HPM視角下的“球的體積和表面積”教學(xué)

摘 要：HPM（即“數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育”）的研究正成為一線教師研究的熱點(diǎn)之一，數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化在教學(xué)中的融入越來(lái)越受到人們的重視。如何利用數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化促進(jìn)數(shù)學(xué)教育成為人們研究的重要課題之一，很多教師和學(xué)者進(jìn)行了不少HPM方面的研究，取得了令人矚目的成果。然而，在HPM研究中高評(píng)價(jià)、低應(yīng)用的現(xiàn)象普遍存在，很多教師在教學(xué)過(guò)程中存在著數(shù)學(xué)史材料的簡(jiǎn)單堆砌，忽視學(xué)生學(xué)情及對(duì)數(shù)學(xué)史材料的挖掘深度不夠等問(wèn)題。文章以“球的體積和表面積”的教學(xué)為例，以HPM的視角設(shè)計(jì)和實(shí)施“球的體積和表面積”的教學(xué)，以古人對(duì)圓和球的探究過(guò)程為主線，再現(xiàn)了古人對(duì)球的研究思想方法，讓學(xué)生經(jīng)歷球的體積和表面積公式的探究歷史，體會(huì)先哲的智慧，形成直觀想象和邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)全面發(fā)展。

關(guān)鍵詞：HPM視角；牟合方蓋；球的體積和表面積

中圖分類(lèi)號(hào)：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：2097-1737（2023）06-0004-03

引? 言

球是一種重要的幾何體，是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力、空間思維能力和直觀想象核心素養(yǎng)的重要載體。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）對(duì)“球的表面積和體積”的相關(guān)要求為：“知道球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積、體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。”[1]人教A版教材對(duì)本節(jié)內(nèi)容的處理比較簡(jiǎn)單，并未對(duì)球的體積公式進(jìn)行推導(dǎo)證明，僅在閱讀材料“探究和發(fā)現(xiàn)”中對(duì)祖暅原理，柱體和錐體的體積及球的體積公式的演繹推理過(guò)程進(jìn)行了簡(jiǎn)單的介紹。筆者認(rèn)為教師不應(yīng)把本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)僅僅停留在掌握球的體積公式、表面積公式及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用這樣淺層的知識(shí)技能層面，可以充分利用數(shù)學(xué)史材料，以球的體積、表面積為知識(shí)載體，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和文化涵養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)和終身發(fā)展。

在本節(jié)課的教學(xué)中，筆者以《課程標(biāo)準(zhǔn)》為依據(jù)，以《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》為導(dǎo)向，以教材為藍(lán)本，以學(xué)生學(xué)情為出發(fā)點(diǎn)，從History and Pedagogy of Mathematics（數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育，以下簡(jiǎn)稱HPM）的視角設(shè)計(jì)和實(shí)施本節(jié)課的教學(xué)。本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)設(shè)定如下。

（1）了解中國(guó)古人對(duì)球的體積公式的探索過(guò)程，體會(huì)古人“以方套圓，化圓為方”的思想方法，感受先哲的智慧；

（2）經(jīng)歷球的體積和表面積公式的探索過(guò)程，了解其中蘊(yùn)含的微積分思想方法；

（3）掌握球的體積和表面積公式，并能利用其解決簡(jiǎn)單的相關(guān)問(wèn)題。

一、歷史材料及其應(yīng)用

（一）阿基米德墓碑問(wèn)題

阿基米德（Archimedes）是古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，是靜力學(xué)和流體力學(xué)的創(chuàng)始人。在阿基米德于公元前212年不幸被羅馬士兵殺害后，馬賽拉斯為他修建了一座頗為宏偉的陵墓，并在墓碑上鐫刻了球內(nèi)切于圓柱的圖形，以此緬懷阿基米德在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)。

（二）劉輝與牟合方蓋

在《九章算術(shù)》“開(kāi)立圓術(shù)”中有一段關(guān)于球的體積公式的記載，認(rèn)為球的體積：圓柱的體積=圓柱的體積：正方體的體積=π∶4，（其中圓柱與正方體的各個(gè)面相切，球與圓柱體的底面與側(cè)面相切）。劉輝認(rèn)為這個(gè)求法不對(duì)，并構(gòu)造了一個(gè)新的幾何體——“牟合方蓋”（如圖1）。所謂“牟合方蓋”，就是指由兩個(gè)同樣大小但軸心相互垂直的圓柱體相交而成的立體圖形。

劉輝指出，牟合方蓋與相應(yīng)內(nèi)切球的體積之比=4∶π，只要求出牟合方蓋的體積就能計(jì)算出牟合方蓋內(nèi)切球的體積。劉輝雖然沒(méi)能最終得出球的體積公式，但這為此后祖暅推導(dǎo)球體的體積公式提供了重要的思路。

（三）祖暅及球體積公式的推導(dǎo)

南北朝時(shí)期大數(shù)學(xué)家祖沖之的兒子祖暅在劉輝研究的基礎(chǔ)上利用祖暅原理求得了八分之一牟合方蓋與牟合方蓋外接正方體八分之一差的體積，進(jìn)而求出了牟合方蓋的體積，推導(dǎo)出了球的體積公式。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

（一）創(chuàng)設(shè)歷史情境，自然引出球的體積和表面積

教師首先用PPT呈現(xiàn)圖2，并對(duì)圖形進(jìn)行說(shuō)明：圖中球的表面積和體積都是圓柱體表面積和體積的，以此優(yōu)美的數(shù)學(xué)結(jié)論激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使其感受數(shù)學(xué)的美；再通過(guò)對(duì)阿基米德的生平及墓碑來(lái)歷的簡(jiǎn)介，進(jìn)一步增強(qiáng)課堂的文化性和趣味性，有效激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情。

師：同學(xué)們，你們看這張圖像什么？

生：……

師：這畫(huà)的是一個(gè)墓碑，是古希臘偉大的數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑，人們?yōu)榱司拺哑鋵?duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的貢獻(xiàn)，在其墓碑上鐫刻了這樣一個(gè)圖形。圖中所表達(dá)的意思是：球的體積是圓柱體體積的，球的表面積也是圓柱表面積的，這節(jié)課我們就來(lái)論證一下這一結(jié)論。為了證明這一結(jié)論，我們需要先掌握球的體積和表面積計(jì)算公式。（此間向?qū)W生介紹阿基米德的生平及墓碑的來(lái)歷）

（二）球的體積和表面積公式的推導(dǎo)

1.球的體積公式的推導(dǎo)

（1）中國(guó)古人對(duì)球的體積公式的探索

“化圓為方、以方探圓”是中國(guó)古人研究圓與球的重要思想。據(jù)《九章算術(shù)》“開(kāi)立圓術(shù)”中的記載，中國(guó)古人認(rèn)為球的體積∶圓柱的體積=圓柱的體積∶正方體的體積=π∶4，（其中圓柱與正方體的各個(gè)面相切，球與圓柱體的底面與側(cè)面相切）。

（2）劉輝與牟合方蓋

劉輝認(rèn)為這個(gè)求法不對(duì)，他構(gòu)造了一個(gè)新的幾何體——“牟合方蓋”，并指出牟合方蓋內(nèi)切球的體積∶牟合方蓋的體積=π∶4，只要求出牟合方蓋的體積，就能計(jì)算出球的體積。

（3）祖暅與球的體積公式的推導(dǎo)

引理1——祖暅原理：夾在兩條平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任何一個(gè)平面所截，如果截面面積都相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等[2]。

祖暅推導(dǎo)球的體積公式的思路沿襲了劉輝的思路，即求牟合方蓋的體積。祖暅發(fā)現(xiàn)，八分之一牟合方蓋與牟合方蓋外接正方體八分之一所夾的部分與某四棱錐體積相同（如圖3），故通過(guò)求出該四棱錐的體積，求出了牟合方蓋的體積，進(jìn)而推導(dǎo)出球的體積公式：V=πR3。

（4）幾何模型的簡(jiǎn)化

我們還可以對(duì)推導(dǎo)球的體積公式的幾何模型進(jìn)行簡(jiǎn)化（如圖4），由祖暅原理，我們不難得出底面半徑為r，高為r的圓柱和與之同底等高的圓錐的體積之差等于半徑為r的半球的體積。

進(jìn)而可得球的體積公式：V=πR3。

2.球的表面積公式的推導(dǎo)

利用微積分的思想，將球面分為n塊，記第i塊的面積為Si，那么當(dāng)n足夠大的時(shí)候，我們就可以將球體看作n個(gè)椎體的組合，其中第i個(gè)椎體的底面積為Si，

高為R，其體積Vi=SiR，球體的體積等于：

V1+V2+……+Vn=R（S1+S2+……+Sn）=RS=πR3

所以，S=4πR2。

3.問(wèn)題解決

例：如上圖5，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑。

求證：（1）球的體積等于圓柱體積的；（2）球的表面積等于圓柱表面積的。

三、學(xué)生反饋

課后，我們以問(wèn)卷調(diào)查、個(gè)別訪談和作業(yè)的形式，

就本節(jié)課的教學(xué)情況和教學(xué)效果向?qū)W生進(jìn)行了調(diào)查研究。從學(xué)生課后反饋的信息來(lái)看，本節(jié)課很好地達(dá)成了預(yù)定的教學(xué)目標(biāo)，學(xué)生能夠獨(dú)立思考完成課堂限時(shí)訓(xùn)練和課后鞏固練習(xí)，優(yōu)秀率達(dá)90%以上，從中反映出本節(jié)課知識(shí)技能方面的教學(xué)目標(biāo)達(dá)成度很好。對(duì)于球的體積和表面積公式的探究歷史，100%的學(xué)生表示已了解公式的探究歷史。對(duì)于球的表面積和體積公式的推導(dǎo)過(guò)程，66.1%的學(xué)生表示理解，26.8%的學(xué)生表示基本理解，7.1%的學(xué)生表示還未理解公式的推導(dǎo)過(guò)程，主要問(wèn)題集中于利用牟合方蓋推導(dǎo)球的體積的過(guò)程。其中，92.8%的學(xué)生表示喜歡這樣的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)方式，認(rèn)為數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史的融入能夠使數(shù)學(xué)課堂更加有趣、豐富，有助于他們理解、內(nèi)化數(shù)學(xué)知識(shí)；也有7.2%的學(xué)生認(rèn)為，數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史的融入對(duì)其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)沒(méi)有明顯的幫助，數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史的融入會(huì)占用一部分的課堂教學(xué)時(shí)間，導(dǎo)致其訓(xùn)練時(shí)間減少。

四、教師反思

在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生學(xué)情，合理地提煉數(shù)學(xué)史材料，使之發(fā)揮出最大的教學(xué)價(jià)值，而不能僅限于數(shù)學(xué)史材料的簡(jiǎn)單堆疊。

我們認(rèn)為數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)過(guò)程應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)。

（1）選取的數(shù)學(xué)史材料應(yīng)在本節(jié)課教學(xué)中具有很大的教學(xué)價(jià)值和教育意義；

（2）數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史的融入應(yīng)自然、流暢，在數(shù)學(xué)史材料的應(yīng)用過(guò)程中，教師需要考慮到知識(shí)發(fā)生發(fā)展的歷史性和邏輯性以及學(xué)生的學(xué)情，需對(duì)數(shù)學(xué)史材料應(yīng)用方式進(jìn)行充分考量和恰當(dāng)選擇，必要時(shí)需對(duì)數(shù)學(xué)史材料進(jìn)行適度加工處理，使之更適合課堂教學(xué)；

（3）數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史的融入需要課內(nèi)、課外相結(jié)合。教學(xué)課時(shí)的有限性導(dǎo)致我們?cè)谡n堂教學(xué)中能夠?qū)W習(xí)的內(nèi)容是有限的，數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史的融入必然要占用一定的教學(xué)時(shí)間，我們想這也是導(dǎo)致HPM研究高評(píng)價(jià)、低應(yīng)用的一個(gè)重要因素[3]。因此，在教學(xué)中我們不僅要在數(shù)學(xué)材料的深度加工和應(yīng)用方法的恰當(dāng)選取上下功夫，提高課堂教學(xué)效率，還應(yīng)該課內(nèi)、課外相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)網(wǎng)絡(luò)、圖書(shū)等各種平臺(tái)和途徑自主收集、整理相關(guān)數(shù)學(xué)史材料，學(xué)習(xí)相關(guān)數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史，以達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史的深入學(xué)習(xí)和理解。

結(jié)? 語(yǔ)

數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)學(xué)科的歷史積淀，是數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓所在，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體。HPM的研究取得了很多令人矚目的成果，很多一線教師也通過(guò)教學(xué)實(shí)踐研究開(kāi)發(fā)出了很多HPM視角下的優(yōu)秀課堂教學(xué)案例。但筆者認(rèn)為，HPM的研究是常做常新的工作，面對(duì)不同的教學(xué)內(nèi)容、不同的數(shù)學(xué)史材料和不同的學(xué)情，數(shù)學(xué)史材料的選取，融入課堂的方式應(yīng)有所差異。對(duì)于相同的教學(xué)內(nèi)容、同樣的數(shù)學(xué)史材料和相似的學(xué)情，教師也會(huì)有不同的教學(xué)設(shè)計(jì)思路和教學(xué)方法。筆者認(rèn)為這就是教學(xué)的魅力所在，也只有這樣我們的教學(xué)才能真正面向全體學(xué)生，實(shí)現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)[4]。

[參考文獻(xiàn)]

中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2020.

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教育部考試中心.中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系[M].北京：人民教育出版社，2019.

汪曉勤，王甲.全等三角形的應(yīng)用：從歷史到課堂[J].中學(xué)數(shù)學(xué)參考（初中版），2008（10）：55-57.

基金項(xiàng)目：本文系景東彝族自治縣科學(xué)規(guī)劃2021年度課題“HPM視角下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐研究”（課題批準(zhǔn)號(hào)：21X03）的研究成果之一。

作者簡(jiǎn)介：李德明（1990.3-），男，彝族，云南景東人，任教于云南省普洱市景東彝族自治縣銀生中學(xué)，一級(jí)教師，研究生學(xué)歷。