體驗基本活動經驗　培養數學核心素養

摘 要：本文就研究性課題學習研究角度對錯排問題中的全錯排概率問題進行研究，通過概率數值與1e的比對，猜想當參與排列的個數n→∞，全錯排的概率為1e，并用錯排數公式和e^x的泰勒展開公式進行了證明，得到全錯排概率極限值和自然常數e的倒數相等.整個研究性學習過程體驗了數學猜想、文獻查閱，過程思考與證明的基本活動經驗，培養學生發現問題和解決問題的能力.

關鍵詞：排列組合；錯排問題；自然常數e；泰勒展開；研究性學習；基本活動經驗

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）18-0047-03

收稿日期：2023-03-25

作者簡介：晏炳剛，碩士，中學高級教師，從事數學教學研究.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》將數學基礎知識、基本技能、 基本思想、 基本活動并稱為“四基”，指出：“四基”是培養學生數學學科核心素養的沃土，是發展學數學學科核心素養的有效載體^[1].數學研究性學習是學生在數學教師的指導下，從自身的數學學習、社會生活、自然界以及人類自身的發展中選取有關數學研究專題，以探究的方式主動地獲取數學知識、應用數學知識解決數學問題的學習方式，對于高中學生而言，要開展研性學習，必須培養他們的實踐能力.具體說來，主要包括：發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力^[2].數學研究性學習正是一種通過研究學習活動，獲得數學活動基本經驗，培養學生數學核心素養的有效途徑之一.本文中，筆者展示了學生的研究過程，教師的指導方法以及查閱文獻，尋找創新點的思考過程；體現了研究性學習在獲得數學活動基本經驗，培養學生核心素養重要價值.

1 問題的提出

1.1 課題背景

錯排問題是組合數學中的經典問題之一.學生進入計數原理的學習，就可以思考這個問題.該問題有許多具體的形式.

比如：

在寫信時將n封信裝到n個不同的信封里，有多少種全部裝錯信封的情況；

n個人坐在自己位置上，中途離開，回來隨機坐下，有多少種n個人都沒有坐在自己原來位置的情況？若設坐錯位置的人數為隨機變量ξ，ξ的分布列和期望又是多少？相關問題在文獻[3-5]都有研究.

這兩個問題，本質相同.是被數學家歐拉（Leonhard Euler，1707-1783）稱為“組合數論的一個妙題”和“裝錯信封問題”的兩個特例.

錯排問題抽象為：數字1，2，3，…，n-1，n任意排成一列，如果數字k恰好在第k個位置上，則稱有一個巧合.

1.2 初始研究

教師指導：高中常見問題有：

求巧合數ξ的分布列與期望.

ξ的分布列與期望學生能夠很好解決，查閱文獻[3-5]已有相關研究結果.

教師指導：學生處于研究的創新度考慮，同學們放棄這個點，轉而思考全錯排個數的問題.

1.3 研究轉移

全錯排數的定義為：有n個正整數1，2，3，…，n-1，n， 將這n個數重新排列，使其中的每一個數都不在原來的位置上，這種排列的個數稱為正整數1， 2， … ，n-1，n的全錯排數，且記k個正整數的全錯排數為D_k（0≤k≤n）.規定D₀=1.

教師指導：全錯排數如何得到？有什么特點？有沒有遞推公式？

學生活動：

當n=1，顯然D₁=0.

當n=2，數列1，2的錯排為2，1.所以D₂=1.

當n=3，數列1，2，3的錯排為2，3，1;3，1，2.所以D₃=2.

當n=4，數列1，2，3，4的錯排為2，1，4，3;

2，4，1，3;2，3，4，1;3，4，1，2;3，4，2，1;3，1，4，2;

4，3，2，1;4，1，2，3;4，3，1，2.所以D₄=9.

當n≤4時，同學們用枚舉法可得錯排數.

當n>4時，同學們能夠自己建立起全錯排數的遞推公式，然而文獻[2]中對此進行了推導，創新點已經失去.下面給出全錯排數遞推公式.

D（n）=（n-1）（D（n-1）+D（n-2）），n≥3.

1.4 研究再轉移

全錯排數都能用遞推公式計算出來，那么接下來還有創新點嗎？

教師指導：全錯排數都可以計算出來，全錯排數有沒有規律？全錯排數的概率有沒有規律？

學生活動：想到這里，把全錯排數概率規律就納入考慮了.甚至概率倒數值都納入了計算.

n個數全錯排概率為

用遞推公式把當n=5，6，7，8，9，10的全錯排數計算出來.把n=2，3，…，10的全排列數，全錯排概率，全錯排概率倒數計算出來，如下表：

1.5 發現巧合

同學們經過計算發現：

當n為偶數時，1/P（n）

這些數值從兩邊夾逼自然常數e，當n變大時，夾逼得越緊.

教師指導：同學們，這里是否有一個結論呢？

1.6 提出猜想

猜想全錯排概率值滿足如下：

在此過程中同學們查閱資料，學習極限基本知識，得到了一個要證明的數學猜想.

從問題的選題到問題研究點的不停轉移，最后觀察數值，發現一個新的創新點，完整體驗數學研究性學習的發現問題、提出問題過程，體驗并獲得數學活動基本經驗，培養學生數學素養.

2 問題的證明

2.1 初始思考

猜想不證明，只能是猜想，只有證明了正確性才能稱之為定理.教師接下來就指導學生查閱極限求法的相關資料，同學們通過極限的自我學習知道極限要求出來，多數都是一個式子，當自變量朝某處無限接近時，式子的值能無限接近某值.

由猜想公式知，要證明猜想成立，只有求出全錯排數的通項公式.同學們思考后查閱資料已有證明.文獻[5]中Herbert S.Wilf用高等數學的發生函數進行了證明.文獻[6]用指數發生函數進行了證明，文獻[4]、[5]、[8]對全錯排數通向公式證明涉及到了容斥原理，遞推公式和高等數學的冪級數.公式研究較多，在此同學們看懂證明直接引用全錯排數公式即可.次處同學們能體會到站得高、看得遠，是在在巨人肩膀上繼續研究.

3 問題的反思

3.1 研究性學習活動體驗數學基本活動經驗

學生從錯排問題選題的研究點不斷轉移直到發現全錯排概率數值規律，猜想到全錯排概率與自然常數e關系，用全錯排公式和泰勒展開公式為工具進行證明，得到全錯排概率與自然常數e有密切關系，把排列組合、概率、全錯排公式、泰勒展開公式、自然常數e有機結合起來，展示了歸納、猜想、探究、證明的數學研究過程，親自體驗并獲得數學活動基本經驗.

3.2 研究性學習活動培養學生數學核心素養

學生在教師指導下，通過選題、改變研究點、尋找創新點、查閱資料、歸納猜想，探索證明、學習新知等方面親身實踐獲取直接經驗，養成科學精神和科學態度，掌握基本的科學方法，進而培養了數學抽象、邏輯推理、數學運算、數據分析的核心素養.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通髙中數學課程標（2017年版2020年修訂）[Ｍ].北京 ：人民教育出版社，2020.

[2] 劉海濤.例談構造遞推關系模型在解題中的應用[J].中學數學研究（華南師范大學版），2022，

491（21）：18-21.

[3] 賴嘉輝.一道概率統計問題的探究與推廣[J].中學數學研究，2021（01）：19-20.

[4] 張惠良. 錯排問題—研究性學習的一個典型案例[J].數學通報，2005（10）： 47-49.

[5] 吳如光.錯排問題的模型解釋及求解[J].數理化解題研

究，2018（03）：27-28.

[6] Herbert S.Wilf.發生函數論[M].王天明，譯.北京：清華大學出版社，2003：46-49.

[7] 李志榮.錯排問題的指數發生函數證明及其新的恒等式[J].四川師范大學學報（自然科學版），2004（11）： 651-652.

[8] 宋婷婷，程績.用遞推關系解 Bernouli-Euler裝錯信封問題[J].數學學習與研究，2017（3）：149-150.

[責任編輯：李 璟]