三軸磁強(qiáng)計(jì)的空間立體校正

趙育良，黃婧麗*，毛日升

（1.海軍航空大學(xué)青島校區(qū)，山東 青島 266041；2.91911 部隊(duì)，海南 三亞 572000）

三軸磁強(qiáng)計(jì)［1］（Three Axis Magnetometer，TAM）是測(cè)量磁場(chǎng)強(qiáng)度的傳感器，可以提供精確和可靠的近地磁場(chǎng)向量信息，并且不會(huì)隨時(shí)間產(chǎn)生漂移，還可以和陀螺儀等其他傳感器一起提供位置信息。因此，廣泛應(yīng)用于導(dǎo)航系統(tǒng)等領(lǐng)域。然而，由于受制造工藝的限制，TAM 的輸出有著固有誤差（如非正交誤差、尺度因素誤差、零位偏差）［2］，并且經(jīng)常受各種干擾磁場(chǎng)［3］（如軟磁、硬磁、測(cè)量噪聲）影響。因此，在應(yīng)用之前進(jìn)行校正具有重要意義，校正是當(dāng)前三軸磁強(qiáng)計(jì)研究的重點(diǎn)、難點(diǎn)以及亟需解決的關(guān)鍵問(wèn)題。

磁強(qiáng)計(jì)校正經(jīng)典方法為搖擺算法（swing algorithm）［4］。在已知航向角的情況下，水平儀繞著唯一垂直方向的軸旋轉(zhuǎn)。這種方法雖然簡(jiǎn)單易操作，但需要外部獨(dú)立航向測(cè)量信息。與此同時(shí)，該方法是航向校正方法，不適合除航向確定以外的其他校正。針對(duì)這一情況，文獻(xiàn)［5-6］提出了一種旋轉(zhuǎn)校正方法，該方法不需要外部獨(dú)立航向信息，并且能提供多種誤差源的校正。球形校正都是基于一個(gè)事實(shí)，即在補(bǔ)償?shù)攸c(diǎn)，無(wú)論傳感器處于什么方向，地磁場(chǎng)幅值應(yīng)相同。在這種情況下，通過(guò)旋轉(zhuǎn)設(shè)備的3 個(gè)軸得到的測(cè)量值應(yīng)該在一個(gè)球面上，其中球面半徑為地磁場(chǎng)強(qiáng)度。

然而由于固有誤差和干擾磁場(chǎng)的存在，測(cè)量值生成的是橢球而不是標(biāo)準(zhǔn)的球［7］。因此，通過(guò)經(jīng)典的最小二乘法以代數(shù)擬合的方式極小化測(cè)量值與橢球體之間的誤差，計(jì)算簡(jiǎn)便，不需要迭代，是應(yīng)用最廣泛的方法之一［8］。但是直接擬合有可能得到任意二次曲面，并不符合實(shí)際的物理意義［9］。

針對(duì)以上這些情況，本文在建立了較完整的誤差校正模型基礎(chǔ)上，提出采用最小二乘法對(duì)校正模型參數(shù)進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)，并加入了更符合實(shí)際物理意義的橢球約束，使得結(jié)果不是任意二次曲面，通過(guò)這種方式更完整地校正了誤差源。

1 TAM誤差校正模型

磁強(qiáng)計(jì)的測(cè)量誤差包括：傳感器零位偏差、尺度因素誤差、非正交誤差、測(cè)量噪聲誤差、硬磁干擾誤差和軟磁干擾誤差，下面分別加以分析。

受制造工藝限制，各個(gè)傳感器特性不一致，不同的TAM 具有不同的零位偏差chi和不同的尺度因子。尺度因素誤差矩陣Dsf可以表示為

其中，sx、sy、sz為3個(gè)軸的尺度因子。

TAM 的敏感軸不能完全正交，從而導(dǎo)致非正交誤差，誤差矩陣Dno為

其中，ρ為實(shí)際ys軸與理想軸的夾角；?為實(shí)際zs軸與理想軸的夾角在xsOszs平面的投影；λ為實(shí)際zs軸和理想軸的夾角在ysOszs平面的投影。

受熱特性和電路測(cè)量因素的影響，磁強(qiáng)計(jì)輸出不可避免地具有測(cè)量噪聲，可建模為高斯白噪聲為ε、服從均值為0、方差為σ2的正態(tài)分布。

由于飛行器的結(jié)構(gòu)件或電子設(shè)備中包含磁鐵性材料，所以TAM 的測(cè)量值會(huì)受到除地球磁場(chǎng)外的其他磁場(chǎng)干擾。如果干擾磁場(chǎng)為永久的不變磁場(chǎng)，則稱為硬磁干擾。硬磁干擾在磁強(qiáng)計(jì)的輸出中表現(xiàn)為固定零位偏移c0。如果干擾磁場(chǎng)是隨載體姿態(tài)變化的，則為軟磁干擾。軟磁干擾在TAM 的輸出中表現(xiàn)為變化的零位偏差，軟磁干擾誤差矩陣Dsi為

式（3）中，αij(i，j=x，y，z)為由j軸外部磁場(chǎng)誘導(dǎo)產(chǎn)生的磁場(chǎng)在i軸上的投影。軟磁干擾誤差可等效為尺度因素誤差、非正交誤差和非對(duì)準(zhǔn)誤差的綜合效應(yīng)。

綜合這幾種誤差，TAM校正數(shù)學(xué)模型可以表示為

其中，Bm和Bb為載體坐標(biāo)系下TAM 的實(shí)際輸出值與無(wú)誤差源干擾的理論真實(shí)值，它們都包含xs、ys、zs3 個(gè)軸的分量，即

令DE=DsfDnoDsi，c=DEchi+c0，則TAM 誤差校正數(shù)學(xué)模型可表示為

接下來(lái)的任務(wù)即為通過(guò)一系列已知實(shí)際的測(cè)量點(diǎn)求解校正模型中的未知參數(shù)DE和c，以便能夠補(bǔ)償磁強(qiáng)計(jì)輸出受誤差源干擾的部分。

2 空間旋轉(zhuǎn)立體校正

忽略ε，設(shè)

為了求解橢球參數(shù)，用代數(shù)法表示理想測(cè)量點(diǎn)與待求橢球之間的距離，則代價(jià)函數(shù)可以寫(xiě)為

3 校正模型參數(shù)的求解

如果沒(méi)有約束存在，式（11）可求解出任意二次曲面，而在實(shí)際情況中，可能只關(guān)心某種具體類型的二次函數(shù)。由于磁強(qiáng)計(jì)校正模型最終形式為橢球體，因此本文加入橢球約束，使得擬合結(jié)果為嚴(yán)格的橢球體。這樣做雖然有可能犧牲了精度，但結(jié)果符合實(shí)際物理意義，更有價(jià)值。根據(jù)上文的分析，磁強(qiáng)計(jì)校正問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化成下面帶橢球約束的最小二乘問(wèn)題，即

這就是一個(gè)廣義特征值問(wèn)題，即

矩陣T代表約束。在約束矩陣T中只涉及x2、y2、z2、xy、yz、xz這幾個(gè)非線性項(xiàng)，而與線性項(xiàng)x、y、z無(wú)關(guān)。也可以說(shuō)T中的大部分元素為0。式（13）中的向量和矩陣可以分解為

其中，T1代表可以確定二次曲面為橢球的約束矩陣。則式（11）可以寫(xiě)為

通過(guò)上述分析，現(xiàn)可以通過(guò)求解Ypol滿足約束1β1=const 的特征向量β1來(lái)估計(jì)磁強(qiáng)計(jì)誤差校正參數(shù)，求解如下廣義特征值問(wèn)題：

對(duì)于橢球擬合的約束，可選擇為

當(dāng)4βJ?>0時(shí)，參數(shù)β代表橢球體。同時(shí)，橢球體短半徑長(zhǎng)度是長(zhǎng)半徑一半以上時(shí)，可以得到4βJ?>0，即k=4。但不是所有橢球體都滿足這個(gè)充分條件，長(zhǎng)瘦和扁的橢球體不滿足4βJ?>0 的條件。對(duì)于任意橢球體來(lái)說(shuō)，總是存在k使得kβJ?>0。可以看出當(dāng)橢球體短半徑至少是長(zhǎng)半徑的倍時(shí)，可得到kβJ?>0。為了保證擬合結(jié)果為橢球，可以設(shè)計(jì)一種迭代方法，使k從一個(gè)較大的值開(kāi)始設(shè)定T(k)，估計(jì)參數(shù)向量β，直到估計(jì)的參數(shù)向量β可以得到橢球體，這樣就可以保證擬合的是橢球體。

4 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上文方法的有效性，下文進(jìn)行數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn) 。假設(shè)測(cè)量地點(diǎn)的地磁場(chǎng)為[10 000 18 000 15 000]TnT；測(cè)量噪聲為高斯白噪聲，均值為0，方差=0.94；測(cè)量點(diǎn)數(shù)量n=1 000；真實(shí)誤差校正模型參數(shù)如表1-2所示。

表1 誤差參數(shù)Tab.1 The error parameters

表2 軟磁干擾誤差參數(shù)Tab.2 The soft iron parameters

仿真實(shí)驗(yàn)流程如下：

step 1：設(shè)定噪聲方差幅值，通過(guò)以上仿真參數(shù)及TAM誤差校正模型（11）模擬校正前的實(shí)際測(cè)量值；

step 2：由帶橢球約束的最小二乘法解得橢球參數(shù)，即可擬合出橢球體；

step 3：由橢球體求解出校正后的磁場(chǎng)測(cè)量強(qiáng)度，并與真實(shí)值B0進(jìn)行比較。

當(dāng)噪聲方差幅值μ=1 000時(shí)，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)流程step 1，結(jié)果如圖1所示。

圖1中，直線表示當(dāng)?shù)卮艌?chǎng)強(qiáng)度的真實(shí)值，星型線表示受到誤差干擾的實(shí)際磁場(chǎng)強(qiáng)度測(cè)量值。現(xiàn)利用這些測(cè)量值進(jìn)行橢球參數(shù)的求解。橢球擬合結(jié)果如圖2所示。

其中離散點(diǎn)表示當(dāng)?shù)卮艌?chǎng)實(shí)際測(cè)量值，通過(guò)擬合可以得到圖中的橢球體。在橢球體參數(shù)得到之后，即可按照上文第三部分對(duì)磁場(chǎng)測(cè)量值進(jìn)行誤差補(bǔ)償，補(bǔ)償后的磁場(chǎng)強(qiáng)度結(jié)果如圖3所示。

圖3 磁場(chǎng)強(qiáng)度補(bǔ)償結(jié)果Fig.3 Compensation result of magnetic field density

圖3中橫坐標(biāo)表示測(cè)量值序號(hào)，Line 1表示當(dāng)?shù)卮艌?chǎng)強(qiáng)度真實(shí)值B0，Line 2 表示未校正的TAM 強(qiáng)度測(cè)量值，Line 3 表示校正后的TAM 強(qiáng)度測(cè)量值。從圖3 中可以看出，未進(jìn)行校正的磁強(qiáng)計(jì)輸出不穩(wěn)定且偏離真實(shí)值較多。校正后的磁強(qiáng)計(jì)測(cè)量值更接近真實(shí)值，消除了測(cè)量值偏差，基本可以穩(wěn)定在真實(shí)值周圍，誤差有了較大的減小。

5 結(jié)論

針對(duì)大噪聲未知環(huán)境下三軸磁強(qiáng)計(jì)校正問(wèn)題，提出一種基于立體空間約束的校正方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，較補(bǔ)償前，噪聲補(bǔ)償后模型參數(shù)估計(jì)精度有了較大提高。