基于三角函數正交性的永磁伺服系統機械參數辨識

朱其新,姜晨艷,張國平,朱永紅

(1.蘇州科技大學 機械工程學院,江蘇 蘇州 215009;2.蘇州科技大學 建筑智慧節能江蘇省重點實驗室,江蘇 蘇州 215009;3.深圳市大族機器人有限公司,廣東 深圳 518058;4.景德鎮陶瓷大學 機電工程學院,江西 景德鎮 333001)

0 引言

永磁同步電機(Permanent Magnet Synchronous Motor,PMSM)是一種以永磁體進行勵磁以實現電能與機械能轉換的執行機構,其具有良好的低速性能、快速的動態響應、小的轉動慣量和高的轉矩電流比,能夠很好地滿足高性能伺服驅動器的要求,在協作機器人、新能源等領域中得到了廣泛的應用[1-2]。在PMSM應用層面不斷拓寬的同時,各領域的飛速發展對永磁伺服系統提出了更高的要求,要求其能夠在全轉速、全轉矩范圍內控制精確、穩定性好、動態響應快、波動小及對參數不確定據有良好的自適應性等[3],即需要設計優異的速度環控制器和位置環控制器[4]。

為提高控制器的性能,準確獲取轉動慣量、黏滯摩擦系數、庫侖摩擦系數等系統機械參數具有重要意義[5-6]。以工業機器人為例,在運動過程中由于其末端位姿與位置的變化,機器人各軸的負載與轉動慣量會發生實時的變化。外在負載擾動的存在將導致機器人各軸伺服系統不能準確匹配,進而導致各軸電機出現振蕩、諧振的現象。在永磁同步伺服電機的參數中,電機負載轉動慣量的變化對伺服控制系統的機械性能影響最大,當伺服控制系統內部所設置的轉動慣量值比實際負載轉動慣量大,會降低系統的動態性能與控制精度,相應地若是參數值設置過小,系統響應會加快,但會導致系統速度超調、波動的現象[7]。基于系統數學模型的控制器能夠擁有良好性能的前提是機械參數精確,然而在大多數情況下,永磁伺服系統在工作中面臨著包括機械參數變化和摩擦在內的多種非線性擾動,控制性能無法得到保證[8-9]。

目前常用的參數辨識算法包括模型參考自適應系統(MRAS)算法、加減速算法、最小二乘算法、擴展卡爾曼濾波算法、狀態觀測器算法等[10-12]。文獻[13]在傳統MRAS算法的基礎上引入了比例項,同時對MRAS算法的積分項和比例項進行實時更新,進一步提升了算法的自適應能力、參數辨識的精度和速度。傳統加減速算法測得的慣性矩值與理論值存在較大誤差[14],文獻[15]針對變角加速度不恒定且采樣信號有噪聲的問題,采用積分鏈微分器隨時計算角加速度,同時抑制采樣信號噪聲,解決了變角加速度引起的大慣性矩識別誤測量噪聲大等問題。最小二乘算法最初由高斯提出,數據量和計算量大,且以往的數據會對影響新數據的修正效果,因此,在此基礎上改進得到帶遺忘因子的最小二乘算法、遞推最小二乘算法、無偏差最小二乘算法等[16]。卡爾曼濾波算法對模型的依賴性較低,對于速度和負載轉矩觀測是較好的選擇[17],但基于隨機模型的卡爾曼濾波器方法的效果并不理想,存在計算負擔較重、缺乏必要的設計標準等問題[18]。狀態觀測器算法可以補償未知的干擾力矩,并在干擾過程中對機械參數進行辨識,基于狀態觀測器原理,文獻[19]利用擾動觀測器估計擾動力矩,并將擾動力矩值應用于慣性矩辨識,性能好但收斂時間較長。文獻[20]分別設計了全階狀態觀測器和降階擴展Luenberger觀測器,用于估計總負載轉矩和轉動慣量。

需要指出的是,在眾多參數辨識的文獻中,鮮有同時考慮辨識電機的轉動慣量、黏滯摩擦系數和庫侖摩擦系數的,大多數文章在建立數學模型時選擇忽略庫侖摩擦的影響[21]。文獻[22]對電機施加正弦速度指令,利用正弦函數的正交性質,在半周期內進行積分運算分別辨識系統的轉動慣量、黏滯摩擦系數和庫侖摩擦系數,但此方法只適用于負載轉矩為0 N·m的情況。同樣,文獻[23]利用三角函數的正交性,實現了轉動慣量與摩擦系數的解耦,消除了常值負載轉矩對機械參數辨識的影響,同時分析了積分區間和參考轉速幅值對辨識結果的影響。

本文在文獻[22]的基礎上,提出一種適用于不定負載轉矩工況下的機械參數辨識方法,消除不定負載轉矩對辨識結果的影響,利用摩擦系數辨識結果對速度過零處的“爬行”現象做一定的補償,同時利用摩擦系數和轉動慣量辨識值,對不定負載轉矩進行觀測,經變補償系數運算后進行前饋以獲得更好的實時控制效果。

1 永磁伺服系統數學模型

PMSM是一個高階、非線性和強耦合的被控對象,存在磁飽和效應、磁滯損耗等,電磁關系復雜,很難進行精確求解,為突出主要問題,需忽略次要因素,故在建立PMSM數學模型時,作出如下假設：

1)定子三相繞組完全對稱,在空間中互差120°電角度,所產生的磁場沿氣隙按正弦規律分布;

2)永磁體電導率為0 S/m,永磁體內部的磁導率與空氣相同;

3)永磁體產生的勵磁磁場沿氣隙按正弦規律分布;

4)各相繞組中感應電動勢波形為正弦波;

5)忽略鐵芯飽和;

6)不計磁滯損耗和渦流損耗;

7)轉子上沒有阻尼繞組,永磁體沒有阻尼作用。

永磁伺服系統在dq坐標系下的定子電壓方程為

(1)

式中：ud、id、Ld分別為直軸電壓、電流和電感;Rs為定子繞組;uq、iq、Lq分別為交軸電壓、電流和電感;ωe為電角速度;φf為永磁體磁鏈。

表貼式PMSM在采用id=0 A的矢量控制時,電機電磁轉矩為

Te=1.5pnφfiq

(2)

式中：Te為電磁轉矩;pn為極對數。

伺服系統運動方程為

(3)

式中：J為電機和負載折合到電機軸上的轉動慣量;ωm為電機機械角速度;B為黏滯摩擦系數;C為庫侖摩擦系數;TL為負載轉矩。

2 機械參數辨識方法

本文選用正弦速度指令來進行參數辨識。給系統分別施加幅值不同、頻率相同的速度指令：

ωm1=A1sinωt

(4)

ωm2=A2sinωt

(5)

式中：A1、A2為兩個不同的機械角速度幅值;ω為角頻率,兩個速度指令的角頻率需保持一致。將角速度代入式(3),可得

(6)

(7)

2.1 系統摩擦系數的辨識

為獲得與不定負載轉矩和系統轉動慣量無關的系統摩擦系數的模型表達式,以式(6)為例,兩邊同乘sinωt,得

(8)

(9)

式(8)右側第2項：

(10)

式(8)右側第3項：

(11)

式(8)右側第4項：

(12)

將式(9)～式(12)代入式(8),得

(13)

同理可得

(14)

解式(13)和式(14)聯立的二元一次方程組,得到PMSM的黏滯摩擦系數B、庫侖摩擦系數C表達式分別為

(15)

(16)

利用倍角公式和三角函數的正交性,上述推導實現了黏滯摩擦系數和庫侖摩擦系數的辨識,同時消除不定負載轉矩對辨識結果的影響。

2.2 轉動慣量的辨識

為抵消不定負載轉矩對轉動慣量辨識的影響,在相同的工況下將式(6)與式(7)相減,sgn(ωm1)和sgn(ωm2)顯然是相等的,故兩式中的sgn(ωm)C項也得以抵消,從而有

(17)

(18)

從而推導出不定負載轉矩情況下,PMSM的轉動慣量J表達式為

(19)

式(19)推導出的轉動慣量僅與電磁轉矩有關,不受摩擦系數和負載轉矩影響。

本文將機械參數分為系統摩擦系數和轉動慣量兩部分進行辨識,需要指明推導出的J是電機和負載折合到電機軸上的轉動慣量。此外本文提出的辨識方法是在給定速度指令為理想正弦波的情況下推導得來的,但在實際伺服系統中,速度信號由理想正弦信號、離散信號處理系統引起的高頻噪聲及諸如齒槽轉矩的擾動轉矩構成,這些噪聲和擾動會對辨識結果產生一定的影響,只有當給定的正弦轉速信號頻率相對較低時,這些噪聲對所提方法的影響方可忽略不計。

3 前饋補償策略

3.1 摩擦轉矩前饋補償

在伺服系統的轉速環控制中,速度過零時,受靜態摩擦影響,摩擦轉矩會出現正負跳變的不連續現象,此時轉速環控制器無法快速產生克服此非線性摩擦轉矩的電磁轉矩,只有當控制器輸出的q軸電流產生大于摩擦轉矩的電磁轉矩時,電機才能實現正常的轉速跟蹤,伺服系統的控制性能降低。

在辨識出黏滯摩擦系數和庫侖摩擦系數后,計算出摩擦轉矩并前饋至q軸電流給定,可以幫助控制器產生快速克服摩擦轉矩所需的q軸電流,由第2節辨識出的B和C可以推導出摩擦前饋補償的參考電流值為

(20)

式中：1.5pnφf為轉矩常數。

3.2 負載轉矩前饋補償

在PMSM的機械運動方程中,如式(3)所示,選取狀態量X=(ωm,TL)T、輸入量μ=Te-sgn(ωm)C、輸出量y=ωm,則有狀態空間表達式

(21)

設觀測器增益矩陣L=(L1,L2)T,則有

(22)

從而可得

(23)

(24)

(25)

本文提出的未知恒定負載下基于三角函數正交性的永磁同步電機機械參數辨識及前饋補償策略的系統控制框圖如圖1所示。

圖1 參數辨識及前饋補償控制框圖Fig.1 Control block diagram of parameter identification and feedforward compensation

4 仿真與實驗

4.1 仿真

在Simulink軟件中搭建如圖1所示的系統仿真模型,圖中wref和w分別為給定機械角速度指令和實際角速度指令,iqref和idref分別為d軸、q軸的參考電流值,SVPWM為空間矢量脈寬調制環節,iA、iB、iC分別為A、B、C三相的交流電,θ為轉子實際位置。仿真中的永磁伺服電機參數設置見表1,給系統施加一個未知恒定負載轉矩(仿真中假設其值為5 N·m)。

表1 參數設置Table 1 Parameter setting

4.1.1 機械參數辨識

給速度環分別施加機械角速度指令ωm1=20πsin(4πt)和ωm2=60πsin(4πt),即給速度環分別施加轉速Nr1=600sin(4πt)和Nr2=1 800·sin(4πt),如圖2所示。

圖2 轉速指令Fig.2 Speed instruction

按第3節中提出的系統摩擦系數辨識方法,在指定區間內進行積分推導得黏滯摩擦系數B和庫侖摩擦系數C,結果如圖3所示。

圖3 系統摩擦系數辨識Fig.3 Identification of system friction coefficients

轉動慣量J數值結果如圖4和表2所示。

表2 機械參數辨識結果Table 2 Identification results of mechanical parameters

圖4 轉動慣量辨識Fig.4 Moment of inertia identification

觀察表2可以發現,本文所提的辨識方法能夠在帶未知恒定負載轉矩的情況下,有效辨識出電機的機械參數。

4.1.2 前饋補償

得到各參數的辨識結果后,令PMSM運行于1 800sin(4πt)r/min的給定轉速情況下,利用3.2節中的觀測器實現不定負載轉矩的觀測。

圖5給出了該工況下的負載轉矩觀測波形,由圖可知,本文設計的觀測器可以快速且準確地觀測出TL。圖6～圖9給出了在該工況下的轉速誤差,其中圖6為無前饋補償的轉速誤差,圖7為有摩擦前饋補償的轉速誤差,圖8為有負載轉矩前饋補償的轉速誤差,圖9為有摩擦前饋補償和負載前饋補償的轉速誤差。

圖5 負載轉矩觀測Fig.5 Load torque observation

圖6 無前饋補償的轉速誤差Fig.6 Speed error without feedforward compensation

圖7 有摩擦前饋補償的轉速誤差Fig.7 Speed error with friction feedforward compensation

圖8 有負載轉矩前饋補償的轉速誤差Fig.8 Speed error with load torque feedforward compensation

觀察圖6可知：當轉速指令過零時,受系統摩擦轉矩影響,轉速誤差為14 r/min,轉速跟蹤性能降低;受未知恒定負載轉矩影響,速度響應有一定程度的滯后。當有產生快速克服摩擦轉矩所需的q軸電流后,對比圖6和圖7可以發現速度過零處的轉速誤差由14 r/min減小為10 r/min,轉速跟蹤性能得到改善。將觀測到的負載轉矩估計值作為q軸電流的前饋補償(見圖8),對比圖6和圖8發現,實現負載轉矩前饋補償后,響應時間由0.02 s減少到 0.01 s,速度環可以快速跟蹤指令轉速,負載轉矩變化引起的轉速誤差由25 r/min減小到10 r/min,轉速波動得到抑制。最后對比圖6和圖9可以發現,在得到摩擦前饋補償和不定負載前饋補償后,系統的控制性能明顯得到了提升。

4.2 實驗

為進一步驗證本文所提辨識算法的有效性,進行了實物實驗。選用深圳市泰金智能有限公司生產功率400 W的60D-A40130D6M永磁同步電機、深圳市大族電機科技有限公司生產的ST5_S_4_220Vac驅動器和明緯(廣州)電子有限公司生產的LRS_50_24開關電源,如圖10所示。電機的具體參數如表3所示。

表3 電機參數Table 3 Parameter of the motor

圖10 實驗平臺Fig.10 Experimental platform

轉矩常數Kt與電磁轉矩Te的關系為

Te=Kt×iq

(26)

4.2.1 機械參數辨識

由于實驗條件有限,無法在帶恒定負載轉矩情況下進行實驗,因此本文實驗在空載情況下進行。實驗中給定的正弦轉速幅值分別為950 r/min和1 500 r/min,角頻率為4π rad/s。為排除采樣數據因素對實驗結果的影響,采集8組數據進行辨識,結果如圖11所示。

圖11 辨識實驗結果Fig.11 Experimental identification results

通過觀察可以發現,黏滯摩擦系數的辨識值在2.3×10-5N·m·s/rad上下波動,庫侖摩擦系數的辨識值在0.02 N·m上下波動,轉動慣量的辨識值在0.35×10-4kg·m2上下波動,辨識結果相對穩定。取8次辨識結果的平均值作為辨識結果,從而得出黏滯摩擦系數為2.270 6×10-5N·m·s/rad、庫侖摩擦系數為 0.020 4 N·m、轉動慣量的值為0.352 3×10-4kg·m2,轉動慣量辨識值與標定值誤差為3.62%。將摩擦系數用于前饋補償,如式(20)所示,以解決零速附近轉速誤差較大的問題。若速度誤差減小則證明辨識得到的摩擦系數基本準確,前饋補償有效。

4.2.2 前饋補償

實驗中施加幅值為1 500 r/min、角頻率為4π的正弦參考轉速指令,圖12為采集到的波形,自上而下分別為q軸電流、實際轉速和轉速誤差。

圖12 摩擦補償前的波形Fig.12 Speed error without feedforward compensation

觀察轉速誤差波形可以發現,在零速附近誤差最大,約為50 r/min,這主要是受摩擦的強非線性影響,PI控制器無法快速跟蹤上轉矩的變化。將實驗辨識出的系統摩擦系數代入式(20),給電流施加一個前饋補償值,補償后采集到的波形如圖13所示。

圖13 摩擦補償后的波形Fig.13 Speed error with feedforward compensation

對比摩擦補償前后的轉速誤差波形可以發現,在加入摩擦補償后,補償后電流在零速附近產生的電磁轉矩有效克服了非線性的摩擦轉矩,最大轉速誤差由50 r/min降低到約25 r/min。由此可知,辨識實驗得到的黏滯摩擦系數和庫侖摩擦系數準確度較高,產生的摩擦前饋補償有效提高了轉速跟蹤性能。

5 結論

本文充分利用了三角函數的正交性,以PMSM的機械運動方程為基準,在帶不定負載轉矩的情況下,通過施加兩個幅值不同、頻率相同的機械正弦角速度指令,實現負載轉矩與轉動慣量、系統摩擦系數的解耦。通過推導出的公式辨識得到系統的機械參數后,利用辨識得到的機械參數值對未知負載轉矩搭建觀測器進行觀測。得到負載轉矩值后,通過前饋控制策略,補償非線性摩擦和不定負載轉矩對系統控制性能產生的負面影響。仿真和實驗結果表明本文提出的機械參數辨識方法適用范圍廣、辨識結果精度高,可應用于空載和不定負載轉矩的工況下。仿真和實驗結果表明了本文所提方法的有效性。