基于自適應干擾觀測器的水下機器人-機械臂系統反步控制

侯冬冬 ,都軍民 ,秦麗萍 ,王 凱 ,經慧祥 ,李廣華

(1.中國船舶集團有限公司 第713 研究所,河南 鄭州,450015;2.河南省水下智能裝備重點實驗室,河南 鄭州,450015)

0 引言

近年來,海洋資源的開發和利用一直是世界各國關注的焦點。然而,由于海洋環境的復雜多變,必須借助各種設備來代替人類完成海洋探測及開采工作,水下機器人-機械臂系統(undersea vehiclemanipulator system,UVMS)正是這樣一類高科技海洋設備。由于UVMS 模型具有強非線性、強耦合和強時變等特點,且其在海洋環境中受到的擾動總不可預測,因此,設計一種可以高效抵抗擾動的控制器對于UVMS 來說至關重要。

為了解決這一難題,許多學者相繼提出針對具有未知時變擾動的多輸入多輸出(multiple input multiple output,MIMO)UVMS 建模與控制方案。Fossen[1]提出了一種基于歐拉-拉格朗日方程和牛頓-歐拉公式的模型建立公式,為基于模型的控制方法奠定了基礎。Mahesh 等[2]對水下機器人和機械臂之間的相互作用進行了系統性的闡述,為UVMS 的協調控制提供了理論基礎。

隨著控制精度的提高,需要開發更加精確的控制系統。在此背景下,幾種非線性的控制方案應運而生,例如自適應魯棒控制[3]、滑模控制[4]和基于干擾觀測器的控制(disturbance observer based control,DOBC)[5-13]。其中,DOBC 由于其在線估計未知擾動的能力,是一種有效的抗擾方法,近年來得到了廣泛的關注。Hou 等[5]提出了線性擾動觀測器的統一設計方案。Ohishi 等[6]將線性擾動觀測器應用于機器人控制。然而,線性擾動觀測器不能應用于非線性系統。Chen[7]針對一類受干擾的單輸入單輸出(single input single output,SISO)非線性系統提出了一種非線性DOBC 方法。Guo等[8]針對一類受干擾的MIMO 非線性系統提出了一種非線性DOBC 方案。Sun 等[9]將擾動觀測器和反步控制方法相結合,針對一類具有不匹配干擾的非線性SISO 系統,設計了一種復合控制器。然而,上述控制方案都是以擾動已知為前提進行設計的,這大大限制了這些控制方案的實際應用。Min 等[10]針對一類具有未知外部擾動的MIMO非線性系統提出了一種DO 穩定控制器,其有效性也在機械臂仿真中得到驗證。此外,Issam 等[11]考慮到模型的不確定性,提出了一種魯棒DOBC 方案,其中擾動觀測器用來估計一個將模型不確定性與外部擾動相結合的“集中干擾項”。然而,上述控制方案并沒有實現漸進穩定性。Zarikian 等[12]將擾動觀測器結合到反饋線性化方法中,提出了一種MIMO 系統的自適應跟蹤控制器,實現了閉環控制系統的漸近穩定性。在實際應用中,由于執行器的物理限制,系統的控制輸入也將受到影響,進而使系統的控制性能大打折扣,甚至會導致控制系統出現不穩定的情況。Chen 等[13]針對一類不確定的MIMO 非線性系統,提出了一種魯棒自適應反步跟蹤控制方案,引入輔助動態系統(auxiliary dynamic system,ADS)來解決輸入飽和的影響,最終達到了閉環控制系統的半全局穩定性。

文中針對UVMS 系統,在未知時變擾動和輸入飽和同時存在的情況下,將構造的擾動觀測器、投影算法與反步控制設計相結合,提出了一種新的魯棒自適應跟蹤控制方案。主要貢獻包括如下幾個方面。

1) 首先建立復雜環境下的UVMS 系統數學模型,UVMS 是一個復雜的系統,由水下機器人和機械臂兩部分構成,考慮了未知的有界時變量構成的復合擾動,并構造了擾動觀測器進行估計。

2) 通過反步控制算法來設計機械臂軌跡跟蹤控制器,將整個非線性系統進行拆分,使其變成多個結構簡單的非線性系統,解決了UVMS 系統的復雜控制問題。

3) 提出了針對UVMS 系統的基于擾動觀測器的魯棒自適應控制器設計方案,并對系統進行Lyapunov 穩定性分析。給出該控制器的仿真結果,并與傳統自適應反步控制器進行對比分析,從而證明了該方案的有效性。

1 UVMS 數學模型

根據Fossen[1]的建模方法建立UVMS 動力學模型

由于物理執行器的限制,實際輸入 τ會受到約束,其每個控制輸入分量可以表示為

式中: τimax和τimin分別為 τi的上界和下界;τci為要設計的命令控制輸入向量。

為后續控制設計,先給出如下假設: 假設干擾信號是未知時變的有界信號。

2 基于擾動觀測器的魯棒自適應控制器設計

由于在實際應用中,環境擾動總在變化且很難準確預測,故無法將環境擾動和建模不確定性對系統的影響分開,因此將環境擾動和未建模的動態集作為總擾動進行估計并補償。因此設計一種魯棒自適應控制跟蹤算法,使系統的輸出向量能夠跟蹤任意光滑的參考軌跡,同時保證閉環跟蹤控制系統輸出跟蹤誤差的有界性。

2.1 擾動表示與觀測器設計

假設復合擾動為未知的有界時變量,根據傅里葉變換原理將復合擾動分解為一系列具有不同振幅、相位和頻率的正弦信號的疊加,則有

式中:p為正弦信號的個數;ai,j,Ωi,j和 φi,j分別為第j個未知信號的振幅、頻率和相位。

首先將未知的時變擾動描述為可觀測且特征值均為純虛數的多元未知參數線性外系統的輸出。進一步,該線性外系統被表示為一個可控正則模型,其中擾動被描述為一個多元線性回歸模型。對于正則模型而言,減少過度擬合的一個好辦法就是對模型正則化(即約束): 其擁有的自由度越低,就越不容易過度擬合數據。比如,將多項式模型正則化的簡單方法就是降低多項式的階數。對線性模型來說,正則化通常通過約束模型的權重來實現。常見的對權重進行約束的方法有嶺回歸、套索回歸及彈性網絡。然后構造一個觀測器來給出其估計,最終將擾動表示為線性參數形式。

根據式(8),擾動向量d可表示為以下線性外系統的輸出

式中: χ ∈R2p為系統狀態向量;S∈R2p×2p為系統矩陣;V∈Rn×2p為輸出矩陣。S和V未知,S的所有特征值都是純虛數,且(S,V)是可觀測的。

為了方便實現對擾動的在線估計,將線性外系統式(9)轉化為正則模型,則d可以表示為標準形式的輸出向量

式中:H∈R2p×2p和L∈R2p×n是可設計矩陣且可控,H應滿足Hurwitz 條件。回歸參數矩陣Θ=(VF-1)T∈R2p×n未知,正則模型狀態向量? ∈R2p與系統狀態向量 χ的關系為

其中,F∈R2p×2p是以下方程的解

從式(9)與(11)可得

此外,通過式(11)可得

將式(14)代入(13)得到

從而式(10)得證。

多元線性外系統式(9)的正則表達式(10)在解決干擾抵消問題中起著關鍵作用。回歸矩陣 Θ未知,其依賴于線性外系統式(9)的未知矩陣S和V。由于式(10)中擾動輸入未知,故正則模型狀態向量?無法利用。為了估計 ?,構造如下干擾觀測器

對上式求導可得

式中,Ed為以指數形式衰減的誤差項。

2.2 魯棒自適應控制器設計

在魯棒自適應跟蹤控制設計之前,先給出投影算法的定義如下。

式中,‖·‖表示向量的2-范數。

反步控制算法通過引入虛擬的控制變量,使其變為許多個結構簡單的非線性系統,通過選擇適當的Lyapunov 函數保證2 個連續的子系統中前系統的穩定性,最后推導出整個系統的控制律和自適應律,使系統的性能和指標達到設計要求。但在擾動較多或模型參數發生變化時,反步算法的控制性能會大幅度降低,所以通過在系統中引入干擾觀測器來解決這一問題。帶反步控制器的水下機器人軌跡跟蹤系統結構如圖1 所示。

圖1 控制系統結構圖Fig.1 Structure of control system

定義UVMS 的軌跡跟蹤誤差為

式中,xd為其軌跡跟蹤位置。對上式進行求導,可以得到

定義虛擬控制量

定義誤差變量

對上式求導可得

定義Lyapunov 函數

對上式進行求導,得

故式(31)可寫為

為了補償飽和輸入的影響,引入如下輔助動力系統

設計魯棒自適應跟蹤控制律

其中,自適應更新律為

定理: 考慮UVMS 動力學系統(1)及輸入飽和非線性(7)與復合擾動(8)。基于干擾觀測器(17)與輔助動態系統(34),可設計魯棒自適應跟蹤控制律(36)及自適應律(37)～(40),上述自適應控制器可以使閉環系統的跟蹤誤差信號及其余信號都是一致有界的。

2.3 穩定性設計

考慮增廣Lyapunov 候選函數

1) 當‖ξ‖≥σ時,根據?=1的楊氏不等式,由式(34)得到

式中,μ=min{μ1,μ2}且設計參數K2和Kξ滿足

3 仿真結果與分析

基于UVMS 的工作特點,對帶有兩連桿(連接關節n=2)的UVMS 的航行軌跡和機械臂旋轉軌跡進行跟蹤實驗,并且將實驗結果與比例積分微分(proportional integral derivative,PID)控制進行對比。其中對PID 參數進行選取時,分別采用多組參數查看PID 控制器作用下的跟蹤效果,將效果最優情況下的PID 參數進行對比實驗。PID 參數的設置步驟一般如下:

1) 首先加入比例環節,調節比例系數,直到系統的輸出出現臨界振蕩;

2) 若單獨的比例環節不能滿足設計要求,則此時加入積分環節,調整好的比例系數縮小為原來的0.8 左右,然后調節積分時間參數,使得系統能保持較小的穩態誤差和較小的振蕩時間,此時可以同時調整比例系數和積分時間常數,以得到較為滿意的結果;

3) 進一步增加微分環節,從小到大逐漸增加微分時間常數,同時相應地更改比例系數和積分時間,試湊出合適參數。

為了驗證控制器對位置快速變化的跟蹤能力,將水下機器人在X、Y、Z這3 個方向的運動軌跡與偏航角設定為

圖2 與圖3 分別給出了基于自適應干擾觀測器的反步控制和PID 控制作用下,UVMS 軌跡跟蹤情況。

圖2 基于自適應干擾觀測器的反步控制作用下UVMS 本體跟蹤情況Fig.2 The tracking results of UVMS under the backstepping control based adaptive disturbance observer

圖3 PID 控制的UVMS 本體跟蹤情況Fig.3 The tracking results of UVMS under PID controller

從圖2 中可以看出,在給定水下機器人的初始位置坐標和預定的運動軌跡后,水下機器人的坐標位置能夠快速完成預定軌跡跟蹤任務,系統響應速度較能快速且高精度跟蹤預定軌跡,而圖3 所示的方法雖然也可以完成軌跡跟蹤,但是在軌跡擬合穩態精度上卻存在一定的誤差。

圖4 給出了文中方法和PID 方法下,在X、Y、Z方向和偏航角的不同自由度下的軌跡跟蹤誤差,從圖中可以看出,文中提出方法在X、Y、Z方向跟蹤誤差均較小,在偏航角上的跟蹤誤差差別也不大。

圖4 2 種方法分別作用下的軌跡跟蹤誤差Fig.4 Tracking errors under two different control methods

為進一步驗證所提方法與PID 方法對機械臂關節的控制作用,在5 s 時讓機械臂最外的連桿末端拾取一個質量為10 kg 的物體,為機械臂引入干擾,得到如下仿真結果,如圖5～圖7 所示。圖6 給出了2 種控制器作用下,關節角度跟蹤誤差的變化情況。可以看出,在進行水下機器人軌跡跟蹤的過程中,水下機械臂由于連接在水下機器人本體上,在仿真開始階段其連桿角度和力矩會受到較大干擾,但是在水下機器人軌跡跟蹤穩定后,機械臂的狀態也隨之穩定。在仿真進行5 s 后,對水下機械臂外側連桿引入質量為10 kg 的物體干擾時,連桿1 的角度在輕微擾動后迅速恢復至穩定狀態,而由于擾動直接加在連桿2 末端,其擾動相對于連桿1 偏大,但也能夠在短時間內恢復至預設狀態。對水下機器人x、y、z等3 個自由度分別施加不同頻率不同大小的干擾，觀察干擾觀測器進行干擾估計情況,估計情況由圖7 給出。圖中F0為擾動力,從圖中可以看出,干擾觀測器對于干擾可以進行有效的估計并給出補償。

圖5 關節1 的角度跟蹤誤差Fig.5 Tracking errors of the joint 1

圖6 關節2 的角度跟蹤誤差Fig.6 Tracking errors of the joint 2

圖7 干擾觀測器估計效果Fig.7 The effect of disturbance observer

4 結束語

文中通過自適應干擾觀測器進行擾動估計,通過設計輔助動力系統調節控制的輸入幅值,并進一步設計基于自適應干擾觀測器的反步控制器,以達到良好的跟蹤與抗干擾效果,使控制系統的跟蹤誤差保持一致有界,使UVMS 在穩定的同時提高響應速度。最后通過仿真實驗驗證了所提控制器的有效性。

下一步將針對6 關節UVMS 存在的未知參數攝動與未知擾動問題,對自適應干擾觀測器進行改進,并開發相應的自適應控制算法。