以皓駿設(shè)計(jì)“直線與平面垂直的判定”的積件及教學(xué)應(yīng)用

張海東

摘 要：因教學(xué)內(nèi)容的二維靜態(tài)呈現(xiàn)方式和學(xué)生動(dòng)手能力弱導(dǎo)致學(xué)生的直觀想象能力難以得以發(fā)展.本文利用皓駿軟件給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)實(shí)驗(yàn)探索的環(huán)境，借助于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，學(xué)生可以用鼠標(biāo)拖動(dòng)或觀察參數(shù)的變化來(lái)動(dòng)態(tài)認(rèn)識(shí)圖形變化的本質(zhì)，用形象直觀的動(dòng)態(tài)圖像表現(xiàn)抽象的定理，借此理解定理的形成過程.通過例題中的動(dòng)態(tài)直觀感受，更好地去理解定理的應(yīng)用，提升學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：動(dòng)態(tài)幾何；積件；垂直

“直線與平面垂直的判定”是人教A版高中數(shù)學(xué)教材必修二第二章第三節(jié)“直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)”第一課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容.教材遵循“直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證—度量計(jì)算”的認(rèn)知過程，從生活中的旗桿與地面垂直引入線面垂直的概念出發(fā)，接著通過折紙?zhí)骄浚寣W(xué)生直觀感知，然后直接給出線面垂直的判定定理，這容易讓學(xué)生難以理解.在教育信息化背景下，動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)融入數(shù)學(xué)課堂已成為解決數(shù)學(xué)重難點(diǎn)的有力手段，恰當(dāng)?shù)厥褂脛?dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)理解.本文試圖基于Hawgent皓駿動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件設(shè)計(jì)“線面垂直判定”的教學(xué)積件，利用信息技術(shù)與數(shù)學(xué)知識(shí)的有機(jī)融合，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力.

1 教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

1.1 動(dòng)手試驗(yàn)，引出定理

折紙?jiān)囼?yàn)：請(qǐng)同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形的紙片，過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌子上，要求BD和DC與桌面接觸.（1） 折痕AD與桌面垂直嗎？（2） 如何翻折才能使折痕AD與桌面所在平面垂直？

學(xué)生：我們小組經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn)和討論得出結(jié)論：折痕AD⊥BC時(shí)，就可以判斷AD垂直桌面.

1.2 基于皓駿，驗(yàn)證定理

1.2.1 積件制作步驟

（1） 繪制一個(gè)平面α和平面內(nèi)的一條直線a

首先，下拉點(diǎn)擊“3D坐標(biāo)系”得到三維坐標(biāo)系，并顯示坐標(biāo)系.點(diǎn)擊“繪制|坐標(biāo)點(diǎn)”彈出對(duì)話框，“x坐標(biāo)”“y坐標(biāo)”“z坐標(biāo)”分別輸入“2；2；-2；-2”“3；-3；-3；3”“0；0；0；0”得到坐標(biāo)點(diǎn)A（2，3，0），B（2，-3，0），C（-2，-3，0），D（-2，3，0）.按住ctrl依次選擇點(diǎn)A、B、C、D，單擊“繪制|多邊形”，得到平行四邊形ABCD.該平行四邊形ABCD用于表示平面.其次以同樣的操作方式，得到E（2，0，0），F(xiàn)（-2，0，0），接著再繪制出線段EF.該線段用于表示平面內(nèi)的一條直線.

（2） 繪制一條垂直于直線a的動(dòng)直線l

點(diǎn)擊“插入|變量尺”彈出對(duì)話框，“變量”“左端”“右端”“步數(shù)”分別輸入“θ”“0”“π”“6”.點(diǎn)擊“繪制|坐標(biāo)點(diǎn)”彈出對(duì)話框，“x坐標(biāo)”“y坐標(biāo)”“z坐標(biāo)”分別輸入“0；0”“3*cos（θ）；0”“3*sin（θ）；0”得到G（3cosθ，3sinθ，0），H（0，0，0）.點(diǎn)擊G點(diǎn)，再按住ctrl點(diǎn)H點(diǎn)，單擊“繪制|約束點(diǎn)|對(duì)稱點(diǎn)”，得到點(diǎn)G關(guān)于點(diǎn)H的對(duì)稱點(diǎn)I，接著再繪制出線段GI，該線段用于表示垂直于直線a的動(dòng)直線l.

（3） 測(cè)量角度與繪制直角標(biāo)記

首先，按住ctrl依次選擇點(diǎn)E、H、G，點(diǎn)擊“測(cè)量|角度”，得到∠EHG=90.00°再點(diǎn)擊“∠EHG=90.00°”，點(diǎn)擊鼠標(biāo)右鍵，彈出信息框，在“基本”處將測(cè)量精度改為“0”，得到∠EHG=90°.其次，點(diǎn)擊E點(diǎn)，再按住ctrl點(diǎn)H點(diǎn)，單擊“繪制|自由點(diǎn)|對(duì)象上的點(diǎn)”，得到線段EH上的自由點(diǎn)J.以同樣的操作方式繪制得到線段GH上的自由點(diǎn)K，點(diǎn)擊J點(diǎn)，再按住ctrl點(diǎn)H、K點(diǎn)，點(diǎn)擊“變換|平移”彈出對(duì)話框，點(diǎn)擊確定，得到變換點(diǎn)“L”.按住ctrl依次選擇點(diǎn)J、L、K、H，單擊“繪制|多邊形”，得到矩形JLKH.拖動(dòng)點(diǎn)J、K，將矩形調(diào)整到合適的大小，用于標(biāo)記∠EHG.接著點(diǎn)擊線段GI，再點(diǎn)擊“繪制|跟蹤”，同樣點(diǎn)擊多邊形JLKH，再點(diǎn)擊“繪制|跟蹤”，拖動(dòng)變量尺，得到線段GI隨θ的變化而改變位置，但∠EHG一直都是90°.因此，動(dòng)直線與平面內(nèi)的一條直線保持垂直.

（4） 界面的優(yōu)化

首先選中線段GI、EF，點(diǎn)擊“設(shè)計(jì)|線寬”，增加線寬，改變顏色等.其次選中多邊形ABCD、多邊形JLKH，填充顏色，降低非透明度.接著右擊對(duì)象中的“跟蹤”，在畫筆處將虛線改為“True”，增加線寬，改變顏色，降低非透明度；以及點(diǎn)擊“插入|文字表格”將直線和平面用字母表示.最后選中需要隱藏的對(duì)象，按“Ctrl+H”隱藏，得到最終效果圖1.

（5） 繪制與平面內(nèi)的兩條平行線都垂直的直線

在空間中，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，則這條直線與另一條直線也垂直.因此在前四步的基礎(chǔ)上，只需要制作與直線a平行的直線b，即可探究一條直線與平面內(nèi)兩條平行直線垂直時(shí)，直線與平面的位置關(guān)系.按照上述操作方法制作線段CD上的自由點(diǎn)M，點(diǎn)擊M點(diǎn)，再按住ctrl點(diǎn)F、E點(diǎn)，點(diǎn)擊“變換|平移”彈出對(duì)話框，點(diǎn)擊確定，得到變換點(diǎn)“N”.點(diǎn)擊M點(diǎn)，再按住ctrl點(diǎn)N點(diǎn)，單擊“繪制|線段”，得到線段MN.線段MN即為平行于直線a的直線b.最后優(yōu)化界面，增加直線b的線寬，插入文字表格表示直線b，選中需要隱藏的對(duì)象，按“Ctrl+H”隱藏，得到最終效果圖2.

1.2.2 積件的教學(xué)應(yīng)用

動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)應(yīng)用于立體幾何教學(xué)，與幾何知識(shí)深度融合，使學(xué)生樂學(xué)、善學(xué).首先，讓學(xué)生感知直線l垂直于平面內(nèi)一條直線a的情況，通過動(dòng)畫演示發(fā)現(xiàn)直線l無(wú)法始終垂直于平面α，如圖1所示；接著讓直線l垂直于平面內(nèi)兩條平行直線a和直線b，讓學(xué)生通過動(dòng)手動(dòng)態(tài)操作發(fā)現(xiàn)直線l也不能與平面保持垂直，如圖2所示；最后，讓直線l垂直于平面內(nèi)兩條相交直線a和直線b，通過直線l與直線a或直線l與直線b夾角度數(shù)的變化，從而發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線l與直線a和直線b同時(shí)垂直時(shí)，直線與平面保持垂直.

1.3 動(dòng)態(tài)分析，運(yùn)用定理

在學(xué)生初步理解線面垂直的條件后，教師出示例題，引導(dǎo)學(xué)生完成，結(jié)合信息技術(shù)，利用蒙層功能，動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)題中線面之間的關(guān)系，通過應(yīng)用加深學(xué)生對(duì)判定定理的運(yùn)用.

例題 如圖，已知點(diǎn)M是菱形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，且MA=MC.

求證：AC⊥平面BDM.

師：請(qǐng)同學(xué)們梳理清楚題中已知條件，結(jié)合圖形，看看要證明AC⊥平面BDM，還需要什么條件？

生：老師，根據(jù)菱形的性質(zhì)，我們知道AC⊥BD（如圖3），那么根據(jù)線面垂直的判定定理可知，還需要求證AC垂直于平面內(nèi)另外一條和BD相交的直線，從圖形上可以看出，在已知線段中只有MO.

師：這位學(xué)生已經(jīng)找到一對(duì)垂直關(guān)系，那請(qǐng)哪位同學(xué)來(lái)說(shuō)一下，怎么證明AC⊥MO？

生：我又看了一下題中的已知條件，MA=MC我們還沒用到，結(jié)合菱形的性質(zhì)可知點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，由△MAC為等腰三角形可知，MO⊥AC（如圖4），由AC⊥BD及MO∩BD=O，根據(jù)線面垂直判定定理可知，AC⊥平面BDM.

師：上面兩位學(xué)生回答得很好，思路清晰，語(yǔ)言嚴(yán)謹(jǐn).老師把他們的思考過程用圖形表示出來(lái)了，請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合圖形，寫出解題思路.

2 積件在教學(xué)中應(yīng)用的反思

與傳統(tǒng)教學(xué)比較，本節(jié)課利用積件將動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)與數(shù)學(xué)課堂融合，能促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：一是直觀演示，促進(jìn)理解.積件的動(dòng)態(tài)演示，幫助學(xué)生，突破空間想象難點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)線面判定定理的理解和運(yùn)用；二是測(cè)量精準(zhǔn)，助力驗(yàn)證.當(dāng)說(shuō)明直線和兩條相交直線都垂直，才能證明線面垂直時(shí)，利用角度的變化來(lái)展現(xiàn)直角關(guān)系更具有說(shuō)服力.