鋪墊設問重視反思，提升解題教學質量

韋宏芳

摘 要：占有相當比例的解題教學課需要提升解題教學質量，也對教師的備課和課堂組織提出了更高的要求.比如，課前需要深度解題，教師要想清辨明習題的深層結構，然后預設一些鋪墊問題，能為后續重點講評的較難習題提供啟發或暗示作用，在講評之后要通過回顧反思環節促進學生想深、悟透.

關鍵詞：解題教學；鋪墊設問；去情境化；回顧反思

本地區八年級上學期期末考試中有一道正方形為背景的陰影面積問題，難住了多數學生，考后訪談少數做到答案的學生也沒有說清道明，只是“彎彎繞”的解出正確結果.為此，筆者決定專門安排時間對這道考題進行深度講評，經過精心準備，取得較好的講評效果，以下是圍繞這道考題的教學“微設計”，整理出來，提供分享和研討.

1 一道八年級期末考題的教學微設計

熱身問題：已知實數a，b滿足a+b＝3，ab＝2，求a2+b2，a-b的值.

教學組織：安排學生獨立練習后，展示幾個學生的不同解答，并對解法過程進行對比，讓學生在對比中學習那些思路較優、過程較簡的好方法.

出示考題：如圖1中，有兩個正方形A，B.現將B放在A的內部得圖甲；將A，B并列放置后，構造新的正方形得圖乙，圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為1和24.若三個正方形A和兩個正方形B，如圖丙擺放，求陰影部分的面積.

解法預設：設正方形A，B的邊長各為a、b（a＞b），得圖甲中陰影部分的面積為（a-b）2＝1，①

圖乙中陰影部分的面積為（a+b）2-（a2+b2）＝24，化簡得ab＝12，②

圖丙中陰影部分的面積為（2a+b）2-（3a2+2b2），化簡得a2+4ab-b2.③

接下來的關鍵就是由條件①、②，求③式的值，也就是以下“等價問題”.

等價問題：若實數a、b（a＞b）滿足（a-b）2＝1，ab＝12，求代數式a2+4ab-b2的值.

先將③“變一變”，a2+4ab-b2＝（a+b）（a-b）+4ab＝（a+b）（a-b）+48.

接下來就是要攻克a+b，a-b的值.

由①，結合a＞b，可得a-b＝1.

再由a-b＝1，ab＝12，根據“熱身問題”的解題經驗，可求出a+b＝7或-7（負值不舍題意，舍去）.

于是（a+b）（a-b）+48＝7×1+48＝55，即③式的值為55.

答：圖丙擺放后陰影部分的面積為55平方單位.

解后回顧：引導學生先自主回顧，可提供一些反思的問題，比如“理解題意，能得出哪些條件？”“本題求解目標的關鍵是什么”“你解法過程中哪幾個步驟是最關鍵的”等等.教師在學生回答的基礎上，在PPT上出示以下三個關鍵步驟.

2 對解題教學的一些思考

2.1 重視引導學生學會審題

曹才翰、章建躍兩位先生曾就“提高解題能力”提出幾條教學措施，其中第一條就是要“培養認真審題的習慣，提高審題能力”.審題習慣與審題能力的培養需要教師長期堅持，并不是一蹴而就的.具體來說，當一道習題出示之后，要給學生獨立閱讀、理解、思考的時間，不要急于提示、啟發，在學生還沒有讀懂題意時就安排少數優秀學生直接開始解法展示.在多數學生已讀懂問題，初步理解題意之后，如果安排學生進行講解，也不要直接說解法步驟，而要通過必要的追問讓學生先理清題意，從哪個條件出發，問題的目標或方向是什么，如果是幾何題解答時學生往往是先添加輔助線，這時教師要“打斷”學生繼續推證的節奏，追問他是如何想到這條輔助線？這條輔助線是念頭是根據問題中哪個條件想到的，或者基于以前積累是哪一個基本圖形的啟示？等等.這樣的追問，有利于讓更多的學生理解“思路是如何發生發展的”.

特別是，有些問題中的條件比較隱蔽，或者是命題者經過包裝之后呈現的，審題時就是要解讀、破譯這類隱蔽的信息，對于解題速度比較快的學生可能就是迅速看懂、想清這些隱蔽信息或包裝之后的條件，教師可通過必要的提問讓學生暴露他們的思維過程，同時也向其他學生分享審題的經驗.像上文“考題”中的圖甲、甲乙、圖丙的陰影面積就是審題的關鍵，通過恰當設元，可以表示出它們的陰影面積，這是審題的進展也是后續求求解的“重要進展”.

2.2 去情境化識別等價問題

南京大學哲學系鄭毓信教授關于在文中圍繞“解題教學的幾個關鍵”曾指出要做好“問題的歸類與辨識”.在審題之后，能否準確分析出已知條件、待求結論，然后將這道問題簡化為曾經練習過的某類問題，進一步可以借助已學的數學知識、性質進行求解.這個解題進展就可看成是對問題進行了歸類與辨識.根據教學經驗，筆者發現很多情況下，學生解題的障礙大多在于問題歸類出錯、辨識不準，從而出現后續求解方向的偏差.比如上文提到的“考題”情境是用正方形紙片拼圖作為問題背景，學生需要充分審題之后才能發現本質上是已知兩數的和、積，求兩數的差.這個過程也看成是解決這類復雜情境問題的“去情境化”，如果被繁雜情境所干擾，不能突顯、簡化問題，能影響解題進展.

順便提及，鄭教授在文中還指出：“我們顯然也不應將數學解題教學與數學知識教學絕對地對立起來，而應更加重視兩者的相互滲透，即應以思維方法的分析帶動具體數學知識的教學，從而將數學課真正講活、講懂、講深.”這就說明，很多教師在新授課教學時都會精心選編一個問題情境（生活現實或數學現實或其他學科現實），然后在這些問題情境的驅動之下，抽象、分離、歸納、概括出某個數學概念的本質特征，進一步用簡潔的數學語言表達這個數學概念或得出這個數學研究對象的定義，這個過程通常稱之為去情境化.對應到解題教學中，也可以類比進行教學，比如一個復雜的情境背景之后，引導學生解讀情境問題的關鍵條件，用簡潔的數學語言來重新表示，然后把問題再變換成簡潔的數學語言（或符號語言）的呈現方式，這里問題就轉化為“等價問題”，通常情況下，等價問題多是之前學生已練習過的、熟知的某類問題，多數學生都能順利解決的.

2.3 解題之后及時回顧反思

不論是美國著名數學教育家波利亞，還是我國很多數學解題教育研究學者（如陜西師范大學羅增儒教授）都十分重視解后回顧反思的教學環節，因為反思回顧可以顯著提高解題教學的質量.一般來說，可從以下一些角度來引導學生進行解后回顧，比如復述解題思路，提煉關鍵步驟；開展一題多解，并對不同解法進行對比或優化；進行同類問題的聯想與鏈接；將問題進行推廣、一般化或者特殊化，得到與原問題相關的新問題，等等.當然具體到某道問題解題教學之后，最好教師能在課前針對這道考題預設出一些更為具體的“反思問題”（上文考題講評之后在回顧反思環節就提出一些具體的反思問題），這樣可以更好的引導學生學會反思.還可提及，不少教師在典型問題開展解題教學之后，安排部分學生以“數學寫作”的方式進行解后回顧，是一種非常值得推廣的好做法，因為學生整理解題過程并詳細自己的思考過程并進行必要的概括、拓展，是典型的深度學習.教師可以將優秀的解題隨筆、數學寫作發布家長群、班級公眾號空間進行推介，以激勵學生堅持這種回顧反思的方式.

3 結束語

應該承認，解題教學在日常教學中占有相當比例，如何提高解題教學的質量是每個教師都應該努力追求的教學目標.本文從一道地區八年級期末考題的講評出發，思考了解題教學的幾個關鍵環節（審題、“去情境化”、解后回顧），為提升解題教學質量帶來相關啟發.