采用彈體追蹤導引律的旋轉彈錐形運動穩定性

宋金超,趙良玉

(北京理工大學 宇航學院,北京 100081)

0 引言

隨著信息化和智能化戰爭時代的來臨,未來戰場環境日益復雜,制導武器也朝著智能化、多樣化、低成本化和協同一體化發展。旋轉彈憑借其提高突防能力、降低制造成本并簡化控制系統結構等獨特優勢,在制導武器序列中牢牢占據著不容忽視的一席之地,受到了世界各軍事強國的廣泛關注和大力發展[1-3]。與非旋轉彈不同,旋轉彈在飛行過程中存在著由自旋引起的彈體俯仰和偏航通道耦合,并可能導致彈體出現不收斂的錐形運動,從而發生射程降低甚至中途掉彈的現象[4-5]。從20世紀50年代開始,錐形運動穩定性一直是旋轉彈領域的研究重點和熱點,國內外專家學者均對其進行了系統深入的研究,并得到了一系列的旋轉彈動態穩定性條件[6-9]。

固聯于彈體的全捷聯導引頭由于生產成本低、結構簡單且可靠性高,成為低成本末制導旋轉彈用來獲取目標信息的優先選擇。由于捷聯導引頭與彈體固聯并跟隨彈體一起旋轉,其響應延遲和陀螺標度因數誤差則可能會影響錐形運動的穩定性,并因此顯著減小制導控制系統的穩定區域[10-13]。Park[14]針對帶有捷聯導引頭的旋轉彈,分析了導引頭視線角約束對其動態穩定性的影響。對于捷聯導引頭來說,視線角速度信息不能直接測量,需要通過綜合導引頭與彈載角速率陀螺儀的測量值得到。這兩個元件動力學模型的差異,將不可避免地在制導控制系統中引起額外的寄生回路,從而對彈體的系統穩定性產生影響。對此,Li等[15]考慮導引頭干擾抑制率引起的寄生回路對彈體姿態的影響,推導出相應的動態穩定性條件。Zheng等[16]考慮雷達天線罩引起的寄生回路影響,對系統的穩定性進行了分析。同時,捷聯導引頭和角速率陀螺之間存在的標度因數差異,會對旋轉彈體錐形運動穩定性產生影響,He等[17]建立了標度因數誤差引發的寄生回路作用下的旋轉導彈錐形運動穩定性條件。Hu等[18]對采用比例導引方式的旋轉彈動態穩定性進行了研究,并基于線性化的動力學模型,建立了其動態穩定的充要條件。然而,已有文獻均未對彈體追蹤導引方式的旋轉彈錐形運動穩定性進行研究。

彈體追蹤導引律可以避免采用傳統比例導引律攻擊機動目標時視線角速度發散的問題,從而保證導引頭有效探測、追蹤目標,具有一定的工程應用價值。一些末制導旋轉彈為保證其低成本、易裝配、便發射等優勢,常采用彈體追蹤導引律來保證打擊精度,如某型采用捷聯式半主動激光導引頭的旋轉彈就采用了彈體追蹤導引律[19]。這類旋轉彈直接使用姿態角反饋信息生成控制指令,與采用比例導引律的制導控制系統相比具有較大區別,有必要對其可能誘發的錐形運動穩定性進行深入研究。

本文在考慮捷聯導引頭響應延遲和角速率陀螺儀標度因數誤差的情況下,對使用彈體追蹤導引律的旋轉彈動態穩定性進行研究。首先在非旋轉彈體坐標系中,推導了隨彈體旋轉的捷聯導引頭動力學模型,并結合彈體動力學模型構造了復數形式的彈體追蹤制導控制系統模型;接著,分別考慮捷聯導引頭響應延遲和角速率陀螺儀標度因數誤差的影響,通過數學仿真得到制導控制系統的穩定區域,并進行算例驗證。通過分析發現,導引頭響應延遲和陀螺標度因數誤差均對穩定區域有一定影響,且阻尼回路可以顯著提高穩定區域上限,但彈體轉速的提高會減小穩定區域上限。

1 捷聯導引頭彈體追蹤制導控制系統

1.1 坐標系定義及轉換

旋轉彈一般具有軸對稱結構,可以假設其在滾轉過程中,任意位置均具有相同的空氣動力學特性及慣性質量特性。因此,一般在非旋轉坐標系下對其制導控制系統進行建模分析。本文主要圍繞末制導旋轉彈的錐形運動穩定性開展研究,使用的坐標系包括非旋轉彈體坐標系和旋轉彈體坐標系。

非旋轉彈體坐標系Oxnynzn：坐標原點為旋轉彈彈體瞬時質心的位置O;Oxn軸與彈體縱軸重合,指向頭部為正;Oyn軸位于鉛垂面內,與Oxn軸垂直且指向上方為正;Ozn軸垂直于Oxnyn平面并通過右手定則確定。

旋轉彈體坐標系Oxbybzb：坐標原點為旋轉彈瞬時質心的位置O;Oxb軸與彈體縱軸重合,指向頭部為正;Oyb軸位于彈體縱向對稱面內,與Oxb軸垂直且指向上方為正;Ozb軸垂直于Oxbyb平面并通過右手定則確定。

由于非旋轉彈體坐標系是系統的參考坐標系,需要將旋轉彈體坐標系中測量得到的誤差角速度變換到非旋轉彈體坐標系中,從而在非旋轉彈體坐標系中產生追蹤制導指令,二者之間的轉換關系如圖1所示。

圖1 非旋轉彈體坐標系與旋轉彈體坐標系之間的轉換Fig.1 Conversion between non-spinning and spinning missile coordinate systems

(1)

1.2 旋轉彈的運動學方程

旋轉彈在飛行過程中的質心動力學方程[20]和繞質心轉動運動學方程分別為

(2)

(3)

式中：u、v、w分別為非旋轉彈體坐標系下的導彈速度;p、q、r分別為非旋轉彈體坐標系下的導彈角速度;Fx、Fx、Fz分別為作用在旋轉彈上的空氣動力;P為推力;m為旋轉彈質量;g為重力加速度;ψ為旋轉彈偏航角姿態角;?為旋轉彈俯仰角姿態角;Mx、My、Mz為作用在旋轉彈上的氣動力矩;Ix和It為極轉動慣量和赤道轉動慣量。

圖2 攻角側滑角示意圖Fig.2 Angle of attack and angle of side-slip

導彈速度矢量可表示為

(4)

且有

α=arctan(w/u),β=arcsin(v/V)

(5)

式中：V為導彈速度標量。

引入復變量：復攻角σ=β+iα,復姿態角ξ=ψ+i?,復舵偏角指令δ=-δz+iδy。

對于采用較小尺寸舵片的鴨式低速制導旋轉彈而言,其馬格努斯力和鴨舵產生的升力相對較小,因此在穩定性分析中可以將其忽略。僅考慮線性化后的氣動力,并且將攻角和側滑角視為小量,則施加于彈體的氣動力可以表示為

(6)

式中：Q為動壓,Q=ρV2/2,ρ為空氣密度;S為參考面積;CD為彈體阻力系數;CLα為彈體升力系數對攻角的斜率。

在非旋轉彈體坐標系中,作用于導彈的氣動力矩為

(7)

式中：l為特征長度;C1和Clp分別為導轉力矩系數和滾動阻尼力矩系數;Cmα為靜態力矩系數;Cmpα為馬格納斯力矩系數;Cmq為橫向阻尼力矩系數;Cmδ為控制力矩系數。

(8)

忽略式(5)、式(6)中的高階項,導彈的橫向運動方程可以寫為

(9)

可以簡寫為

(10)

彈體的橫向即俯仰和偏航通道的過載可以表達為

(11)

1.3 彈體追蹤導引律的彈目視線關系

以采用軸對稱彈體結構和鴨式氣動布局的末制導旋轉彈為例,在彈體追蹤導引律的作用下,彈體縱軸在攻擊目標過程中始終努力指向目標[22]。對于軸對稱彈體而言,其在俯仰和偏航方向具有相同的運動特性,以圖3所示俯仰平面彈目視線(LOS)關系為例：圖3中,qy為非旋轉彈體坐標系中俯仰平面的真實彈目視線角,εy為彈目視線和彈體縱軸之間的誤差角,xg為基準線,xs為彈目視線,Vr為彈體相對于目標的速度。。

圖3 俯仰平面彈目視線關系圖Fig.3 Relationship of missile-to-target LOS in pitch plane

與平臺導引頭不同,捷聯導引頭與旋轉彈彈體固聯,視線角信息無法直接測量獲得。需要用陀螺儀測量的姿態角速度減去通過導引頭得到視線與彈體坐標系縱軸之間的誤差角速度,從而得到視線角速度。通過圖3中的彈目視線之間關系可以得到,俯仰平面的視線角可表示為

qy=?-εy

(12)

使用彈體追蹤導引律時,由于存在彈目視線與彈體縱軸的偏差[23],為了使二者重合引入的俯仰平面視線角速度可以表示為

(13)

對于鴨式布局的彈體結構,正的舵偏角將引起正的攻角和正的側滑角,正的非旋轉攻角將產生正的俯仰加速度,正的側滑角將產生負的偏航加速度[24]。得到偏航平面的視線角為

qz=ψ-εz

(14)

則偏航平面的視線角速度為

(15)

式中：qz為非旋轉彈體坐標系中偏航平面的真實彈目視線角;εz為彈目視線和彈體縱軸之間的誤差角。

由圖3可知,俯仰平面的彈體追蹤導引律可描述為

?c=qy

(16)

即姿態角控制指令等于彈目視線角,?c為俯仰平面的控制指令。將式(16)代入式(12)中可知,當使用俯仰角?反饋回路進行控制時,可以得到

εy=?-?c

(17)

同樣,得到偏航方向彈體追蹤制導律方程為

εz=-ψ-(-ψc)

(18)

式中：ψc為偏航平面的控制指令。

圖4 捷聯導引頭彈體追蹤系統結構圖Fig.4 APG system of the strapdown seeker

1.4 旋轉彈的動力學方程

(19)

(20)

根據文獻[10]和文獻[11]可以得到捷聯導引頭在彈體坐標系下的動力學方程：

(21)

(22)

(23)

(24)

因此,非旋轉彈體坐標系中導引頭系統輸入和輸出之間的關系為

(25)

(26)

(27)

(28)

根據圖4所示的捷聯導引頭彈體追蹤系統結構圖,可以得到非旋轉彈體坐標系下用于彈體追蹤制導方式的測量視線角速度：

(29)

由于捷聯導引頭存在響應延遲,旋轉彈俯仰和偏航通道中測得的視線角速度將會發生交叉耦合,耦合后的制導指令為

(30)

1.5 舵機系統控制指令

舵面偏轉指令由制導指令轉換得到,如圖4所示。對具有姿態角反饋回路的控制系統,其舵機控制指令δcy和δcz[4]可表示為

(31)

將式(30)代入式(31)中,得到非旋轉彈體坐標系中的舵偏角指令為

(32)

為便于對系統進行動態穩定性分析,在姿態控制指令為零時,即姿態角速度指令為零時對彈體錐形運動穩定性進行分析,式(32)可以改寫為

(33)

在旋轉彈運動的過程中,恒定指令將使鴨式舵生成諧波響應。考慮固有頻率1/Ts、阻尼比μs、指令傳輸延遲τ1,對舵機系統進行建模。得到非旋轉彈體坐標系中舵機輸入和輸出之間的關系[20]為

(34)

(35)

旋轉運動下舵機系統的動力學增益為

(36)

舵機的總延遲角為

(37)

2 考慮導引頭響應延遲的旋轉彈穩定性分析

2.1 系統的動態穩定性條件

(38)

將式(10)、式(33)、式(34)、式(38)整合,可以得到復數形式下的旋轉彈制導控制線性化方程：

(39)

式中：ksr=kskr;kdh=kdkh。

基于式(39),可以得到旋轉彈制導控制系統的線性化微分方程為

(40)

式(40)的特征方程為

λ2+(m1+in1)λ+(m2+in2)=0

(41)

式中：

(42)

(43)

定義多項式F0=λ2+(m1+in1)λ+(m2+in2)和F1=m1λ2+in2,連分式的展開形式可以寫為

(44)

根據復系數系統穩定性定理[20],式(44)所有根的實部在復平面左半邊的充分必要條件是r1>0且r2>0,因此該系統動態穩定性條件可以寫為

(45)

2.2 不考慮導引頭響應延遲

假設捷聯導引頭不存在相位滯后和穩態誤差,也不存在信號解算延遲,設導引頭系統增益kd=1,則且λg=0。在不考慮導引頭響應延遲的情況下,通道之間的耦合作用可以忽略,因此可忽略升力、推力以及旋轉彈的位移運動,彈體的姿態運動可以僅用攻角運動來描述,即a1=0。對于低轉速制導旋轉彈而言,其馬格努斯力矩和陀螺力矩項相對較小,因此在穩定性分析中可以將其忽略,即b12=0且b22=0,忽略小量a1b21。在不考慮陀螺標度因數誤差的情況下,kf=1。因此,可以將式(42)、式(43)簡化寫為

(46)

(47)

得到簡化后的穩定條件為

(48)

系統增益ksr的表達式為

(49)

式中：ks為舵機系統增益,是個常數。

表1 旋轉彈參數表Table 1 Parameters of spinning missile

表2 無延遲角的制導回路增益下限Table 2 Lower limit of the control and guidance loop gain without delay angle

2.3 考慮導引頭響應延遲

捷聯導引頭的響應延遲會導致偏航、俯仰兩個通道測得的視線角速度產生耦合,進而導致制導指令交叉耦合,從而系統的穩定條件發生變化,系統穩定的充要條件為式(45)。同樣忽略馬格努斯力矩和陀螺力矩項,即b12=0且b22=0。同時考慮捷聯導引頭的時間常數Td相對較小,則導引頭的動態增益可以假定為kh=1,且認為導引頭的延遲角λg為小量。因此有cosλg≈1和sinλg≈λg。導引頭系統增益kd通常取1,忽略小量a1,b21,可以將式(42)、式(43)化簡為

(50)

(51)

該系統的動態穩定性條件仍為式(45),將式(50)、式(51)代入式(45),得到穩定條件為

(52)

在旋轉彈的設計中,通常限制舵機總延遲角λt≤90°,因此下列討論都建立在此基礎上。由于b3>0,則式(52)中的第1式可以化簡為

(53)

式(52)中第2式為制導回路增益kc關于阻尼回路增益kω的3次不等式。由于計算比較復雜,不便于直觀分析,因此采用數值方法分析制導回路對錐形運動穩定性的影響。控制指令增益的下限為式(53),對制導回路增益kc上限進行求解。旋轉彈錐形運動的穩定性與制導控制系統的制導回路增益kc及阻尼回路增益kω相關,因此穩定區域上限通過對兩個回路增益進行設計得到。同樣基于表1給出的旋轉彈參數,使用數值方法可確定彈體的穩定性條件。

考慮導引頭響應延遲,分別令導引頭延遲角為λg=3°和λg=6°,得到在不同彈體轉速及阻尼回路增益時,使系統穩定的制導回路增益取值上限,分別如表3和表4所示。

表3 λg=3°制導回路增益上限Table 3 Upper limit of the loop gain with λg=3°

表4 λg=6°制導回路增益上限Table 4 Upper limit of the loop gain with λg=6°

對比分析表2、表3和表4可以得出,當不存在導引頭延遲時,使系統穩定的kc僅在下限。當存在導引頭延遲的情況下,若其他參數不變,則導引頭延遲對使系統穩定的制導回路增益有消極影響,會導致原本僅存在下限的系統穩定的制導回路增益出現上限。且延遲角越大,系統穩定的kc上限越小。當延遲角增大一倍時,系統穩定的制導回路增益上限減小一半。同時可以看出,系統穩定的控制回路增益上限隨阻尼回路參數增大而增大,隨轉速增大而減小,說明阻尼回路可以提高穩定上限,而轉速增加會降低穩定上限。

2.4 案例分析

分別選取不同彈體轉速和阻尼回路增益,對2.2節及2.3節中得到的制導回路增益穩定上限,進行算例驗證。

首先對不考慮導引頭響應延遲的制導控制系統進行數值仿真,選取不同的彈體轉速和阻尼回路增益,分別驗證系統在不同制導回路增益下的穩定性。

圖5(a)給出了彈體轉速p=4π rad/s,阻尼回路增益kω=0.05,制導回路增益kc=2時的彈體復攻角ξ=β+iα的變化情況,此時kc滿足系統動態穩定性條件,可觀察到該錐形運動的收斂現象。當p=8π rad/s、kω=0.1、kc=200時,如圖5(b)所示,彈體錐形運動同樣收斂。圖5(c)給出了p=12π rad/s、kω=0.2、kc=1 000時系統穩定的情況。

圖5 不考慮導引頭響應延遲的收斂錐形運動Fig.5 Convergent coning motion without considering seeker delay response

然后對考慮導引頭響應延遲的制導控制系統進行數值仿真,選取導引頭延遲角λg=3°,彈體轉速p=8π rad/s,阻尼回路增益kω=0.1。圖6給出了kc=400時的彈體復攻角ξ=β+iα的變化情況,此時kc滿足系統動態穩定性條件,可觀察到該錐形運動的收斂現象。當kc=474.4時,彈體錐形運動處于臨界穩定狀態,此時復攻角處于等幅振蕩狀態(見圖7)。圖8給出了kc=500時復攻角的變化情況,此時制導回路增益kc大于穩定上限,錐形運動出現發散。

圖6 λg=3°時收斂的錐形運動Fig.6 Convergent coning motion with λg=3°

圖7 λg=3°時彈體臨界穩定的錐形運動Fig.7 Critical stable coning motion with λg=3°

圖8 λg=3°時彈體發散的錐形運動Fig.8 Divergent coning motion with λg=3°

選取導引頭延遲角λg=6°,彈體轉速p=4π rad/s,阻尼回路增益kω=0.05。

圖9給出了kc=100時的彈體復攻角ξ=β+iα的變化情況,此時kc滿足系統動態穩定性條件,可觀察到該錐形運動收斂。當kc=161.9時,彈體錐形運動處于臨界穩定狀態,此時復攻角等幅振蕩(見圖10)。圖11給出了kc=250時復攻角的變化情況,此時制導回路增益大于穩定上限,錐形運動出現發散。

圖9 λg=6°時收斂的錐形運動Fig.9 Convergent coning motion with λg=6°

圖10 λg=6°時彈體臨界穩定的錐形運動Fig.10 Critical stable coning motion with λg=6°

圖11 λg=6°時彈體發散的錐形運動Fig.11 Divergent coning motion with λg=6°

根據仿真圖5～圖11可以看出,在不同的導引頭延遲角、彈體轉速及阻尼回路增益下,數值解得的旋轉彈穩定上限與仿真結果高度一致,證明了第1節和第2節理論分析和數值解算方法的正確性。

3 考慮陀螺標度因數誤差的穩定性分析

根據圖4及式(23),當陀螺存在標度因數誤差時,誤差系數kf≠1,分別在不考慮導引頭響應延遲和考慮導引頭響應延遲的情況下,分析陀螺標度因數誤差對旋轉彈穩定性的影響。

3.1 不考慮導引頭響應延遲

在不考慮導引頭響應延遲的情況下,有kdh=1且γg=0,此時指令之間不存在耦合,可以忽略升力、推力以及旋轉彈的位移運動,彈體的姿態運動可以僅用攻角運動來描述,即a1=0。

對于低速制導旋轉彈而言,忽略馬格努斯力矩和陀螺力矩,即b12=0且b22=0。可以將式(42)簡化為

(54)

式(43)仍可化簡為式(47)。

系統穩定條件與2.2節中的式(45)相同。得到簡化的穩定條件為

(55)

在陀螺標度因數誤差為kf=1.004及kf=0.996時,使用表1所示的旋轉彈參數,在不同的阻尼回路增益及彈體轉速下,使用數值方法確定彈體的穩定性條件如表5及表6所示。

表5 kf=1.004無延遲角的制導回路增益上限Table 5 Upper limit of the loop gain at kf=1.004

表6 kf=0.996無延遲角的制導回路增益上限Table 6 Upper limit of the loop gain at kf=0.996

3.2 考慮導引頭響應延遲

對于末制導旋轉彈,在考慮捷聯導引頭響應延遲的情況下,再綜合考慮陀螺標度因數誤差,仍然滿足b12=0且b22=0、導引頭的動態增益可以假定為kh=1,cosγg≈1和sinγg≈γg。導引頭系統增益kd

通常取1,忽略小量a1b21,式(42)、式(43)可以化簡為

(56)

(57)

下列討論同樣建立在γt≤90°的基礎上,由于a1-b21>0,則式(55)中的第1式恒成立。使用復數線性系統穩定性判別方法,可獲得解析式的穩定性條件,但計算比較復雜,不便于直觀分析。采用數值方法分析制導回路對錐形運動穩定性的影響,此時旋轉彈錐形運動的穩定性與制導控制系統的制導回路增益kc及阻尼回路增益kω相關,故穩定區域通過對兩個回路增益進行設計得到。基于表1所示的旋轉彈參數,使用數值方法來確定彈體的穩定性條件。

分別令導引頭延遲角為λg=3°和λg=6°。使系統穩定的控制制導回路增益下限為kc>0,分別求得陀螺標度因數誤差為kf=1.004及kf=0.996時,在不同彈體轉速及阻尼回路增益下,使系統穩定的控制制導回路增益取值上限如表7～表10所示。

表7 kf=1.004,λg=3°制導回路增益上限Table 7 Upper limit of the loop gain with, kf=1.004,λg=3°

表8 kf=0.996、λg=3°制導回路增益上限Table 8 Upper limit of the loop gain with kf=0.996,λg=3°

表9 kf=1.004、λg=6°制導回路增益上限Table 9 Upper limit of the loop gain with kf=1.004,λg=6°

表10 kf=0.996、λg=6°制導回路增益上限Table 10 Upper limit of the loop gain with kf=0.996,λg=6°

將表7～表10進行對比可知,考慮陀螺標度因數誤差時,在其他參數不變的情況下,系統穩定的制導回路增益上限隨阻尼回路參數增大而增大,隨轉速增大而減小,說明阻尼回路可以顯著提高穩定上限,而轉速增加會降低穩定上限。在其他參數不變的情況下,陀螺標度因數誤差對穩定區域上限有較小的影響,且當標度因數誤差系數大于1時且增大0.4%時,穩定上限會變大0.5%;標度因數誤差系數小于1且減小0.4%時,穩定上限會變小0.5%。

3.3 案例分析

分別選取不同的彈體轉速和阻尼回路增益,對3.1節及3.2節中得到的制導回路增益上限,進行算例驗證。

首先對不考慮導引頭響應延遲,僅考慮陀螺標度因數誤差的制導控制系統進行數值仿真,選取不同的彈體轉速和阻尼回路增益,分別驗證系統在不同制導回路增益下的穩定性。

設置陀螺標度因數誤差系數kf=1.004。圖12(a)給出了p=4π rad/s、kω=0.05、kc=5時的彈體復攻角ξ=β+iα的變化情況,此時kc滿足系統動態穩定性條件,可觀察到該錐形運動的收斂現象。圖12(b)給出了p=8π rad/s、kω=0.10、kc=50時彈體錐形運動的收斂情況。圖12(c)給出了p=12π rad/s、kω=0.20、kc=300時錐形運動收斂的情況。

圖12 僅考慮陀螺標度因數誤差的收斂錐形運動Fig.12 Convergent coning motion considering the gyro scale-factor error

然后,考慮導引頭響應延遲,對不同延遲角和陀螺標度因數下的旋轉彈錐形運動穩定性進行仿真驗證。選取彈體轉速p=8π rad/s,阻尼回路增益kω=0.10,導引頭響應延遲角λg=3°,陀螺標度因數誤差kf=1.004。圖13給出了kc=450時的彈體復攻角ξ=β+iα的變化情況,此時kc滿足系統動態穩定性條件,可觀察到該錐形運動收斂。

圖13 λg=3°、kf=1.004時收斂的錐形運動Fig.13 Convergent coning motion with λg=3°、kf=1.004

當kc=475.6時,彈體錐形運動處于臨界穩定狀態,此時復攻角等幅振蕩,如圖14所示。圖15給出了kc=490時復攻角的變化情況,此時制導回路增益kc大于穩定上限,錐形運動發散。

圖14 λg=3°、kf=1.004時臨界穩定的錐形運動Fig.14 Critical stable coning motion with λg=3°、kf=1.004

圖15 λg=3°、kf=1.004時發散的錐形運動Fig.15 Divergent coning motion with λg=3°、kf=1.004

選取導引頭延遲角λg=6°,彈體轉速p=8π rad/s,阻尼回路增益kω=0.1,陀螺標度因數誤差kf=0.996。圖16給出了kc=190時彈體復攻角ξ=β+iα的變化情況,此時kc滿足系統動態穩定性條件,可觀察到該錐形運動收斂。當kc=224.9時,彈體錐形運動處于臨界穩定狀態,此時復攻角等幅振蕩,如圖17所示。圖18給出了kc=260時復攻角的變化情況,此時制導回路增益kc大于穩定上限,錐形運動出現發散。

圖16 λg=6°、kf=0.996時收斂的錐形運動(kc=190)Fig.16 Convergent coning motion with λg=6°、kf=0.996

圖17 λg=6°、kf=0.996時臨界穩定的錐形運動Fig.17 Critical stable coning motion with λg=6°、kf=0.996

圖18 λg=6°、kf=0.996時彈體發散的錐形運動Fig.18 Divergent coning motion with λg=6°、kf=0.996

根據仿真圖12～圖18可以看出,在不同的陀螺標度因數誤差、彈體轉速及阻尼回路增益下,數值解得的旋轉彈穩定區域與仿真結果高度一致,同樣證明了理論分析和數值解算方法的正確性。

4 結論

1) 本文針對采用捷聯導引頭和彈體追蹤導引律的旋轉彈,推導了捷聯導引頭在非旋轉彈體坐標系中的動力學模型,并建立了復數形式的彈體追蹤制導控制系統數學模型。

2) 考慮不同程度的導引頭響應延遲,獲得了不同彈體轉速及阻尼回路增益下的旋轉彈動態穩定區域,發現延遲角越大,使系統穩定的制導回路指令增益kc上限越小。

3) 考慮不同的陀螺標度因數誤差,獲得了不同彈體轉速及阻尼回路增益下的旋轉彈動態穩定性區域,發現標度因數誤差系數大于1時,使系統穩定的制導回路指令增益kc上限會變大;標度因數誤差系數小于1時,穩定上限會變小。