基于實值Root-MUSIC和MP的間諧波檢測算法

郭啟明 朱 武 花赟昊 金立鑫 靳一奇 焦哲晶

(上海電力大學電子與信息工程學院 上海 200090)

0 引 言

近幾年來,隨著高鐵等大規模沖擊性負荷,使用新能源的電力設備以及大量非線性的電力電子精密設備被投入使用,電網中遭受諧波與間諧波的污染量也不斷地增加,從而導致電壓波形畸變,進而導致設備過熱,甚至影響設備的使用壽命。尤其間諧波的危害更大,會引起電壓驟升驟降、波動閃變等擾動問題[1],影響用電客戶的正常使用。因此,對于諧波與間諧波的準確檢測對于電力系統來說有著重要的意義。

目前廣泛使用的快速傅里葉變換(FFT)[2]由于其簡便實用的特性而備受青睞,但由于非同步情況下的頻譜泄露與柵欄效應,識別精度較低。加窗差值FFT[3-4]通過對頻點相鄰兩個或更多譜線的關系進行分析,可以進一步修正FFT的計算結果,同時不會降低過多的時效性。然而差值的精度仍然會受到相近間諧波的影響,如果使用不恰當的窗函數,即使校正后頻率仍會有誤差,進一步影響幅值與相位的測量與計算。全相位FFT(APFFT)[5]有著良好的抗頻譜泄露和抗噪聲能力,而且具有相位不變性。但是在諧波與間諧波過于接近時譜線會存在干擾,影響幅值校正的精度[6]。基于神經網絡與FFT的檢測算法[7]通過機器學習的方法建模,能夠在短時間內得到較為精確的結果,但該方法需要通過大量的訓練樣本,而且僅對整數次諧波有著較好的結果,對于非整數次諧波效果較差。

多重信號分類法(MUSIC)是一種由陣列接收的信號來估計波達方向的現代譜估計算法,其廣泛運用于通信、雷達等領域。近年來,逐漸開始被應用于電力諧波分析[8]。其原理是對信號自相關矩陣或協方差矩陣進行特征值分解,將信號的特征空間分解為正交互補的信號子空間和噪聲子空間,然后將信號向量投影到噪聲子空間,通過搜索偽譜函數峰值獲得實際頻率值。由于MUSIC法既不會被非同步采樣影響,也可以檢測鄰近的間諧波分量,因而有著較高的準確率與穩定性。求根多重信號分類法(Root-MUSIC)[9-10]將MUSIC算法的譜搜索用求多項式的方法代替,在減少計算量的同時提高了計算精度。由于傳統的MUSIC算法是針對陣列的復信號進行處理,在應用于諧波分析時不得不將信號拆分為兩組共軛復信號進行分析,不僅使諧波分析量加倍,還增加了計算量。

匹配追蹤算法(MP)是一種利用貪心算法將復信號用稀疏信號進行表示的算法。其原理是在一個過完備原子庫中通過不斷選擇與信號最匹配的原子,將信號逐層分解,直到殘差小于給定精度,最終將給定信號分解為一系列稀疏信號的組合。文獻[11]將該算法用于諧波和間諧波的檢測。但由于對整個信號空間進行MP算法的計算量過大,難以保證實時性。

基于Root-MUSIC算法與MP算法,本文提出一種實值Root-MUSIC和MP的間諧波檢測算法。首先采用實值Root-MUSIC法估計出信號中諧波與間諧波的頻率,然后采用MP算法計算出幅值與相位。相比于傳統的MUSIC與MP算法,在時效性和精確度上有較大改善。

1 基于實值Root-MUSIC的諧波信號頻率估計

考慮干擾的電網余弦信號模型為:

(1)

式中:Ai和φi為第i次諧波分量的幅值與相位;ωi=2πfi/fs,fi為第i次諧波分量的頻率,fs為采樣頻率;n=0,1,2,…,N-1,N為采樣點數;v(n)為與s(n)不相關的均值為0且方差為σ2的白噪聲。

將連續M個采集量(M>2P)表示為觀察向量X,即:

X=[X(n),X(n+1),…,X(n+M-1)]T

(2)

則由N個采樣數據構成的觀察向量矩陣為:

(3)

該觀察向量矩陣為實值矩陣,相比傳統MUSIC復值矩陣能夠有效降低運算復雜度,便于后續計算。

求解觀測矩陣x(n)的自相關矩陣Rx。Rx的自相關矩陣可以表示為x(n)外積的期望函數,有:

Rx=E{XXT}

(4)

對矩陣Rx做特征值分解,可得:

(5)

其中:

UN=(S1,S2,…,SM-2P)

US=(SM-2P+1,SM-2P+2,…,SM)

ΣN=diag(λ1,λ2,…,λM-2P)

ΣS=diag(λM-2P+1,λM-2P+2,…,λM)

式中:λl和Sl為Rx第l個特征值及其對應的特征向量,且有λ1≈λ2≈…≈λM-2P≤λM-2P+1≤λM;依據特征值的大小關系可判斷出信號源數為P;UN是由Rx的前M-2P個特征值擴張成的噪聲子空間;US是由Rx的后2P個特征值擴張成的信號子空間。可見,隨M的增大,噪聲子空間的維數也增加,計算精度越高,但運算復雜度也越高。

通過噪聲特征向量提取信號參數信息,構造Root-MUSIC多項式:

(6)

考慮到式(6)并不完全是z的多項式,因其存在z*的冪次項,可令pH(z)=pT(z-1)。將函數等號右邊左乘zM-1,可以避免出現z-(M-1)項。綜上,可將式(6)修正為:

(7)

(8)

2 基于MP的幅值相位估計

MP算法也稱為原子分解算法,其原理是利用貪心算法的思想。從一個過完備的原子庫中選擇最佳的原子信號,就可以將復雜的信號用較少的原子進行準確表示。傳統的MP算法需要同時對頻率、幅值和相位三個變量求解,但是該方法收斂速度較慢,而且頻率的誤差會極大地影響相位與幅值的計算。本文通過使用實值Root-MUSIC算法,預先求出頻率的精確估計,再使用MP算法求解幅值與相位,縮減了變量數,減少了計算量的同時提高了結果的準確度。

Pseudo-Newton法[12]是一種一元線性搜索算法,適合小范圍內的優化問題,實現簡單且搜索精度高。該方法的尋優策略為:首先將待求量增加0.5倍,計算目標函數。若目標函數適應度更高,則更新待求量。否則,將原待求量減少0.25倍,重新計算目標函數。重復該步驟直到增加量或者目標函數的變化量小于給定閾值。

因此,本文應用MP算法對信號的幅值和相位進行估計的步驟如下:首先需要構造符合諧波/間諧波特性的過完備原子庫。通過本文構造的諧波模型以及利用MUSIC算法估計出的頻率,可以構造諧波原子庫D的表達式為:

gγ(t)=cos(ωt+φ)

(9)

式中:γ=[ω,φ];ω=2πfk,fk=f1,f2,…,fP為MUISC算法估計的諧波頻率;φ為相位;原子的幅值恒為1。經過離散化后,ω=2πfk/fs。

設經過第n次分解的殘差信號為R(n)x,R(0)x=f(n)。通過Pseudo-Newton法搜索出最佳匹配原子gγn,滿足:

(10)

則該諧波分量的頻率為fi,相位為φi,幅值為:

(11)

從fk中剔除fi,從f(n)中剔除該篩選出的諧波分量,重復以上分解過程,直到所有諧波頻率都被分解,即完成諧波信號的幅值與相位檢測,剩余殘差信號則為噪音信號。

因此,本文基于實值Root-MUSIC與MP算法的思想,對于N點采樣的電網信號,首先通過Root-MUSIC法求出諧波信號的個數與頻率,然后通過MP法計算諧波的幅值與相位。整體算法流程如圖1所示。

圖1 整體算法流程

3 算例分析

3.1 算例1

為了驗證本文算法的有效性,構造假設諧波信號,基波與各次諧波參數如表1所示,采樣頻率為1 500 Hz,數據長度1 500點,陣元個數M=40。

表1 算例中諧波信號參數設置

使用本文算法對該諧波信號的頻率、幅值與相位的估計結果及誤差如表2所示。本文算法在無噪聲情況下,能夠得到十分精確的頻率、幅值和相位估計,對于相近的53 Hz間諧波、355 Hz間諧波也能夠精準識別,頻率和幅值的估計幾乎沒有誤差,對于相位的估計誤差也在0.01%以內。

表2 算例信號估計結果

3.2 算例2

在算例1的信號中分別混入信噪比為70 dB與50 dB的高斯白噪聲,其他條件不變。使用本文方法進行諧波估計,仿真結果分別如表3和表4所示。

表3 SNR為70 dB時信號估計結果

表4 SNR為50 dB時信號估計結果

對表3和表4的估計結果分析,結果表明本文算法在一定噪聲干擾下仍具有較好的識別精度,在50 dB噪聲下除53 Hz的頻率估計誤差為0.065%以外,其他頻率誤差均小于0.01%,有較好的抗噪性。

3.3 算例3

使用文獻[13]中的電壓信號數據,在相同條件下與復值Root-MUSIC算法[14-15]、實值MUSIC算法[13]進行比較。電網諧波模型的參數如表5所示,仿真時疊加40 dB高斯白噪聲,采樣頻率1 500 Hz,采樣點數1 500。仿真結果比較如表5所示。

通過表5中的數據比較可知,相比傳統的復值Root-MUSIC算法和實值MUSIC算法,本文算法在保持頻率精度的情況下,能夠更為準確地檢測各個諧波信號的幅值。在常規算法下誤差較大的相位,本文算法也能保持較高的準確度。同時,MP算法在計算信號的幅值與相位時,有著較低的運算復雜度,能夠進一步地提升算法效率。

4 結 語

本文提出一種基于實值Root-MUSIC算法與MP算法結合的間諧波檢測方法。該方法利用MUSIC算法不受非同步采樣影響的特性,精確估計出信號所含間諧波的頻率,進而通過MP算法估計信號的幅值與相位參數。通過構建間諧波信號模型對算法進行仿真,由仿真結果以及與其他文獻的算法進行比較可以得出:本文算法在檢測間諧波信號時有著很好的精確度與抗噪能力,與傳統的MUSIC檢測方法相比,在同樣的條件下有著更高的檢測精度。