)向運(yùn)動(dòng)不能單獨(dú)存在[13]，所以將UUV 看做一個(gè)以重心為質(zhì)點(diǎn)的剛體，考慮其縱向及包含橫滾的側(cè)向運(yùn)動(dòng)。

將簡(jiǎn)化模型中的縱向運(yùn)動(dòng)模型和包含橫滾的側(cè)向運(yùn)動(dòng)模型合并，得

航向控制問(wèn)題[14]可以表現(xiàn)為。

式中：x1為航向角；a，b為時(shí)間常數(shù)；u為簡(jiǎn)單系統(tǒng)模型；F為不確定性總干擾。

2.1 干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)

建立一個(gè)標(biāo)稱模型[15]，把建模誤差，噪聲，還有實(shí)際的外部干擾都給增廣為一個(gè)新的狀態(tài)變量，將新的狀態(tài)變量等效輸入到控制端，進(jìn)行干擾補(bǔ)償，實(shí)現(xiàn)對(duì)干擾的完全控制。

定義Lyapunov 函數(shù)：

合適的參數(shù)選取能夠更加精準(zhǔn)實(shí)現(xiàn)外界干擾補(bǔ)償[16]，增強(qiáng)系統(tǒng)魯棒性。取a=5，b=0.15，d=150 sin（0.1t），k1=500，k2=200。

仿真結(jié)果如下

圖2 為設(shè)計(jì)的干擾觀測(cè)器干擾及觀測(cè)仿真結(jié)果，虛線為實(shí)際干擾值，點(diǎn)線為觀測(cè)器估計(jì)值。仿真結(jié)果顯示虛線與點(diǎn)線很好的貼合，說(shuō)明設(shè)計(jì)的干擾觀測(cè)器可以很好實(shí)時(shí)估計(jì)干擾值。

圖2 干擾及觀測(cè)結(jié)果Fig. 2 Interference and results of their observations

2.2 基于干擾觀測(cè)器的連續(xù)滑模控制

將期望航向角設(shè)為xd，誤差取Z1=xd-x1，則滑模函數(shù)為:

基于干擾補(bǔ)償?shù)幕？刂破髟O(shè)計(jì)為：

選擇Lyapunov 函數(shù)為：

仿真中，用sat(t)飽和函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)sgn(s)來(lái)降低抖動(dòng)影響[17]。取a=5，b=0.1，d=150sin(0.1t)，xd=sint，k1=500，k2=200，η=5.0，c= 1 5 ， Δ =0.10。

圖3 為干擾值及其誤差對(duì)比圖。可以看出，實(shí)際干擾值越大，那么觀測(cè)器估計(jì)值就越精確，實(shí)際干擾值越小，觀測(cè)器估計(jì)值的偏差越大，但誤差最大不超過(guò)5%，符合設(shè)計(jì)要求。

圖3 干擾及其估計(jì)值之間的誤差Fig. 3 Error between the interference and its estimate

當(dāng)預(yù)設(shè)航向?yàn)橐粋€(gè)固定值即為一條直線xd=1 時(shí)，圖4 為航向跟蹤仿真結(jié)果。實(shí)線為預(yù)設(shè)航向，虛線為航向跟蹤。由仿真結(jié)果可以看出，隨著時(shí)間增加，航向跟蹤曲線快速和預(yù)設(shè)航向曲線貼合，說(shuō)明當(dāng)預(yù)設(shè)航向?yàn)楣潭ㄖ禃r(shí)，采用基于干擾補(bǔ)償?shù)暮较蚧？刂破骺梢詫?shí)現(xiàn)對(duì)設(shè)定簡(jiǎn)單航向的穩(wěn)定跟蹤，并且對(duì)干擾具有強(qiáng)擼棒性和自適應(yīng)性。

圖4 預(yù)設(shè)定航向及航向跟蹤Fig. 4 Pre-set heading and course tracking

當(dāng)預(yù)設(shè)航向角設(shè)為一個(gè)正弦波xd=3sin(3.15t+1.5)時(shí)，更方便看出航向角追蹤是否出現(xiàn)偏差。圖5 為預(yù)設(shè)航向及航向追蹤仿真結(jié)果，實(shí)線為預(yù)設(shè)航向，虛線為航向跟蹤。由仿真結(jié)果可以看出，隨著時(shí)間增加，預(yù)設(shè)航向曲線和航向跟蹤曲線逐漸貼合，說(shuō)明采用基于干擾補(bǔ)償?shù)暮较蚧？刂破骺梢詫?shí)現(xiàn)對(duì)設(shè)定較復(fù)雜航向的穩(wěn)定跟蹤，并且對(duì)干擾具有強(qiáng)擼棒性和自適應(yīng)性。

圖5 預(yù)設(shè)正弦航向及航向跟蹤Fig. 5 Preset sinusoidal heading and course tracking

當(dāng)預(yù)設(shè)航向?yàn)橐粋€(gè)自定函xd=acot(cot(theta)/sin(PSI)+tan(PSI)/sin(theta))，PSI=atan(xact(2,: ))，theta=-atan(xact(4,:)./sec(PS I))。由圖6 的仿真結(jié)果了知，當(dāng)預(yù)設(shè)航向角出現(xiàn)航向變化速度過(guò)快，變化角度過(guò)大時(shí)，會(huì)使得反饋控制信號(hào)具有不連續(xù)性，具體體現(xiàn)為高頻率切換函數(shù)。這對(duì)整個(gè)控制系統(tǒng)帶來(lái)了不利影響，導(dǎo)致跟蹤結(jié)果出現(xiàn)較大偏差。但隨時(shí)間最終預(yù)設(shè)航向與實(shí)際航向會(huì)重合。由以上3 種不同函數(shù)類型的預(yù)設(shè)航向仿真結(jié)果表明，該連續(xù)滑模控制算法在跟蹤方面效果較好。

圖6 預(yù)設(shè)自定義航向及航向跟蹤Fig. 6 Preset custom heading and course tracking

3 結(jié) 論

本文對(duì)水下無(wú)人航行器進(jìn)行模糊運(yùn)動(dòng)學(xué)建模，并對(duì)包含不確定因素的系統(tǒng)模型設(shè)計(jì)一種變結(jié)構(gòu)控制和干擾補(bǔ)償?shù)倪B續(xù)滑模控制器進(jìn)行航向跟蹤仿真研究。當(dāng)預(yù)設(shè)航線為一條直線時(shí)，系統(tǒng)可以快速調(diào)整航向，并與預(yù)設(shè)航向重合。接著以正弦波預(yù)設(shè)航向，改變固定頻率時(shí)，系統(tǒng)能夠快速調(diào)整航向與預(yù)定航向重合，雖然其間會(huì)產(chǎn)生一定誤差但在系統(tǒng)可控范圍。最后設(shè)置自定義無(wú)規(guī)律預(yù)設(shè)航向，若預(yù)設(shè)航向變化速度過(guò)快或變化角度過(guò)大時(shí)，系統(tǒng)由于反饋控制信號(hào)的不連續(xù)性導(dǎo)致無(wú)法及時(shí)調(diào)整航向，但隨著時(shí)間增加最終會(huì)與預(yù)設(shè)航向重合。以上3 個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)證明基于干擾補(bǔ)償?shù)幕？刂破骺梢詫?shí)現(xiàn)對(duì)于航向的穩(wěn)定跟蹤，并且具有較強(qiáng)的魯棒性。