突出四個“基本點”，強化導數及應用

■江蘇省張家港中等專業學校 韓文美

函數與導數之間的關系是貫穿于整個高中數學體系的一個基本知識點,借助導數法,以函數為根本,實現函數問題的進一步深入與拓展,是歷年高考中考查的重點與難點之一。涉及導數及其應用問題,可以從以下四個“基本點”入手解答。

1.夯實基點

導數與應用中的基點是:利用函數的構造或已有函數的應用,通過導數研究函數的單調性、極值與最值等,關鍵在于基本運算。

綜上分析,當x∈(-∞,x0)時,r(x)≥0,即h′(x)≥0,h(x)單調遞增;當x∈(x0,+∞)時,r(x)<0,即h′(x)<0,h(x)單調遞減。

而h(0)=0,當x<0時,h(x)0時,x>sinx,h(x)>0,且當x趨于正無窮時,h(x)趨于0。

點評:本題以多選題的形式出現,利用導數解決函數的單調性、函數的零點問題,實現題設條件與結論之間的無縫鏈接,借助構造新函數,利用導數及其應用來確定新函數的單調性,這是此類問題中最重要的基本考點,也是解決問題的關鍵所在。

2.突出重點

導數及其應用中的重點是:指數型、對數型函數的數學運算,以及與之相應的不等式存在或恒成立問題,涉及恒成立問題、存在性問題以及極值點偏移問題,關鍵在于函數作差。

分析:根據題設中給定的變量取值范圍所對應的不等式恒成立,通過等價轉化與指數式、對數式的恒等變形,結合函數的單調性合理構造對應的函數解析式,利用函數求導并結合導函數的零點,以及不同區間的包含關系來確定參數的最值。

點評:本題以含參背景下不等式恒成立問題為背景,轉化為函數在給定區間下的單調性問題,合理構造相應的函數,并結合函數的導數求解以及導函數的零點的確定等一系列“常規性”的動作來分析與處理,實現函數模型的構建與應用,達到利用導數解決綜合應用問題的目的。

3.關注熱點

導數與應用中的熱點是:導數與函數、方程的關系,導數與三角函數、數列等知識的交匯,特別涉及相關函數的周期、對稱性質與導數的綜合應用,關鍵在于分段計算。

例3(2023 屆上海市松江區高三上學期期末數學試卷)已知函數f(x)=,若函數y=f(x)-g(x)的圖像經過四個象限,則實數k的取值范圍為( )。

分析:依題意,將問題轉化為函數y=f(x)與y=g(x)在x軸的正負半軸都有兩個交點。作出函數y=f(x)的圖像,而直線g(x)=kx+1 過定點P(0,1),利用導數的幾何意義求出直線y=kx+1 與函數y=x2-4x+2(x≥0)相切時的切線斜率,再求出直線y=kx+1過點(-2,0)的斜率,數形結合即可求出k的取值范圍。

解:如圖1所示。

圖1

過點P(0,1)作y=x2-4x+2(x≥0)的切線,切點設為M(x0,x02-4x0+2)。

由于y′=2x-4,結合導數的幾何意義知k=2x0-4。

所以切線的方程為y-(x02-4x0+2)=(2x0-4)(x-x0)。

把點P(0,1)代入上述切線方程,可得1-x02+4x0-2=-x0(2x0-4),解得x0=1或-1(舍去),所以k=-2。

點評:此題以分段函數的圖像和零點個數來命題,結合函數的圖像與基本性質進行解題,實現參數取值范圍的直觀分析與判斷。從函數的解析式、函數與方程、函數與零點等知識點進行問題的設置,利用導數及其應用來分析與處理,是高考中此類命題設置的熟悉面孔與熱點問題之一。

4.突破難點

導數與應用中的難點是:構建函數模型,借助放縮來判斷或證明對應的不等式,實現大小關系的判定、不等式的證明等相關綜合應用問題,關鍵在于超越放縮。

分析:根據題設中變量的取值范圍,合理構造函數模型,通過求導及其應用確定對應的三角不等式,進而加以合理放縮與巧妙應用,實現對應角大小關系的比較與判斷。解題的關鍵是對常見三角不等式模型的理解記憶,對放縮的要求較高。

點評:本題是以三角函數為背景的角的大小比較問題,利用相關的三角不等式進行放縮和構造函數,結合函數的單調性進行求解。含有一定條件(等式或不等式)的比較大小問題,日漸成為高考數學考試命題的一個熱點。而多變量往往是這類問題中處理的一個難點,解決的途徑通常首先分離變量,結合表達式的結構特征,合理構造恰當的函數,借助函數的單調性與最值等相關問題來轉化與應用。

導數及其應用作為高中數學的核心內容與工具性知識之一,也是高考考查的主要重點之一。同學們在學習過程中,要抓住問題的本質,從導數及其應用自身特點入手,打實基礎,夯實基點,突出重點,把握考點,關注熱點,突破難點,進而真正有效備考。