依“法”循“理”

張琦

【摘要】學生學習加法、減法、乘法豎式計算時均是從低位算起，可是到了除法階段，卻要求從高位算起。學生受到已有經驗的影響，很容易從低位除起。文章結合滬教版小學三年級第一學期“兩位數被一位數除”這一教學內容，走進課堂進行3次實踐，探尋算法背后的算理，讓學生真正做到“知其然，并知其所以然”。

【關鍵詞】除法；高位除起；算理

本文將結合滬教版小學三年級第一學期“兩位數被一位數除”這一教學內容，走進課堂進行3次實踐，探尋算法背后的算理，讓學生真正做到“知其然，并知其所以然”。

一、問題的提出

在“兩位數被一位數除”這一課中，滬教版教材的安排是：創設4人平分71支筆的情景，引導學生先分捆再分根，之后把分的過程用豎式表達，最后小結“除法豎式從被除數的高位除起”。這樣的教學流程，筆者認為學生對“除法為什么不能從低位除起，而要從高位算起”是不知其所以然的。所以，教師教學這一內容時，要有所突破，努力挖掘“除法豎式從被除數的高位除起”的數學本質，讓學生的算法得到算理的支撐，做到依“法”循“理”。

二、課堂實踐

實踐一：除法能從個位除起嗎？

課堂上創設一個生活情境，讓學生編題，再列式解答。但是在豎式計算“46÷3=? ”，出現了如下典型做法，約占了全班同學的70%。

不難發現，這兩種做法不約而同都從被除數的個位除起。其中，做法1除完個位再除十位，把1個十直接當成余數。做法2則繼續除10，發現還能上3余1。對于做法1，教師尚且可以用“余數要比除數小”這條規則進行指正；那錯誤2呢？學生說得頭頭是道：“除完個位再除十位，發現還剩下1個十，繼續除，最后把三次結果合起來商就是15余1”。

仔細分析這兩種做法背后的原因，顯然學生是受到之前加法、減法、乘法豎式計算方法的負遷移（從低位算起），那為什么到了除法，卻不能了呢？作為教師，是否該直接告訴他們：書上就這樣規定的，除法豎式從被除數的高位除起。思考片刻后，筆者覺得不妥，決定停下教學的腳步，思考該如何教。

實踐二：除法為什么要從高位除起？

筆者和組內教師一起交流這個問題，大部分教師都同意直接告知“除法豎式從被除數的高位除起”這一理論，理由是“書上就是這樣規定的”。最后根據各種資料及與工作室導師曹培英老師的交流中，豁然開朗，領悟“除法豎式從被除數的高位除起”的本質特點：一是簡潔性，二是合理性。

筆者用“46÷3=? ”和“71÷4=? ”兩組數據進行教學。目的是讓學生在借助小棒操作（4捆6根平分3份）的過程中，通過分的次數多少來感受“先分成捆，再分單個”這個方法的簡潔性（如果先分單個，分完一共需要3次；如果先分成捆，分完一共需要2次）。再通過思考“7捆1根平分4份”的分法，讓學生感受“先分成捆，再分單個”這個方法的合理性（先分單個此題分不了）。安排這樣分小棒的過程，得出分小棒的結論“先分成捆，再分單個”與“豎式計算從被除數的高位除起”不謀而合。

實踐三：哦，原來除法要從高位除起。

有了想法后，筆者再次進入課堂實踐。

片段一：

動手操作“46支筆3人平分”，操作完畢后教師結合學生的交流進行豎式板書。

生1：我先分6根小棒，3人平分，一人2根。我再分4捆，一人1捆，還剩下1捆。拆開變成10根，每人分得3根，還剩下1根。一共分了3次，每人分得15根。（師小結：這是“先分單個，再分成捆”的方法）

生2：我先分4捆，3人平分，一人1捆，還剩下1捆，拆開，16根3人繼續平分，一人5根，還剩1根。一共分了2次，每人分得15根。（師小結：這是“先分成捆，再分單個”的方法）

對比兩條豎式和分的次數，師小結：“先分成捆，再分單個”更簡潔。

片段二：

師：71支筆4人平分，不操作，請你想一想可以怎么分？

生：我先分7捆，4人平分，一人1捆，還剩下3捆，拆開，31根4人平分，一人7根，還剩3根，每人一共分得17根。

師：你也是用“先分成捆，再分單個”的方法，為什么不用“先分單個，再分成捆”的方法呢？

生：因為這里單個只有1根，分不了。

師：“先分成捆，再分單個”這個方法更合理。所以“除法的豎式計算要從被除數的高位除起”。

片段三：

當學生掌握了用豎式計算的本領，讓學生回憶46支筆3人平分的過程，用橫式表達，以此溝通橫式與豎式之間的聯系，為豎式的計算方法提供算理的支撐。

最終，鞏固環節學生單獨豎式計算91÷7的正確率高達85%。正是因為有了這樣的及時調整，學生不再“依葫蘆畫瓢”般進行除法計算，對于“除法豎式從被除數的高位除起”也能知其所以然，讓除法計算的算法有“理”可循。

三、分析與反思

1．意外中的必然

教材上71÷4只能從高位除起，補充46÷3的本意是為了彌補這個缺陷，滿足除法豎式從低位除起。沒有想到學生的做法暴露出他們的真實想法：“之前的豎式（加、減、乘）都可以從低位算起，除法計算也應該可以。”這意外的收獲開啟了筆者尋理之路：除法豎式計算為什么從高位除起？最后通過大家的智慧碰撞，發現46÷3這個算式，不僅從高位、低位都能分，更重要的是讓學生感知先分捆再分根（從高位除起）的簡潔性、合理性，使得“除法豎式從被除數的高位除起”有“理”可循。

2．外部活動內部化

關于學具的選擇，小棒的出現無疑詮釋了普通中的不普通。普通的小棒生活中很常見，當把10根放一起就能變成一捆，幾捆幾根，就能表示幾個十幾個一，巧妙地和十進制融為一體。“先分捆再分根”不就是“先除十位再除個位”嗎？這樣的勾連，實在不普通！在動手操作“46根小棒3人平分”時，學生拿著4捆小棒，一人一捆分時，可以用算式30÷3=10表示。剩下的1捆拆開變成10根和單獨的6根合并之后繼續3人平分，每人分得5根還余1根，就可以用算式16÷3=5……1表示，用算式表示分的過程就是操作活動數學化，這是除法豎式方法的雛形，同時學生也能從算式中發現“先分成捆，再分單個”這種方法的簡潔性。而這個簡潔性就是除法豎式從被除數高位除起的道理。由此可見，外部活動內部化是教師讓學生依“法”循“理”的有效途徑。

3.破舊立新顯特色

面對學生“從低位除起”的錯誤時，筆者并沒有慌張和膽怯地選擇直接告知的糾錯方法，恰恰相反，選擇勇敢地停下來，尋找補救機會。因為筆者深知，直接告知的教學，學生僅能掌握算法但不清楚算理，他們更多的是模仿練習，對結論也只是“死記硬背”。通過突破思維定式運用分小棒的操作，把“先分成捆，再分單個”的方法與“從被除數的高位除起”有效關聯起來。讓學生體驗到“先分成捆”的方法既簡潔又合理，所以除法計算要從被除數的高位除起，真正做到依“法”循“理”。

【參考文獻】

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