數學歸納法的應用

樊慶林

(廣東省韶關市田家炳中學 512000)

高中數學體系是對初中數學體系的進一步發展和完善，是學生由具體運算向形式運算過渡的重要時期，旨在提升學生的邏輯思維能力和利用數學知識解決實際問題的能力.在我們高中數學學習和解題中，數學歸納法是一種很常見的方法，其通過對簡單數值代入計算結果的總結，推導出通用的計算公式，是對數學規律性問題解決的一種有效工具.在多年的高中數學實踐教學中，筆者對數學歸納法的應用有一些了解，因此筆者對數學歸納法做出以下簡要分析，對于實踐教學中發現數學歸納法運用的不足之處，還要不斷加以改進和完善.

一、數學歸納法的簡單介紹

數學歸納法是數學中很重要的分析解題方法，本質上是通過對簡單數值的計算推廣到一般的演繹規則，從小規模成立的假設推導出較大規模情形成立的一種方法，以這種類比的思想對數學知識進行一種邏輯上推斷證明的方法.對一般的數學歸納法有以下基本的步驟：

(1)當n=1時，這個命題是正確的.

(2)然后我們假設當n=k時，這個命題還是正確的，進而推斷當n=k+1時，這個命題也是正確的，從而推斷出命題在任意數值代入計算后結論恒成立.

二、數學歸納法的應用

1.數學歸納法在幾何問題中的應用

高中幾何問題向來是比較難的問題，在解題中需要學生由較強的空間想象能力和思維推導能力.在幾何方面無論是計算問題還是證明問題都使得很多同學在解答的時候容易思維混亂、邏輯不清晰，很容易就把自己繞進去得不出正確答案.根據筆者多年課堂上的教學經驗，做以下舉例對此作出分析.

對此問題下面我們根據數學歸納法進行證明.

2.數學歸納法在排列組合中的應用

排列組合是我們高中數學比較重要的一塊內容，其學習目的是可以讓學生擁有對一些問題整體把握的能力，即以“上帝”的視角解決狀態空間的問題.但學生在排列組合的相關知識學習中有很大難度，并且教師在講授的時候一般需要很長時間，為有效提高教學效率，我根據排列組合知識具有很強規律性的性質特點將數學歸納法靈活應用于教學中，促進學生對排列數公式、組合數公式、自然數n的階乘公式，二項式定理等重要公式的理解和掌握.

3.數學歸納法在解不等式的應用

其實，在我們的高考數學復習的時候，會遇到各種題目類型，數學歸納法的解題作為一個專題都不為過.一般情況下，數學中不等式證明題的時候往往要用到放大或縮小的辦法，有了放大和縮小一般很輕易就能得到答案.而關于正整數n的不等式，常可考慮用數學歸納法來證明.

4.數學歸納法在解決整除性問題中的應用

通過對整除性問題的學習可以讓學生對數學數字進行更靈活的把握，對其產生更敏銳認知，而具體數值的整除問題中學生可以通過公式計算出結果，但高中數學更加注重形算能力的培養，要求學生能對非具體計算做出準確運算,下面將數學歸納法在整除性問題的解決應用中作出分析.

例2 設n是自然數，求證32n+2+26n+1能被11整除.

證明(1)當n=0時，32+21=11，能被11整除，命題成立.

(2)假設n=k(k≥0,k∈N)時，命題成立，即

11|32k+2+26k+1.

那么當n=k+1時32( k + 1)+2+ 26( k + 1)+1==9×32k+2+64×26k+1=9(32k+2+26k+1)+55×26k+1.

由假設知11|9(32k+2+26k+1),

又顯然有11|(55×26k+1),從而知11|(32(k+1)+2+26(k+1)+1),即當n=k+1時命題也成立.因此對任意自然數n，命題都成立.

三、思考與展望

現在數學歸納法在很多類型的題目中都有應用，其不僅能幫助學生拓展解題思路優化學習方法，還能培養學生的發散思維能力，因此在教學中我們也很注重這種解題方法.總之，數學歸納法的確是一種很重要的解題方法，在歷年高考真題中我們就能發現它的廣泛應用，這部分內容不僅是我們教學的一個重點也是難點，我們也在不斷地探索中對其進行優化和改善，爭取實現教學水平的不斷提高.

參考文獻：

[1]烏仁.淺談數學歸納法的兩個步驟及其應用[J].赤峰學院學報，2007(6).

[2]張黎民.數學歸納法的應用與技巧[J].青海師范大學民族師范學院學報，2001(1).