不完美界面聚合物基纖維復合材料的黏彈性行為

吳 銳,趙曉昱,王冠楠

(1.浙江大學 建筑工程學院,杭州 310058;2.上海工程技術大學 機械與汽車工程學院,上海 201620)

從航空航天、汽車和土木結構到生物工程,聚合物基復合材料得到了廣泛的應用[1-2]。在很多情況下,復合材料結構的服役壽命達到幾年甚至幾十年,因此在設計時需要考慮材料的長期力學性能[3-4]。大多數聚合物在載荷和環境因素作用下表現出顯著的蠕變和應力松弛(即黏彈性)現象。為了設計耐久的復合材料部件和結構,需要充分研究這些現象并預測結構構件的長期力學行為。對于聚合物基復合材料,其黏彈性不僅受到基體材料分子松弛過程的影響,還受到復合材料的組份比例、微觀結構形態以及纖維-基體之間黏結作用等因素的影響,使得復合材料及其結構的黏彈性力學行為變得十分復雜[5-6]。

纖維復合材料在制造和服役過程中,界面的黏結情況對復合材料的宏/細觀力學性能發揮著重要的作用[7]。由于界面兩側組分的材料性能往往相差較大,所以在外載荷作用下,復合材料系統微結構界面處往往產生應力集中現象進而引起界面損傷與斷裂[8]。這種界面處微結構的損傷破壞也將導致結構宏觀性能的退化。然而現有文獻中針對復合材料均勻化的多尺度模型大都基于唯象理論,無法根據材料的微結構應力變形情況對材料宏觀力學性能退化進行有效預測。因此本文引入了考慮不完美界面的LEHT(locally exact homogenization theory)模型對材料進行性能模擬,該方法不僅可以有效預測纖維復合材料的宏觀模量,還可以有效還原微元體晶胞內的界面剛度所引起的應力重分布情況。

目前的細觀力學數值分析中對于不完美界面的建模方法除了將界面等效為一層具有較小彈性模量的薄厚度的物理夾層[7,9]外,還可以通過引入一層零厚度的內聚力彈簧界面,該界面可以假想為均勻分布的有一定剛度的彈簧。當界面剛度接近無窮大時,界面完美結合,而完全脫黏的界面可以通過零界面剛度來模擬。這種柔性界面模型已被廣泛用于研究部分作用的界面對材料有效性能的影響[10-11],以及界面損傷對纖維局部增強作用的影響[7]。

然而,目前文獻中針對界面損傷對聚合物基復合材料黏彈性力學行為的研究相對較少[1-6,12-17]。另外,缺乏復雜材料系統界面對微元體內應力分布的研究?；谏鲜鲈?本文在前期推導的橫觀各向同性單向纖維復合材料細觀模型[1]的基礎上,運用對應性原理,將材料的黏彈性本構轉換到Carson-Laplace域中求解具有不完美界面的周期性纖維增強復合材料的黏彈性問題,并得到材料的宏觀模量系數。再利用Zakian[18-19]提出的反演方法將求得的宏/細觀響應轉化到時域中,其中基體黏彈性材料通過各向同性四參數流變模型模擬。最終結果與文獻中的數值方法進行了對比,得到了良好的一致性。

1 黏彈性體的本構方程和材料性能

本文采用最近開發的LEHT模型[1,7]和彈性-黏彈性對應性原理對橫觀各向同性單向復合材料黏彈性問題進行分析,即將微元體的邊值問題以及均勻化本構關系轉化到Laplace域中進行求解,然后采用Zakian于1969年所提出的方法[18]將相應公式逆轉化到時域當中,詳情如圖1所示。

圖1 黏彈性問題求解流程

(1)

而通過轉換后Carson-Laplace域內的本構關系變為

(2)

(3)

將Laplace域內的關系代入到由Wang等[7]開發的細觀力學模型當中,在Laplace-Carson域內應用周期邊界條件求解內部位移和應力場,并建立均勻化本構方程:

(4)

式中vf和vm分別為纖維和基體的體積分數,并且有vf+vm=1。最后文獻中有很多方法可以實現從Laplace域到時域的逆轉換。本文選用了早期由Zakian提出的數值算法[18-19],通過以下步驟完成從Laplace域到時域解的轉換:1)將研究時間劃分為時間間隔增量:t=[t1,t2,t3,…,tN];2)賦值拉普拉斯變量為s(j)=αj/ti,αj取值見表1;3)每一次增量ti,將拉普拉斯變量s引入到當前細觀力學模型當中,得到拉普拉斯域中微元體邊界值問題的最終解和均勻化剛度矩陣的表達式;4)最后,采用Zakian公式進行反演,即

(5)

式中Kj取值見表1。

2 考慮不完美界面的復合材料細觀力學模型

根據上節描述,本節回顧前期推導的考慮不完美界面的復合材料細觀力學模型,具體推導見文獻[7]。復合材料的細觀結構可假設為在基體中呈周期性分布的纖維系統,本文針對圖2所示的具有周期性分布的正方形代表性單胞進行研究,該單胞符合周期性邊界條件約束。為了滿足約束本文采用了弱形式的變分原理:

圖2 考慮非完美界面的復合材料周期性晶胞

(6)

式中Ti和ui分別為微元體ST和Su邊界上的力和位移。

為了區分宏觀尺度和細觀尺度的影響,本文定義了兩個坐標體系,即宏觀坐標系統xi(i=1,2,3)和微元體坐標系統yi(i=1,2,3),并將微元體內部的位移分為平均位移和擾動位移[20]:

(7)

(8)

根據式(8),以及應變-位移和應力-應變關系,可得應力分量的解析表達:

(9)

為了精確滿足不完美界面條件,采用了彈簧模型[21]用于描述纖維基體之間的損傷情況:

(10)

式(10)表明由于已經發生破壞,纖維基體之間的位移并不連續,但是其差值與界面處仍保持連續的應力分量具有一定的比例關系。其中kzr、krr、krθ分別為彈簧在不同方向上的剛度,大小在零到無窮之間。當剛度為無窮大時,式(10)可以退化到完美界面情況。

最后式(8)、(9)中的未知系數可以通過施加不完美界面條件(10)和周期性邊界條件(6)得到。對代表性單元求解后,可以有效還原材料內部的應力分布情況。最后通過對晶胞建立均勻化本構模型式(4),可以得到材料在Laplace域內的有效模量。

3 算例分析

本文所研究的聚合物基復合材料,基體表現出黏彈性特性,而纖維仍屬于彈性范圍[5]。本文首先研究了玻璃纖維/環氧樹脂基復合材料的宏觀有效模量和微元體內局部響應。材料的彈性瞬時參數如表2所示。另外,為了更好地描述基體的黏彈性力學本構,本文采用由Maxwell和Kelvin模型串聯組成的四參數流變模型,如圖3所示,其蠕變柔度可表示為

表2 玻璃纖維/環氧樹脂基的材料彈性參數[14]

圖3 描述黏彈性基體的四參數模型

S11(t)=1/E+1/E1·[1-exp(-E1/η1·t)]+t/η2

(11)

拉普拉斯域下的蠕變柔度可表示為

1/(s2η2)

(12)

其中:E1=1.8 GPa,η1=300 GPa·h,η2=8 000 GPa·h[1]。

3.1 宏觀模量預測

如圖4所示,本節首先給出了纖維半徑為71 μm、體積分數為vf=0.3的復合材料的有效松弛模量。另外,為了驗證界面損傷對材料宏觀性能的影響,本節引入了不同的界面剛度,分別為k=3×1014MPa/m、3×107MPa/m、3 MPa/m,分別表示完美黏結、部分黏結以及完全脫黏。為了驗證本方法的正確性,引入基于有限體積思想的FVDAM模型對完全黏結和完全破壞的復合材料系統進行驗證,并取得了較好的對比結果。另外,由圖4也可以看出界面損傷對材料的宏觀黏彈性特性影響較大。對于不完美界面情況,材料的有效松弛模量均小于完美黏結的情況;當界面完全破壞時,纖維不承擔任何荷載,只有基體承受外力作用,因此有效模量最小。

圖4 纖維半徑為71 μm、體積分數為30%的玻璃纖維增強環氧復合材料的宏觀有效模量

3.2 局部應力分布

圖5 不同界面剛度下纖維復合材料晶胞在初始時刻(t=0 h)以及t=600 h的應力分量σ22(y2,y3)(MPa)分布情況

4 結 論

針對纖維增強復合材料的黏彈性力學行為進行研究,采用了彈性-黏彈性對應性原理將細觀力學模型轉化到Laplace域內進行求解,然后將材料的宏/細觀響應通過Zakian反演方法轉換回時域內。同時為了模擬界面破壞對材料宏/細觀力學性能的影響,引入了前期開發的考慮界面損傷效應的LEHT模型。該模型的優勢在于精確求解代表性晶胞內的位移和應力表達式,進而可以實現不完美界面在數學上的精確滿足,與FVDAM模型對完全黏結和完全破壞的復合材料系統預測的一致性驗證了方法的正確性。由于該模型避免了其他數值計算方法中大規模的網格劃分和對時間增量的分步迭代,因此可以實現材料性能退化的高效預測。另外,本文不僅研究了界面效應對材料宏觀黏彈性特性退化的影響,還從細觀結構應力重分布解釋了宏觀模量退化的影響,為評估具有不完美界面的聚合物基纖維復合材料的長期性能提供了一種有效的途徑。