導數中的恒成立問題解法探究

■四川省綿陽實驗高級中學 余 強

導數常與不等式的恒成立問題結合,解答時通常要構造新函數,因而綜合性較強,但本質都是利用導數研究函數的單調性和最值,從而求出參數的取值范圍。而不等式恒成立問題常見解法有以下幾種:(1)分離參數法,如a≥f(x)恒成立轉化為a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立轉化為a≤f(x)min;(2)討論最值法,把不等式轉化為f(x)min≥0 或f(x)max≤0;(3)數形結合法,把不等關系轉化為y=f(x)的圖像在y=g(x)的上方即可;(4) 同構轉化或放縮轉化,將題目所給的不等式進行轉化,得到相同形式的部分,或者利用已知的切線不等式進行合理放縮。

下面我們舉例進行分析。

一、分離參數法

(1)若函數f(x)的圖像在x=e處的切線與直線2x-y+8=0垂直,求f(x)的極值;

(2)當x>0時,g(x)≥f(x)恒成立,求實數a的取值范圍。

表1

當0x0時,h(x)>0,即F′(x)>0,F(x)單調遞增。

故F(x)min=F(x0)=x0(ex0-1)-lnx0+2=x0ex0-(x0+lnx0)+2。

兩邊取對數得x0+lnx0=0,故F(x)min=F(x0)=3,即實數a的取值范圍是(-∞,3]。

評注:恒成立問題若能分離常數,通常將問題進行最值轉化,即a>f(x)恒成立?a>f(x)max;a

二、討論最值法

例2(2023年廣東惠州高三三調)已知函數f(x)=2x-alnx。

(1)當a=1時,求函數y=f(x)的單調區間;

(2)若函數f(x)≥(a+2)x-xex恒成立,求實數a的取值范圍。

①若a=0,則h′(x)=(x+1)ex>0,所以h(x)在(0,+∞)上單調遞增。即h(x)>0,滿足xex-a(x+lnx)≥0。

②若a<0,則-a>0,h′(x)>0 ,所以h(x)在(0,+∞)上單調遞增。

h(x)=xex-a(x+lnx)=x(ex-a)-alnx。

函數y=x(ex-a)(a<0)在(0,+∞)上單調遞增,值域為(0,+ ∞);函數y=-alnx(a<0)在(0,+∞)上單調遞增,值域為(-∞,+∞)。

所以?x0>0,使得h(x0)<0,不滿足題意。

③若a>0,令h′(x)=0,則a=xex。

函數y=ex在(0,+∞)上單調遞增,值域為(1,+∞);函數(a>0)在(0,+∞)上單調遞減,值域為(0,+∞)。

評注:討論最值法,就是對題中給定的函數直接求導,通過對參數的分類討論,確定函數的單調性,求出函數的最值,從而求出參數取值范圍。大致如下: 首先可以把含參不等式整理成適當形式,如f(x,a)≥0、f(x,a)≤0等,然后從研究函數的性質入手,轉化為討論函數的單調性和極值,最后得出結論。

三、數形結合法

例3(2023 年河北高三聯考)對?x∈(0,+∞),都有f(x)=x3+(e-2m)x2+x+ex-e(lnx+1)≥0恒成立,那么m的取值范圍是_____。

解析:已 知 對?x∈(0,+ ∞),都 有f(x)=x3+(e-2m)x2+x+ex-e(lnx+1)≥0恒成立。

故x3+(e-2m)x2+x≥e(lnx+1)-ex在(0,+∞)上恒成立。

設g(x)=x3+(e-2m)x2+x,h(x)=e(lnx+1)-ex,則g(x)≥h(x) 對?x∈(0,+∞)恒成立。

令φ(x)=e-xex,則有φ(1)=e-e=0,且φ′(x)=-(ex+xex)<0,所以φ(x)在(0,+∞)上單調遞減。

所以 當x∈(0,1)時,φ(x)>0,即h′(x)>0,h(x)單調遞增;

當x∈(1,+ ∞)時,φ(x)<0,即h′(x)<0,h(x)單調遞減。

所以h(x)max=h(1)=e-e=0。

為使g(x)≥h(x) 對?x∈(0,+∞)恒成立,只需x3+(e-2m)x2+x≥0 在(0,+∞)上恒成立,即x2+(e-2m)x+1≥0在(0,+∞)上恒成立,也即(2m-e)x≤x2+1在(0,+∞)上恒成立。

評注:數形結合法通常需要先將已知不等式部分分離為不等號的左右為兩個不同類型的函數,求得確定形式的一邊的最值,然后取極值點的橫坐標作為特殊值,得到不等式恒成立的必要條件,再證明其充分性,這是求解這類難以徹底分離的不等式恒成立問題的一種重要方法。

四、同構與放縮法

故h(x)=x-lnx-1在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增。

因此,h(x)≥h(1)=0,x≥lnx+1,x>0。

只要證e2x-e2x2≥0,即e2x≥e2x2,由于ex>0,ex>0,故只要ex≥ex。

構造k(x)=ex-ex,x>0,則k′(x)=ex-e。當x>1 時,k′(x)>0;當0

因此k(x)=ex-ex在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增。

故k(x)≥k(1)=0,ex≥ex,x>0。

綜上可得k的最大值為e2。

導數中的不等式恒成立問題試題形式多樣、變化眾多,是命題的熱點。其中滲透著函數與方程、等價轉換、分類討論、換元等思想方法,有較強的綜合性,在提升同學們思維的靈活性、創造性等數學素養方面起到了積極的作用。同學們在解題時應注意對問題進行仔細分析,結合以上方法選擇合理的解法,可以起到事半功倍的效果。