“強基計劃”數學專題講座六
———“強基”數學試題中的數學恒常之美賞析

■江蘇省無錫市第一中學 韋燕平

■江南大學理學院 謝廣喜

在一般的運動變化過程中,運動與靜止表現為辯證的統一,因此在特定的情況下,通常情況下的變量可能會表現為不變量,這種情況其實在數學學科里也廣泛存在,體現出數學學科的恒常之美的魅力。“強基”數學試卷中有不少試題同樣表現了這一點,典型的題型如代數背景下恒等變換,三角背景下恒等變換,解析幾何背景下的 “三定”問題(定值探究、動直線過定點、動點在定直線上)等。

注意到不等式(ai+2-ai)2≥ai+2-ai(i=1,2,3,…,2 020),一般形式為x2≥x(x≥0,x∈Z),只有當x=0或x=1時取等號,而上面的不等式放縮過程的等號必須全部取得。

我們可以創建一種取等號條件如下:使a1=a2=…=a1924=1,a1925=a1926=1,a1927=a1928=2,…,a2020=a2021=48,a2021=a2022=49。此時可以讓上面的所有不等式均可取得等號,于是所求的f的最小值f0=7 400。

評注:求解這道題有幾個關鍵點:①多元情況下的配方如何實現;②這里不但有恒等變換,而且有簡單的放縮(尤其是很多細節的處理);③取等號條件如何協調統一,使得全部不等式的等號都取得,若任何一個環節處理不好,都可能出錯。

例4(2021 年北京大學強基計劃數學試題)已知a,b,c是三個不全相等的實數,且滿足a=ab+c,b=bc+a,c=ca+b,則a+b+c=_____。

解析:首先判定abc≠0。若abc=0,假設其中之一,比如a=0,代入a=ab+c第一個表達式可得c=0,與題意矛盾(先假設b=0或c=0,結論亦然,略)。

于是三式可變為ac-c2=ba-a2=cbb2=abc。(*)

而原始條件三式相加得ab+bc+ca=0,進而由(*)式得:

利用(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)及ab+bc+ca=0可得:

(a+b+c)2=-3abc。①

我們下面設法再建立一個相關的等式,原始條件變為:

于是(1-a)(1-b)(1-c)=1,展開得1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc=1。利用ab+bc+ca=0,得abc=-(a+b+c)≠0。②

結語:我們建議有意參加“強基計劃”數學學科測試的同學可以重點關注一下近10年的全國高中數學聯賽試題以及近5 年全國高中數學聯賽各省的預賽試題,尤其是其中有一定難度的且適宜改編成選擇題的試題,要重點關注,因為這些試題也常常會被“強基計劃”數學試題的命題者所關注。