星下點軌跡恒定的低軌星座構(gòu)型設(shè)計方法

張雅聲,賈璐,于金龍,梁爽

航天工程大學(xué),北京 101416

1 引言

當前,巨型星座已成為太空領(lǐng)域備受關(guān)注的研究熱點,越來越多的國家或機構(gòu)提出低軌巨型星座計劃[1],其中,最受關(guān)注的“Starlink”星座[2]和“OneWeb”星座[3]正按計劃持續(xù)部署,中國也相繼提出“鴻雁”“虹云” “國網(wǎng)”等低軌大型星座計劃[4]。對于巨型星座這一復(fù)雜而龐大的系統(tǒng),不少學(xué)者從空間安全、網(wǎng)絡(luò)性能、運控管理、應(yīng)用潛能等多個角度開展了充分研究[5-7],但針對低軌巨型星座構(gòu)型設(shè)計的研究仍十分匱乏,而星座的構(gòu)型設(shè)計至關(guān)重要,它直接決定了空間系統(tǒng)的服務(wù)性能,是建設(shè)巨型星座系統(tǒng)的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。在此背景下,本文將針對巨型星座的構(gòu)型設(shè)計問題開展研究。

星座構(gòu)型設(shè)計方法主要分為兩類,分別是幾何解析法和優(yōu)化設(shè)計法[8]。幾何解析法以空間幾何、軌道動力學(xué)為理論基礎(chǔ),研究星間幾何拓撲關(guān)系,并用編碼的方式確定衛(wèi)星軌道參數(shù)。該方法具有形式簡潔,衛(wèi)星空間分布規(guī)律性較強,易于星座構(gòu)型維持控制等優(yōu)勢。Walker星座是該方法的典型,它采用衛(wèi)星總數(shù)、軌道平面數(shù)和相位因子3個參數(shù)編碼,被廣泛應(yīng)用于各導(dǎo)航星系統(tǒng)、銥星系統(tǒng)等,且“Starlink”“OneWeb”星座也以Walker星座作為基礎(chǔ)構(gòu)型。優(yōu)化設(shè)計法利用遺傳算法、差分進化算法、蟻群算法等優(yōu)化算法,搜索任務(wù)驅(qū)動下的目標函數(shù)在可行域內(nèi)的最優(yōu)解。該方法在求解難以建立解析關(guān)系式的復(fù)雜問題時具有優(yōu)越性,但不具備可解釋性。

由于巨型星座衛(wèi)星數(shù)量大,變量多,采用優(yōu)化設(shè)計法時存在搜索空間大,算法難以收斂的問題,因此,幾何解析法更適用于巨型星座構(gòu)型設(shè)計。參考幾何解析法,本文提出了一種恒定軌跡低軌星座構(gòu)型設(shè)計方法,該構(gòu)型應(yīng)用于巨型星座任務(wù)的優(yōu)勢主要體現(xiàn)在以下3方面。其一,星座內(nèi)衛(wèi)星在空間中的分布足夠均勻,覆蓋范圍可兼顧各時區(qū)。其二,每顆衛(wèi)星的基本軌道屬性相同,所受攝動力影響基本一致,減輕了星座運行過程中構(gòu)型控制的負擔。其三,由于巨型星座衛(wèi)星數(shù)量巨大,且LEO衛(wèi)星相對地面具有高動態(tài)性,使得空間系統(tǒng)與地面系統(tǒng)的關(guān)系錯綜復(fù)雜,尤其對裝有定向天線的地面設(shè)備提升了設(shè)計與控制難度,天線需要不斷的定位、瞄準、跟蹤衛(wèi)星。而本文提供的恒定軌跡星座構(gòu)型中所有衛(wèi)星永遠沿固定地面軌跡運行,意味著位于任意位置的地面設(shè)備與星座中任意衛(wèi)星的方位關(guān)系相同,地面設(shè)備對衛(wèi)星的跟蹤捕獲有規(guī)律的周期性重復(fù),既有效降低星地系統(tǒng)協(xié)同的復(fù)雜度,又一定程度上保證了信號傳輸?shù)膹姸扰c穩(wěn)定性。

綜上所述,本文給出了一種巨型星座設(shè)計的新構(gòu)型,有助于豐富巨型星座設(shè)計理論,并為巨型星座任務(wù)的工程實踐提供更多選擇。

2 低軌恒定軌跡星座構(gòu)型建模

本文設(shè)計的低軌恒定軌跡星座是指星座內(nèi)所有衛(wèi)星永遠沿一條固定的地面軌跡運行。該星座需滿足兩個條件:第一,星座內(nèi)所有衛(wèi)星共同掃過同一條星下點軌跡,可通過合理設(shè)計星間相位差、升交點赤經(jīng)差實現(xiàn);第二,該軌跡不隨時間產(chǎn)生漂移,利用回歸軌道地面軌跡周期性重復(fù)的特點可滿足該要求。基于這兩個條件,建立星座構(gòu)型設(shè)計模型,具體如下。

2.1 考慮J4攝動的回歸軌道設(shè)計

回歸軌道是指衛(wèi)星的星下點軌跡在特定周期內(nèi)重復(fù)的軌道[9]。回歸軌道的回歸周期Tr與衛(wèi)星的交點周期TΩ(衛(wèi)星連續(xù)兩次經(jīng)過升交點或降交點的時間)、格林威治周期TΩG滿足下列關(guān)系:

Tr=NpTΩ=NdTΩG

(1)

式中:Np為一個回歸周期內(nèi),衛(wèi)星繞地球旋轉(zhuǎn)的圈數(shù);Nd為地球在回歸周期內(nèi)旋轉(zhuǎn)的恒星天數(shù)。Np,Nd皆為整數(shù)。

衛(wèi)星平緯度幅角為近地點幅角與平近點角之和:ω+M,其變化范圍為[0,2π],那么,衛(wèi)星的交點周期計算為:

(2)

(3)

在地球引力位函數(shù)中,利用球函數(shù)展開式導(dǎo)出的由地球質(zhì)量非均勻分布產(chǎn)生的攝動項[10]用R表示。

(Cn,mcosmλ+Sn,msinmλ)

(4)

式中:r,φ,λ分別為衛(wèi)星在ECEF坐標系下的地心距、緯度、地心經(jīng)度;Pn,m(sinφ)為包含帶諧項系數(shù)Jn的Legendre函數(shù);Cn,m,Sn,m為田諧項系數(shù)。

對于回歸軌道,主要關(guān)注攝動項對軌道的長期影響,攝動函數(shù)中的田諧項因地球自轉(zhuǎn)而部分抵消[11],因此,本文計算中忽略田諧項影響。實際情況下,帶諧項中J2,J3,J4為主要攝動項,其余帶諧項攝動系數(shù)量級較小,在計算回歸軌道時可忽略不計。將R轉(zhuǎn)換到軌道坐標系中,且僅考慮J2,J3,J4攝動項的表達式為:

(5)

其中:

(6)

根據(jù)EGM2008模型:J2=1.0826355×10-3,J3=-2.5324105×10-6,J4=-1.6198976×10-6。

顯然,攝動力伴隨真近點角變化呈現(xiàn)周期性變化,在軌道設(shè)計時,通常采用平均化方法規(guī)避快變量的瞬時變化[12]。在一個軌道周期內(nèi),攝動函數(shù)R關(guān)于真近點角f在區(qū)間[0,2π]上的平均值為:

7(4512+22560e2+8640e4+60(8+40e2+15e4)cos4i-100e4cos2(i-2ω)+3200e2cos2(i-ω)+

1600e4cos2(i-ω)+25e4cos4(i-ω)-6400e2cos2ω-3200e4cos2ω+150e4cos4ω+

3200e2cos2(i+ω)+1600e4cos2(i+ω)+25e4cos4(i+ω)-100e4cos2(i+2ω))]

(7)

(8)

(9)

在巨型星座任務(wù)背景下,為保證大量衛(wèi)星在低軌空間內(nèi)有序運行,并保證衛(wèi)星服務(wù)質(zhì)量的穩(wěn)定性,考慮所有衛(wèi)星為近圓軌道,即e→0,ω→0。回歸軌道的傾角i根據(jù)具體任務(wù)的緯度帶覆蓋需求確定。L為在合理范圍內(nèi)給定的正整數(shù)比值。最終,回歸軌道設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為在給定參數(shù)e,i,ω,L條件下,求解方程(9)關(guān)于唯一未知數(shù)a的根。對于復(fù)雜函數(shù)求根,可在精度允許范圍內(nèi),利用牛頓迭代法求解。

2.2 共星下點軌跡軌道設(shè)計

第2.1小節(jié)研究了J2～J4項攝動影響下的回歸軌道設(shè)計方法,確定了恒定軌跡星座內(nèi)衛(wèi)星的通用軌道參數(shù)a,e,i,ω。本小節(jié)的主要任務(wù)是討論共星下點軌跡衛(wèi)星的特性,確定星座內(nèi)所有衛(wèi)星的分布方式,即確定每顆衛(wèi)星的升交點赤經(jīng)Ω與平近點角M。

通過研究地球與衛(wèi)星軌道面間的相對運動關(guān)系,可以確定共地面軌跡的兩衛(wèi)星的ΔΩ與ΔM[13]。圖1所示為共星下點軌跡衛(wèi)星相對位置示意。圖中白色曲線分別為兩衛(wèi)星S1、S2的運行軌道,兩軌道具有相同軌道根數(shù)a,e,i,ω。黃色夾角為兩衛(wèi)星的升交點赤經(jīng)之差ΔΩ,藍色夾角為相位差ΔM。

圖1 共地面軌跡兩衛(wèi)星相對位置示意

如圖1所示,由于地球自西向東轉(zhuǎn)動,那么空間中位于西側(cè)的衛(wèi)星S2,其星下點將首先劃過地表某一特定區(qū)域,為使衛(wèi)星S1的星下點也沿相同軌跡行駛,就要求隨著地球自轉(zhuǎn)衛(wèi)星S2掃過的地面軌跡經(jīng)過衛(wèi)星S1所在軌道正下方時,衛(wèi)星S1的相位與初始時刻衛(wèi)星S2的相位相同。也就是說在初始時刻,位于東側(cè)的衛(wèi)星S1,其相位應(yīng)當落后于衛(wèi)星S2,以保證隨著地球東進,衛(wèi)星S1能夠恰好經(jīng)過衛(wèi)星S2掃過的軌跡。

(10)

星下點軌跡重合(要求東側(cè)軌道面上的衛(wèi)星相位落后于西側(cè)衛(wèi)星)。

2.3 星座軌道構(gòu)型

盡管通過衛(wèi)星間相位差、升交點赤經(jīng)差的合理設(shè)計,可以得到一個所有衛(wèi)星地面軌跡重合的共星下點軌跡星座,但由于地球的自轉(zhuǎn),衛(wèi)星經(jīng)過同一地面目標時的軌跡將會在東西方向偏移,共地面軌跡的設(shè)計就失去了意義[14]。故,為使星座內(nèi)所有衛(wèi)星經(jīng)過同一地面目標時,與地面目標保持相同的方位關(guān)系,即星座的地面軌跡恒定,在共星下點軌跡設(shè)計的基礎(chǔ)上,還需加上回歸軌道設(shè)計的條件。

結(jié)合式(9)(10),可得:

(11)

即,當星座內(nèi)衛(wèi)星之間滿足ΔM,ΔΩ比值為回歸因子L時,該星座為恒定軌跡星座。恒定軌跡星座的實質(zhì)是由數(shù)顆滿足共星下點軌跡條件,且位于回歸軌道上的衛(wèi)星組成的星座,每個軌道面僅有1顆衛(wèi)星。

綜合以上分析,可總結(jié)出恒定軌跡星座設(shè)計模型,具體如下:已知回歸因子L以及衛(wèi)星基本軌道參數(shù)e,i,ω,通過第2.1小節(jié)中回歸軌道設(shè)計方法確定軌道半長軸a。根據(jù)巨型星座的基本特性,星座需兼顧全球范圍的覆蓋需求,即衛(wèi)星應(yīng)充分散布于整個空間球域。設(shè)定星座內(nèi)衛(wèi)星總數(shù)為N,顯然,星座的軌道平面數(shù)也為N,那么相鄰軌道面之間的升交點赤經(jīng)為:ΔΩ=2π/N,根據(jù)式(11)可得相鄰軌道面上衛(wèi)星的相位差為:ΔM=2πL/N。

最終,恒定軌跡星座構(gòu)型設(shè)計模型表示為:

(12)

式中:M0,Ω0為星座內(nèi)基準衛(wèi)星的初始相位、升交點赤經(jīng),k=1,2,…,N。

由于ΔM∈(0,2π),由ΔM與ΔΩ的關(guān)系可知,ΔΩ的取值范圍為(0,2π/L),從而可得到恒定軌跡星座衛(wèi)星總數(shù)N的取值應(yīng)當滿足:

N>L

(13)

綜上所述,恒定軌跡星座的星座構(gòu)型在給定基本軌道參數(shù)e,i,ω情況下,可通過2個構(gòu)型參數(shù)[L,N]確定。

3 星座構(gòu)型設(shè)計仿真分析

為驗證本文提出的恒定軌跡星座構(gòu)型設(shè)計的有效性,進行如下仿真分析。

首先,根據(jù)第2.1小節(jié)中的方法,對不同回歸因子L,軌道傾角i影響下的回歸軌道進行仿真計算。令衛(wèi)星偏心率e=10-5,近地點幅角ω=10-5。通常設(shè)定回歸軌道的回歸周期為1個恒星天數(shù),此時,回歸因子L表示衛(wèi)星在1天內(nèi)繞地球旋轉(zhuǎn)的圈數(shù),根據(jù)LEO衛(wèi)星軌道周期范圍大致推算,L的合理取值空間為L∈[10,16],且L為整數(shù)。考慮地球非球形攝動J2～J4項影響,計算回歸軌道的軌道高度,得到結(jié)果見表1。

表1 LEO回歸軌道仿真計算結(jié)果

由表1結(jié)果可以看出,回歸軌道的軌道高度隨回歸系數(shù)L增大而減小,隨軌道傾角i增大而增大,且L越大,i對于回歸軌道軌道高度的影響越顯著。結(jié)合工程實際,軌道高度過高或過低都將給巨型星座的部署和構(gòu)型維持帶來挑戰(zhàn)。當L=16時,軌道高度在200km附近,受大氣阻力影響明顯,星座構(gòu)型維持代價較大;當L<13時,軌道高度過高,超過1600km,一方面對巨量衛(wèi)星的發(fā)射部署帶來挑戰(zhàn),另一方面影響了載荷性能(例如,通信衛(wèi)星數(shù)據(jù)傳輸時延增大,遙感衛(wèi)星分辨率降低)。因此,對于LEO回歸軌道,L取值為13,14,15較為合理,其中,權(quán)衡運載能力、載荷性能、構(gòu)型維持等諸多因素,當L=15時,軌道高度在500km附近,是最理想的巨型星座部署高度。

為更直觀展示本文提出的回歸軌道計算方法的有效性,選取表1中任意一組軌道參數(shù),進一步仿真得到該軌道的星下點軌跡,結(jié)果如圖2所示。

圖2 衛(wèi)星軌道回歸性對比

圖2(a)為根據(jù)本文方法計算得到的回歸軌道星下點軌跡,仿真時間為7天,回歸因子L=15,軌道傾角i=70°,軌道高度H=517.8227km;圖2(b)作為對照組,仿真了7天內(nèi),軌道傾角為70°,軌道高度為470km的非回歸軌道的地面軌跡。顯然,圖2(a)中回歸軌道僅留下1天的星下點軌跡,仿真時間內(nèi)衛(wèi)星每天掃過的地面軌跡完全重合,而圖2(b)中非回歸軌道則隨時間逐漸偏移原軌道,軌跡在地表呈細密網(wǎng)格狀。通過圖2星下點軌跡的對比說明了本文回歸軌道設(shè)計方法的有效性。

在圖2(a)中衛(wèi)星軌道基礎(chǔ)上,根據(jù)第2.3小節(jié)中的恒定軌跡星座設(shè)計模型,進行仿真分析。仿真參數(shù)設(shè)定為:軌道傾角70°,衛(wèi)星數(shù)量為270,回歸因子L=15,基準衛(wèi)星的初始軌道參數(shù)為M0=0,Ω0=0,仿真持續(xù)時間為7天,仿真時間步長為60s。該星座相鄰軌道面的ΔΩ為1.333°,相鄰軌道面上的衛(wèi)星相位差ΔM為20°。

圖3所示為構(gòu)型參數(shù)[270,15]的LEO恒定軌跡星座構(gòu)型仿真圖,圖3(a)為星座在運行7天后掃過的地面軌跡,圖3(b)為對應(yīng)的星座空間三維構(gòu)型。仿真結(jié)果顯示,所有衛(wèi)星均沿同一條星下點軌跡運行,并且隨時間推移,該軌跡固定不變,也就是說,在不考慮其他攝動因素影響條件下,該星座內(nèi)所有衛(wèi)星將永遠沿著圖3(a)中所示的恒定軌跡運行。星座構(gòu)型3D圖中所示,所有衛(wèi)星獨自運行于各自軌道面上,形成270個軌道面,均勻分布于天球表面。綜上,仿真結(jié)果較理想,滿足了恒定軌跡星座的設(shè)計目標,驗證了本星座構(gòu)型設(shè)計方法的有效性。

圖3 衛(wèi)星軌道回歸性對比

4 結(jié)論

本文提供了一種適用于巨型星座任務(wù)的LEO恒定軌跡星座構(gòu)型解析設(shè)計方法,該構(gòu)型用回歸因子、衛(wèi)星總數(shù)2個參數(shù)進行編碼。最終仿真結(jié)果表明,該星座構(gòu)型設(shè)計方法確保了所有衛(wèi)星共星下點軌跡的同時,地面軌跡不隨時間發(fā)生漂移,符合恒定軌跡星座的設(shè)計預(yù)期,驗證了本構(gòu)型設(shè)計方法的有效性。本星座構(gòu)型確保了空間系統(tǒng)與地面系統(tǒng)的方位一致性,極大程度降低了星地系統(tǒng)協(xié)同的復(fù)雜度。

Starlink星座、OneWeb星座均以Walker星座作為基礎(chǔ)構(gòu)型,與此類似,本文提供的恒定軌跡星座構(gòu)型也可作為巨型星座的基礎(chǔ)構(gòu)型,通過多個該星座的拼接、組合以實現(xiàn)具體任務(wù)的對地覆蓋需求。除通信應(yīng)用外,低軌恒定軌跡星座構(gòu)型應(yīng)用于區(qū)域?qū)Φ赜^測星座,能夠確保對特定目標區(qū)域的持續(xù)觀測,獲取實時情報。