2016-2021年高中數學聯賽初賽數列試題對比研究

肖剛　魏苗　劉藝　馬杰

摘 要：文章在已有研究的基礎上，對2016-2021年全國大部分地區高中數學聯賽初賽試卷中的數列試題進行了分析探究.文章將數列試題歸納整理成了求通項公式、數列求值、數列求和、與函數方程結合、與不等式結合、概率計算、存在性問題、數學歸納法、數列創新定義及其他探究類型十大類.

關鍵詞：高中數學聯賽初賽；數列；試題研究

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）18-0005-03

收稿日期：2023-03-25

作者簡介：肖剛（1990-），男，四川人，碩士，助教，從事數學教學研究；

劉藝（1998-），女，四川人，碩士，助教，從事數學教學研究；

魏苗（2000-），女，四川人，在讀本科，從事數學教學研究；

馬杰（1978-），男，四川人，本科，高級教師，從事數學教學研究.

基金項目：宜賓學院校級一流本科專業“數學與應用數學”項目（項目編號：409-XYLZY202101）

1 研究緣起

數列是高中數學聯賽初賽的必考內容之一，由于數列知識的命題靈活度高，成為數學聯賽的一大難點，參賽選手若能夠攻克這一難點，相信對提高其競賽成績定有所幫助.另外，國內關于專門研究高中數學聯賽初賽數列試題的文章較少，因此筆者希望通過文章的論述，能夠為此問題的研究提供一些參考.最后，數列試題往往知識容量大，題目的綜合性較高，對學生的思維能力、創新能力以及運算能力有較高要求，若是學生對數列試題有所突破的話，相信能很大程度地提高其數學素養.

2 研究設計

2.1 研究對象

文章以2016-2021近六年的高中數學聯賽初賽數列試題作為研究對象，主要從高中數學聯賽概述及要求、高中數列知識綱要、高中數學競賽數列問題的十大題型這幾個方面進行分析.

2.2 研究思路及方法

文章主要采用了文獻研究法和實踐分析法.

采用文獻研究法，從而全方位地、準確地了解研究者們對數列問題的歷史研究進展.

采用實踐分析法，文章收集了2016-2021近六年的高中數學聯賽初賽中的數列試題，通過對其考核規則與能力要求、題型、題目的數量、題目的分值、各省份出現的數列題目異同等方面進行分析比較.

3 研究結論

文章選取2016-2021近六年里，全國大部分地區自行組織的高中數學聯賽初賽的真題進行統計分析，數據來源于中國數學會普及工作委員會及各省市數學會聯合編寫的《高中數學聯賽備考手冊》.

3.1 橫向數據對比

通過統計2016-2021近六年的高中數學聯賽初賽數列試題發現，可以將試題的提問方式歸類為以下幾種類型：求通項公式、數列求值、數列求和、與函數方程結合、與不等式結合、概率計算、存在性問題、數學歸納法、數列創新定義以及其他探究類型.下面，對2016-2021年高中數學聯賽初賽數列試題題量進行統計分析，具體見表1.

對上述表格的內容進行分析，可以得到以下一些信息：

從每年數列試題題量的占比上看，2016年的占比約為20.87%，其中，數列求值類考查了11道，考查次數最多，約占2016年的25.58%；2017年的占比約為21.84%，其中，數列求值類考查了19道，考查次數最多，約占2017年的42.22%；2018年的占比約為15.53%，其中，數列求和類類考查了10道，考查次數最多，約占2018年的31.25%；2019年的占比約為11.17%，其中，數列求值類和數列求和類考查了6道，考查次數最多，都約占2019年的26.09%；2020年的占比約為16.50%，其中，數列求值類考查了10道，考查次數最多，約占2020年的29.41%；2021年的占比約為14.08%，其中，數列求值類考查了10道，考查次數最多，約占2021年的34.48%.

從題型的集中與分散程度上來看，2016-2021年每年考查的題型大致相同.

從表1中的信息可以看出，近六年來的數列試題考查數量較為失衡，具體見圖1.

從圖1可以看出，2016-2021近六年高中數學聯賽初賽中數列題的考查數量波動較大.2016年、2017年都多于了40題，2018年和2019年都少于了40題.到了2020年突然上升，達到了34題.2021年又突然減少，與2020年相比，少了5道題.

從每年數列題目的提問方式上來看，數列求值問題是近六年數列題中最?？嫉念}目類型，其次是與不等式結合的問題.具體見圖2.

從圖2可以得出，2016-2021近六年高中數學聯賽初賽的數列題中，“求通項公式”類考了16道，其中，占比約為7.77%；“數列求值”類考了62道，其中，占比約為30.10%；“數列求和”類考了32道，其中，占比約為15.53%；“與函數方程結合”類考了9道，其中，占比約為4.37%；“與不等式結合”類考了38道，其中，占比約為18.45%；“概率計算”類考了7道，其中，占比約為3.40%；“存在性問題”類考了9道，其中，占比約為4.37%；“數學歸納法”類考了3道，其中，占比約為1.46%；“數列創新定義”類考了24道，其中，占比約為11.65%；其他探究類型考了6道，其中，占比約為2.91%.

下面，對2016-2021年高中數學聯賽初賽數列試題的分值進行統計分析，具體見表2.

對表2的內容進行分析，可以得到以下一些信息：

從每年考查數列試題的分值上看，2016年共計502分，2017年共計516分，2018年共計424分，2019年共計263分，2020年共計388分，2021年共計324分，總共2417分.

從每年考查數列試題分值的占比上看，2016年的占比約為20.77%，其中，與不等式結合類查了105分，分值最高，約占2016年的20.92%；2017年的占比約為21.35%，其中，數列求值類考查了149分，分值最高，約占2017年的28.88%；2018年的占比約為17.54%，其中，數列求和類考查了129分，分值最高，約占2018年的30.42%；2019年的占比約為10.88%，其中，數列求和類考查了68分，分值最高，約占2019年的25.86%；2020年的占比約為16.05%，其中，與不等式結合類考查了154分，分值最高，約占2020年的39.69%；2021年的占比約為13.41%，其中，數列求值類考查了68分，分值最高，約占2021年的20.99%.

從表2中的信息可以看出，近六年來的數列試題所占分值較為失衡，具體見圖3.

從圖3可以得出，2016-2021近六年高中數學聯賽初賽中數列試題所占分值波動較大.2016年、2017年所占分值相對高一些，大于500分，2018年其次，大于400分，2020年、2021年大于300分，2019年所占分值相對低一些，小于300分.

從每年數列題目的提問方式上來看，與不等式結合問題是近六年數列題中所占分值最高的，其次是數列求值的問題，而概率計算的問題所占分值較低.具體見圖4 ：

從圖4可以得出，2016-2021近六年高中數學聯賽初賽的數列題中，“求通項公式”類所占分值為152，其中，占比約為6.29%；“數列求值”類所占分值為466，其中，占比約為19.28%；“數列求和”類所占分值為393，其中，占比約為16.26%；“與函數方程結合”類所占分值為169，其中，占比約為6.99%；“與不等式結合”類所占分值為562，其中，占比約為23.25%；“概率計算”類所占分值為46，其中，占比約為1.90%；“存在性問題”類所占分值為187，其中，占比約為7.74%；“數學歸納法”類所占分值為56，其中，占比約為2.32%；“數列創新定義”類所占分值為308，其中，占比約為12.74%；其他探究類型所占分值為78，其中，占比約為3.23%.

參考文獻：

[1]葉誠理.新課程下開展高中數學競賽的實踐和認識[D].福州：福建師范大學，2009：1-2.

[2] 楊茜.全國高中數學聯賽之數列問題研究[D].西安：西北大學，2016：1-2.

[3] 姜瑩瑩.融合高等數學與初等數學競賽思想方法提升中學師生素養的研究[D].南寧：廣西民族大學，2019：8-9.

[4] 逢萌.高中數學競賽中的數列問題研究[D].開封：河南大學，2020：2-3.

[5] 孟祖國.高中數列的有效教學研究[D].武漢：華中師范大學，2011，19-20.

[責任編輯：李 璟]