應用“幾何畫板”分析帶電粒子在圓形磁場中的運動

伏軍

【摘要】帶電粒子在圓形磁場中的運動涉及許多幾何知識，其中粒子的軌跡圓與磁場區域圓相互關系的分析一直是學生學習的難點，尤其是軌跡圓的動態變化問題更令學生頭疼不已.本文闡述利用“幾何畫板”這一軟件來分析帶電粒子在圓形磁場中的運動問題，借助軟件提供的幾何作圖、動態調節、追蹤動畫功能，逐步熟悉動態圓的建立過程，展現粒子軌跡的動態變化過程，幫助學生提升分析能力和空間想象能力.

【關鍵詞】圓形磁場；幾何畫板；帶電粒子

“幾何畫板”軟件是美國Key Curriculum Press公司開發并出版的優秀教育軟件，它能夠快捷、準確、動態展現出幾何對象的位置關系、運動變化規律，被譽為“21世紀的動態幾何”，在理科教學上應用非常廣泛.教育部全國中小學計算機教育研究中心將此軟件作為輔助教學軟件面向全國中小學教師進行推廣，目前的最新版本是“幾何畫板5.0.7.6”.

筆者在高中物理教學中發現，學生在分析帶電粒子在圓形有界磁場中的運動時，因大量涉及與圓相關的幾何知識，學生難以找到其中的角、弦、弧之間的聯系，難以將軌跡圓和磁場區域圓結合起來考慮，難以建立“動態圓”思維，因此帶電粒子在磁場中的運動成為高中物理教學的重點和難點，特別是當帶電粒子進入磁場中的運動速度、入射點或磁場強弱發生變化時，粒子作勻速圓周運動的圓心、半徑和軌跡就會發生相應變化，用黑板上畫圖、用PPT課件畫圓等常規的教學手段不但畫圖過程繁瑣而且很難保證畫出的圓符合幾何規則，更不用說動態呈現粒子軌跡變化過程了.利用“幾何畫板”的作圖、動態調節、追蹤動畫等功能，則可以追蹤到圓的軌跡，分析其圓心和半徑的變化，展現各物理量的幾何關系，從而使帶電粒子在磁場中運動的教學難點得到突破.

筆者將用“幾何畫板”制作的帶電粒子在圓形磁場中的運動的三個課件實例，淺析如何用“幾何畫板”來分析帶電粒子在圓形磁場中的運動，展現帶電粒子軌跡圓與磁場區域圓相互關系，探究其中的幾何關系和基本規律.

案例一 帶電粒子沿著半徑方向射入圓形磁場

當帶電粒子沿著半徑方向射入圓形邊界內的勻強磁場中時，如果粒子的速度大小發生變化，由r=mvqB可知，軌跡半徑大小會隨之發生變化，會在磁場中形成一系列半徑變化、出射點在磁場邊界上改變的動態圓，確定動態圓的軌跡范圍經常是高考的熱點問題.當然，還有許多關于帶電粒子在磁場中的運動問題并不是帶電粒子進入磁場的速度發生變化，而是磁感應強度B、粒子的比荷qm、粒子的動量P、粒子動能Ek等物理量發生變化，但只要分析半徑公式的變形式r=mvqB=PqB=2mEkqB就會發現，這些物理量的變化導致的結果也不過是讓粒子的軌跡半徑發生變化而已，因此，不管什么原因導致的半徑變化，解題思想都是大同小異的，都需要分析粒子軌跡圓與磁場區域圓之間的幾何關系，這些半徑、弦長、圓心角、偏向角、弦切角等幾何量之間的相互關系正是分析這類問題的突破點，也是幫助學生構建解題思維的關鍵點，需要在制作課件時逐步展現出來.

通過上述分析不難發現，分析帶電粒子在磁場中運動的課件展現出半徑不同時軌跡的特點、必須展現粒子軌跡中圓心角、偏向角、軌跡半徑、磁場半徑、公共弦的幾何關系，還得讓課件具有逐步分析運動過程的能力，用“幾何畫板”制作課件時必須實現這樣幾個基本功能：（1）要設置調節點來改變軌跡半徑大小；（2）要設置按鈕來控制各個輔助線、圓弧、角度的顯示與隱藏.（3）要能夠顯示出粒子軌跡范圍.

本案例主要制作步驟如下：

步驟一：建立圓形磁場.利用幾何畫板兩點建立圓的方法，通過標記向量功能，實現圓形磁場半徑R可以動態調節.在畫出圓形磁場區域里，用插入文字的方式顯示出方向向里的磁場.

步驟二：畫出粒子軌跡.在工作區畫出水平射線代表入射方向，其端點代表粒子源.讓射線通過圓形磁場的圓心，和磁場圓的交點為粒子進入磁場的入射點.在入射點利用幾何畫板兩點建立圓的方法作出軌跡圓，利用標記向量功能實現粒子軌跡圓半徑r可調.

步驟三：構造相關幾何量.利用幾何畫板構建直線、垂線、交點、夾角功能，畫出入射方向輔助線、出射方向輔助線、公共弦、偏向角、圓心角、圓心連接線等幾何量.

步驟四：美化線條，設置相關動作按鈕.逐個選取各點、線段、弧線進行美化.將輔助線設置為虛線，調節磁場圓、軌跡圓、調節點的顏色，確保相關量顏色統一.逐個選取幾何量，通過操作類按鈕設置顯示與隱藏功能.通過軌跡圓上選擇追蹤功能實現動態圓展示，從而展現出半徑變化時粒子軌跡范圍.

課件最終制作效果如圖1所示.

在教學過程中，遇到帶電粒子的速度方向是沿半徑方向入射的這類問題時，教師可結合具體情況通過點擊功能按鈕、打開追蹤功能、拖動調節半徑大小等方法進行演示，逐步展現圓心角、偏向角、軌跡半徑、磁場半徑、公共弦的幾何關系.通過各種輔助線的顯示與隱藏，可凸顯出，學生將其中的幾何關系看得一清二楚，教學難點從而得到了突破.

案例二 帶電粒子沿著任意方向射入圓形磁場

當帶電粒子沿著任意方向射入圓形邊界內的勻強磁場時，會形成射點不同的動態圓.這種情況還可以變形成另外一種表述，即位于磁場邊界的粒子源向各方向發射出速度大小相同的粒子.當軌跡半徑r小于磁場半徑R時，隨著帶電粒子入射方向的改變，入射點與出射點的距離將出現最大值.當軌跡半徑r大于磁場半徑R時，將出現運動時間最長（軌跡圓心角最大）的特殊軌跡.典型的問題有：求解粒子出射點的范圍，求解入射點與出射點的最大距離，求解粒子所有軌跡中最長運動時間等.

對于學生而言，以上分析的數學原理是容易理解的，難以理解的地方是：當速度方向不同時，粒子的軌跡是如何改變的？何種條件下粒子的入射點和出射點距離最大？什么條件下出現最長軌跡？為什么速度是向各方向都有，而軌跡卻分布在一定范圍內等等.

通過上述分析不難發現，要分析不同速度方向軌跡特點，討論粒子的軌跡范圍、最長時間等問題，需要在制作幾何畫板的課件時做到這幾點：（1）設置按鈕動態控制各個切線、弦線、弧線、角度的顯示；（2）設置調節點來改變初速度方向；（3）設置調節點改變軌跡半徑大小.

本案例主要制作步驟如下：

步驟一：建立圓形磁場.在工作區畫出圓形磁場區域.利用幾何畫板兩點建立圓的方法，通過標記向量功能，實現圓形磁場半徑R可以動態調節.

步驟二：畫出粒子軌跡.在磁場圓上創建一個點作為粒子源，并將其設置為旋轉中心.利用幾何畫板兩點法建立軌跡圓，利用標記向量功能實現粒子軌跡半徑r可調，利用標記角度方法實現速度v方向可調.

步驟三：構造相關幾何量并進行美化.利用幾何畫板構建直線、垂線、交點、夾角功能，畫出入射方向輔助線、出射方向輔助線、公共弦、偏向角、圓心角、圓心連接線等幾何量.設置相關動作按鈕.逐個選取各點、線段、弧線進行加粗、改變顏色等，讓線條更美觀.

最終呈現的效果如圖2所示.

教學時，教師通過調節粒子的初速度方向和軌跡半徑大小，分別探究在軌跡半徑r小于磁場R時和半徑r大于磁場R時，隨著速度方向的改變，粒子的軌跡是如何變化的.通過追蹤功能，學生可清晰觀察到粒子軌跡的范圍，體會動態圓的形成，借助按鈕打開各種輔助線展現各線、各角、各弧的幾何關系并進行逐步分析，從而幫助學生構建出動態圓思維.

實例三 軌跡半徑等于磁場半徑時的“磁聚焦”問題

高中物理所涉及的“磁聚焦”問題是指當一束平行的帶電粒子束射向圓形勻強磁場區時，若粒子在磁場中的軌道半徑r恰好等于磁場圓的半徑R，所有進入磁場的粒子將從同一點射出圓形磁場區域，此射出點的切線與入射的速度方向平行.分析“磁聚焦”問題的難點在于：不同點射入的粒子為什么會聚焦到同一點射出磁場？怎樣用簡單明了的幾何關系來證明會聚焦到同一點？其不同入射點軌跡有什么特點？為什么軌跡半徑與磁場半徑不相同時就不會聚焦了？

為了實現上述分析過程，制作課件時要考慮到這幾個關鍵功能：（1）磁場半徑和軌跡半徑都是可以調整的；（2）要體現出粒子束的速度方向都是平行的；（3）可自由切換切線、弧線、角度的顯示隱藏，方便進行幾何分析.

本案例基本制作步驟如下：

步驟一：建立圓形磁場.在工作區畫出圓形磁場區域.利用幾何畫板兩點建立圓的方法，通過標記向量功能，實現圓形磁場半徑R可以動態調節.

步驟二：畫出粒子軌跡.在工作區畫出豎直線段代表粒子源.水平射線代表入射方向，讓射線通過圓形磁場的圓心.射線和磁場圓的交點為粒子進入磁場的入射點.在入射點利用幾何畫板兩點建立圓的方法建立軌跡圓，利用標記向量功能實現粒子軌跡半徑可調.

步驟三：構造相關幾何量并進行美化.利用幾何畫板構建直線、垂線、交點、夾角功能，畫出入射方向輔助線、出射方向輔助線、公共弦、偏向角、圓心角、圓心連接線等幾何量.設置相關動作按鈕.逐個選取各點、線段、弧線進行加粗操作，讓線條更加便于學生觀察.最終呈現的效果如圖3所示.

圖3

在教學時，打開線段的追蹤功能，拖動入射點，可讓學生清晰地觀察到不同入射點射入的粒子都從M點射出.通過顯示軌跡半徑和磁場半徑的輔助線，可清晰地顯示出無論入射點在何處，軌跡半徑和磁場半徑都構成菱形，根據菱形兩邊平行原理，很容易證明得到粒子將從同一點射出這一結論.

結語

通過以上三個案例，不難看出“幾何畫板”軟件功能強大，輔助教學效果良好.制作出來的課件生動形象，讓物理規律中蘊藏的數學知識更為直觀地呈現出來，讓復雜的幾何關系變得簡潔明了，符合學生的認知特點和規律，使學生原本感到枯燥的知識變得形象生動.幾何畫板課件展現了物理量動態變化的過程，能培養學生的思維能力，極大地調動了學生學習的積極性.合理運用“幾何畫板”可以提高課堂教學效果，突破教學難點，值得物理教師積極探索和大膽嘗試.

參考文獻：

［1］吳熙，彭朝陽.用《幾何畫板》顯化帶電粒子在復合場中的運動［J］.物理之友，2017，33（10）：42-43+47.

［2］王正雄.幾何畫板破洛侖茲力教學難點［J］.中國教育技術裝備，2002（12）：11.

［3］朱亞.利用“幾何畫板”解決物理疑難問題［J］.物理教師，2007（4）：40-41.

［4］伍榮捷.用幾何畫板制作物理課件的嘗試［J］.新課程（下），2017（9）：104.